Matematikk LUB 14.01.2009 Elise Klaveness Hvorfor den matematiske samtalen og elevaktivitet? Om språk og utforsking Matematikk LUB 14.01.2009 Elise Klaveness

Hva betyr det egentlig å kunne matematikk? Kompetansebegrepet i matematikk (Niss, 2002) anvendelse forståelse ferdigheter Problemløsnings- kompetanse Modellerings-kompetanse Resonnements-kompetanse Tankegangs-kompetanse Kommunikasjons-kompetanse Representasjons-kompetanse Symbol- og formalisme-kompetanse H j e l p e m i d d e l k o m p e t a n s e

Hva er undervisning i matematikk? Legge til rette for god kommunikasjon i matematikklasserommet Legge til rette for elevaktivitet Legge til rette for tilpasset opplæring Legge til rette for vurdering for læring

Elevaktivitet Et grunnleggende prinsipp: Man må tenke, kommunisere og gjøre sjæl for å lære. Altså: Man må være aktiv for å lære. Altså: Elevaktivitet må være tilstede for å oppnå læring!

Språk – vårt grunnlag for kommunikasjon Begrepstrekanten Begrepsinnhold (BI): alle tanker, erfaringer, holdninger som knyttes til begrepet Begrepsuttrykk(BU): muntlig språk kroppsspråk, tegninger, symboler, skrift Vygotsky: Språk og begrep kan ikke skilles! (Begrep = BI + BU) BI Faktisk ting BU

Språk BI Faktisk BU ting JUL (tegner) ”juletre” (sier) ”Heisann og hoppsann og fallerallera!” (synger)

Språk ? BI Faktisk BU ting 4 år Her er det ikke sikkert det er noen stor sammenheng...

Språk av 1. og 2.orden Når en uttrykksform står i sterk kontakt med begrepsinnholdet sier vi at det er et språk av 1. orden. Det er vårt naturlige språk. Dersom dette ikke er tilfelle kaller vi det et språk av 2. orden. Det er ikke naturlig for oss.

Språk BI Faktisk BU ting 5 makrell (tegner) (tegningen er 1.ordens språk, tallet 5 er foreløpig annet ordens språk)

Språk Vi må skape oversettelsesledd slik at 2.ordens språk blir til 1.ordens språk. Kanskje via et symbol? feks 5

Språk og matematikk Det formelle skriftlige språket er bare en del av den matematiske kompetansen. Barn kan ofte både addere, subtrahere, gange og dele før de kommer på skolen, men innenfor deres førstespråk. For eksempel er ikke evne til tallbehandling det samme som evne til tallskriving.

Språk og matematikk Vi må jobbe innenfor barnas førstespråk og så gradvis jobbe med å gjøre andrespråket – symbolspråket - til et førstespråk. I prosessen må vi hjelpe til med oversetting via konkreter, tegning og språket.

Hvorfor er det positivt at elevene får tilgang til varierte konkreter? Oversettelsesledd og hjelp De trenger ”knagger” å henge det faglige innholdet på (Piagets skjema) Vi ønsker at kunnskapen skal generaliseres og ikke kun knyttes til konkretene Piagets skjema: Akkomodasjon; skjema må endres for å ta opp de nye begrepene F.eks. Når barn ahar jobbet med hele tall, og skal lære om brøk. Akkomodasjon skjer når en ubalanse oppstår; ønsker å opprette likevekt igjen

Bruk av konkreter - utfordringer Abstraksjonsmålet krever at læreren er reflektert i bruken av konkretene (Resnick:1987 i B&V:1998:374) ”Problemet er at vi lærerne allerede kjenner tallenes verden, og kan si: Disse stavene oppfører seg akkurat på samme måte som tallene gjør. Men hvis vi ikke hadde visst hvordan tallene oppførte seg, ville da det å se på stavene ha hjulpet oss til å løse oppgaven?” (B&V:1998:374) Barn som ser sammenhengen mellom enere og tierstavene er barn som allerede har konstruert begrepet ti som et abstrakt begrep, det vil si de som allerede har forstått prinsippene.

Matematikk, tegning og språk Tegning er til hjelp for tenkning Tegning er kommunikasjon Tegning er språk Tegning kan fungere som tankeredskap Høines, 2006 Vi gjør problemløsningsoppgave fra Singapore.

Hvorfor er det så viktig at elevene snakker matematikk? Utviklingen av språk går hånd i hånd med utviklingen av begreper (Vygotsky) Oppklarende for seg selv å måtte forklare for andre Learning by doing and reflection (Dewey) Lærerens ansvar å fylle på både BI og BU.

Hvorfor er det så viktig at elevene snakker matematikk? Forstå elevenes tenkning Elever lærer av å kommunisere Elever lærer å kommunisere Eksempel: Geometrisk samtale, Gulhaug skole, 4. trinn

Elevaktivitet Et grunnleggende prinsipp: Man må tenke, kommunisere og gjøre sjæl for å lære. Altså: Man må være aktiv for å lære. Altså: Elevaktivitet må være tilstede for å oppnå læring!

Elevaktivitet Kreative, selvstendige tankeprosesser, ikke bare imitasjon. Utforsking. Problemløsing. Bruke språket: Kommunikasjon. Refleksjon. Vekt på prosesser i motsetning av produkt Varierte opplegg for motivasjon og dypere forståelse Være med på konstruksjon av begreper og algoritmer Framstilling og diskusjon av hypoteser Bruk av feil og misoppfatninger til videre utvikling

Hvorfor er det viktig at elevene er aktive i matematikkundervisninga? Konstruktivisme: mennesket er selv aktiv i sin oppbygging av kunnskap, knytter til tidligere kunnskap, kunnskap kan ikke overføres, må oppdages ”en erfaring er det som lever videre etter undervisninga” (Dewey) Åpne, utforskende og problemløsende oppgaver gir mulighet for aktive elever på søk etter kunnskap Går ikke særlig inn på behavoioristiske læringsteorier; stimulus-respons, belønning skal motivere, ønsket adferd, MEN: selvsagt viktig å kunne regler, huske fremgangsmåter, huske hvordan tosifrede tall skrives osv....Vi trenger også øvingsoppgaver Problemløsende aktiviteter sees på som den høyeste form for læring; må kombinere tidligere regler og kunnskaper for å løse et nytt ukjent problem. Slike aktiviteter avslører TALLSKRIVERNE- de som bare utfører prosedyrer og innøvde regler uten forståelse bak. Utforskende aktiviteter er ofte lette å differensiere (eks. Arbeid med store tall ,samle kongler i skogen, sortere og telle, elevene jobber da selv i det området de behersker) eller utforske strategier i et spill, alle kan si noe om det, feks at det lønner seg å starte, noen kan komme frem til en formel Men også oppdagende læring kan være dårlig og ødelegge motivasjonen, om den ikke følges opp, om den er tilfeldig, dårlig planlgat eller ingenting blir oppdaget!! Japan: hver time ett nytt problem, rike problemer, læreren veileder og noterer seg så de ulike strategiene, slik at alle blir presentert etterpå. Skåret høyt i TIMMS.

Jerome S. Brunner Tre nivåer for kunnskapsrepresentasjon Enaktivt nivå (konkret) Ikonisk nivå (billedlig - halvkonkret) Symbolsk nivå Learning by discovery (induktiv und.) Oppdagelse er en indre reorganisering av ideer eleven alt kjenner (akkomodasjon) Elevaktivitet spesielt viktig for de yngste elevene som er på det konkrete og ikoniske nivået (eks. Johnsen Høines sitt arbeid) Spiralprinsippet 5 Telling, tall og tallregning, måling og størrelser oppfattes først på det konkrete nivået, handlingsnivået(enaktiv)

Påstander eller basis i teorier og forskning? ”I denne klassen jobbet de veldig tradisjonelt i matten” Hva betyr det? ”Dette var en fin aktivitet, fordi barna var aktive”. Hvorfor er det bra? ”Det er fint med små grupper for da får man snakket matematikk, og det er veldig viktig. Hvorfor? ”De får samarbeidet bra på stasjonene, og da lærer de mer”. Hvorfor? Deres egne påstander; praksis er den beste læringsarenaen; men det blir tydelig at vi ikke alltid har like gode begrunnelser for alt vi gjør; da ender vi fort opp med læringssyn og læringsteorier.....

Påstander eller basis i teorier og forskning? (forts.) ”Jeg vektla å ha med mange konkreter i undervisninga, som alle vet er viktig.” eller ”Når barna har jobbet praktisk med brøk, så har de det friskt i minne/huske tilbake til videre regning.” Hvorfor? Det er viktig å bygge opp matematikkforståelsen steg for steg. Hvorfor? ”læring i matematikk foregår når eleven utfordres på sin proximale sone” Hva betyr dette?

Må man bygge opp matematikkunnskapene steg for steg? Ja, i mange tilfeller Hva må man kunne før man starter med titallssystemet? Før Pytagoras setning? Gagnes læringshierarki; mursteinsprinsippet Viktig å strukturere stoffet, hensiktsmessig rekkefølge Befeste hvert ”trinn” ved å jobbe med ferdighetstrening i etterkant av ”opplevelsene” (LK06) Gagne: Elever lærer ved å tilegne seg en rekkefølge av kunnskaper, der hver kunnskap er mer kompleks og avansert enn de forkunnskapene den bygger på, altså får vi et hierarki Ikke alt er avhengig av dette; må feks ikke vite noe om vinkler for å gjøre erfaringer med mønster og border i barnehagen. ”å lærematematikk går ikke alltid langs en rett linje, men kan snarere sammenliknes med å klare i et tre” (Skovmose) Ref. Spiralprinsippet til Brunner PIagets teorier kræsjer med dette, som sier at det læring er en komplisert vekselvirkning mellom gammelt og nyt, og at det gamle endres når nytt kommer til.

Vygotskys proximale sone og det støttende stillas Elevens utviklingspotensial i fokus Læreren og medelever som støttende stillas Viktig i kartlegginga

Læringssyn i matematikk i de ulike læreplanene LK06

M74 Stor vekt på grunnleggende ferdigheter i faget Detaljert innhold Reaksjon på forsøk med å innføre ”moderne matematikk” i M71

M87 Tilpasset opplæring Bygge på det barna kan når de starter på skolen Tverrfaglighet Problemløsning Innholdsplan Ikke arbeidsmåter Lokale planer

L97 Tydelig inspirert av konstruktivistisk tankegods; men en god blanding Læreren som kulturformidler Fokus på elevaktivitet: undersøkende og problemløsende aktiviteter, holdninger, kreativitet Matematikk som en prosess Ferdigheter nedtones Detaljerte mål og delmål, innhold, arb.måter og eksempler for hvert årstrinn Men det har blitt mye moromatematikk

Kunnskapsløftet LK06 L97 er grunnlag Målbare kompetansemål Måler hva eleven kan gjøre med kunnskapen Mer behavioristisk? Metodefrihet; men står at man skal jobbe både praktisk og teoretisk ”veksle mellom utforskende, lekende kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening” Definisjonen av hva grunnleggende ferdigheter er i matematikk synliggjør læringsteorien (muntlig, lese, skrive, IKT)

Kinesisk visdom ”En klok leder setter stor pris på å lytte, og sier selv lite. Når hans arbeid er avsluttet, sier folket: Dette gjorde vi selv.”

Hva? Hvorfor? Hvordan? Hva?: Språk og matematikk Elevaktivitet Viktig teori for prinsippene bak læring i matematikk Hvordan?: ”Forelesning”, film og oppgaver.

Litteratur Bjørnestad, Øistein (2003): Om læringssyn i grunnskolematematikken Breiteig & Venheim (2005): Matematikk for lærere 1 Breiteig & Venheim (1999): Matematikk for lærere 2 Alseth, Bjørnar, Breiteig, Trygve og Brekke, Gard (2003): Synteserapport ”Endringer og utvikling ved R97 som bakgrunn for videre planlegging og justering – matematikkfaget som kasus” Evaluering av Reform97, Norges Forskningsråd Høines, Marit J. (1998): Begynneropplæringen Imsen, Gunn (1999): Elevens verden?? Karlsen, Lisbet (2004): Profesjonell utvikling hos matematikklærere mot en mer elevaktiv undervisning. (Utdrag tilgjengelig her) Linden, Nora (1995): Stillaser. Om barns læring Niss, Mogens og Højgaard Jensen, Tomas (redaktører) (2002): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling av matematikundervisning i Danmark. Utdannelsesstyrelsens temahæfteserie nr.18 – 2002, Undervisningsministeriet 2002

3 modeller av klasserommet (Sven Ludvigsen -99) Tradisjonelt klasserom Konstruktivistisk klasserom Klasserommet som læringsfellesskap Tett relasjon til pensum Tett relasjon til elevenes forkunnskaper Tett relasjon til elevenes kulturelle bakgrunn og forkunnskaper Formidling av informasjon Bearbeiding av forestillinger i forhold til en gitt representasjon Bearbeiding av forestillinger i forhold til lokale kontekster Aktivitetene tett relatert til lærebøker og arbeidsbøker Aktivitetene tett relatert til primære kilder og materiale som kan manipuleres Aktivitetene tett relatert til materiale som konstrueres av elevene selv og materiale som kan manipuleres Lærerstyrt undervisning Aktivitetsorientert undervisning Problem- og aktivitetsorienterte læreprosesser Bredde og fragmentering Dybde og integrasjon av tema og begreper Individuelt arbeid Systematisk arbeid i grupper Rett svar Resonnering med begreper Resonnering med begreper i ulike læringsfelleskap Prøver med vekt på gjengivelse Tester med vekt på adekvat forståelse Prosjekt- fremleggelser portefølje PC som ressurs: drill og øvelser Støtte for individuell konstruksjon av kunnskap Tilgang til informasjon som må omformes ved hjelp av refleksjon i lærings-fellesskapet