Læringsteorier i matematikk -hvorfor gjør vi det vi gjør i matematikkundervisninga?

Plan for økta: Hva betyr det å kunne matematikk? Matematikkdidaktikk: Påstander eller basert på teori og forskning? Læringssyn i matematikk i de ulike læreplanene

Hva betyr det å kunne matematikk? Eldre definisjon: -fakta -ferdigheter -begreper -begrepsstrukturer (skjema) -strategier -holdninger (B&V:1999:) Fakta:, en rett vinkel er 90 grader, vinkelsummen i en trekant er 180 grader?? Ha med stor trekant Ferdigheter: kunne konstruere en 90 graders vinkel, kunne 10-gangen -begreper: hva er en vinkel, hva er å gange -begrepsstrukturer: begrepene er ofte beslektet , og inngår i ”begrepsnettverk”; disse kaller vi for skjema. Begreper i slike nettverk er mer varige enn isolerte begreper. Enklere å tilpasse, fleksible, understøtter ferdigheter for vi vet HVORFOR -strategier (lete etter mønster, sette opp en tabell, lage figur, hva vet jeg og hva er ukjent osv.) -holdninger (har mye å si for hvordan du lærer, feks hvis du mener matte er et regelfag med ett svar, så påvirker det hvordan du jobber med problemløsningsoppgaver, påvirker din kreativitet)

Ny kompetansebasert definisjon: De åtte matematiske kompetansene (Niss/Højgaard:2002:46) ”å spørre og svare i, med og om matematikk”: Tankegangskompetanse Problemløsningskompetanse Modelleringskompetanse Resonneringskompetanse ”å omgås språk og redskaper i matematikk”: Representasjonskompetanse Symbol- og formalismekompetanse Kommunikasjonskompetanse Hjelpemiddelkompetanse I forhold til det nå så moderne kompetansebegrepet er det viktig å påpeke at det ikke finnes en entydig beskrivelse av hva matematisk kompetanse er. De fleste inndelingene som brukes i dag er likevel veldig like. Denne definisjonen mener jeg er mangelfull da den ikke sier noe om hvilke kognitive prosesser som faktaene, ferdighetene, begrepene og strategiene kan inngå i.

Påstander eller basert på teorier og forskning? ”I denne klassen jobbet de veldig tradisjonelt i matten” Hva betyr det? ”Dette var en fin aktivitet, fordi barna var aktive”. Hvorfor er det bra? ”Det er fint med små grupper for da får man snakket matematikk, og det er veldig viktig. Hvorfor? ”De får samarbeidet bra på stasjonene, og da lærer de mer”. Hvorfor? Deres egne påstander; praksis er den beste læringsarenaen; men det blir tydelig at vi ikke alltid har like gode begrunnelser for alt vi gjør; da ender vi fort opp med læringssyn og læringsteorier.....

Påstander eller basert på teorier og forskning? (forts.) ”Jeg vektla å ha med mange konkreter i undervisninga, som alle vet er viktig.” eller ”Når barna har jobbet praktisk med brøk, så har de det friskt i minne/huske tilbake til videre regning.” Hvorfor? Det er viktig å bygge opp matematikkforståelsen steg for steg. Hvorfor?

Påstander eller basert på teorier og forskning? (forts.) ”læring i matematikk foregår når eleven utfordres på sin proximale sone” Hva betyr dette?

Læringssyn i matematikk i de ulike læreplanene

M74 Stor vekt på grunnleggende ferdigheter i faget Detaljert innhold Reaksjon på forsøk med å innføre ”moderne matematikk” i M71 (renere matematikk) inspirert av Brunners spiralprinsipp, alle kan lære alt når som helst (resultat av den kalde krigen)

M87 Tilpasset opplæring Bygge på det barna kan når de starter på skolen Tverrfaglighet Problemløsning Innholdsplan Ikke arbeidsmåter Lokale planer

L97 Tydelig inspirert av konstruktivistisk tankegods; men en god blanding Læreren som kulturformidler Fokus på elevaktivitet: undersøkende og problemløsende aktiviteter, holdninger, kreativitet Matematikk som en prosess Ferdigheter nedtones Detaljerte mål og delmål, innhold, arb.måter og eksempler for hvert årstrinn Men det har blitt mye moromatematikk

Kunnskapsløftet K06 L97 er grunnlag Målbare kompetansemål Måler hva eleven kan gjøre med kunnskapen Mer behavioristisk? Metodefrihet; men står at man skal jobbe både praktisk og teoretisk ”veksle mellom utforskende, lekende kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening” Definisjonen av hva grunnleggende ferdigheter er i matematikk synliggjør læringsteorien (muntlig, lese, skrive, IKT) Problemløsende aktiviteter sees på som den høyeste form for læring; må kombinere tidligere regler og kunnskaper for å løse et nytt ukjent problem. Slike aktiviteter avslører TALLSKRIVERNE- de som bare utfører prosedyrer og innøvde regler uten forståelse bak. Utforskende aktiviteter er ofte lette å differensiere (eks. Arbeid med store tall ,samle kongler i skogen, sortere og telle, elevene jobber da selv i det området de behersker) eller utforske strategier i et spill, alle kan si noe om det, feks at det lønner seg å starte, noen kan komme frem til en formel Men også oppdagende læring kan være dårlig og ødelegge motivasjonen, om den ikke følges opp, om den er tilfeldig, dårlig planlgat eller ingenting blir oppdaget!!

Dagens skole Økt fokus på metakognisjon; få kunnskap om og ta kontroll over egen læring Individuelle arbeidsplaner og få samlingspunkter ? Individuelle læringsstiler vektlegges? Analytisk eller deskriptivt fokus: Studentpåstand: ”Matematikk er fortsatt et lærebokstyrt fag” Synteserapporten (Alseth/Breiteig/Brekke:2003)(Boaler:1997) Metakognisjon: Økt forskning de siste årene, Ingrid Pramling (1988). Hvordan opplever barn selv at de lærer, hvilke strategier har jeg? Hvordan styrke dette: Elevene får være med å sette mål, lage planer, skrive logg, lage begrepskart, lage oppgaver, rette for andre

Kinesisk visdom ”En klok leder setter stor pris på å lytte, og sier selv lite. Når hans arbeid er avsluttet, sier folket: Dette gjorde vi selv.”

Kilder Bjørnestad, Øistein (2003): Om læringssyn i grunnskolematematikken Breiteig & Venheim (2005): Matematikk for lærere 1 Breiteig & Venheim (1999): Matematikk for lærere 2 Alseth, Bjørnar, Breiteig, Trygve og Brekke, Gard (2003): Synteserapport ”Endringer og utvikling ved R97 som bakgrunn for videre planlegging og justering – matematikkfaget som kasus” Evaluering av Reform97, Norges Forskningsråd Høines, Marit J. (1998): Begynneropplæringen Imsen, Gunn (1999): Elevens verden?? Karlsen, Lisbet (2004): Profesjonell utvikling hos matematikklærere mot en mer elevaktiv undervisning. (Utdrag tilgjengelig her) Linden, Nora (1995): Stillaser. Om barns læring Niss, Mogens og Højgaard Jensen, Tomas (redaktører) (2002): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling av matematikundervisning i Danmark. Utdannelsesstyrelsens temahæfteserie nr.18 – 2002, Undervisningsministeriet 2002

”Nå må alle tenke litt, og så spør jeg en” -tradisjonell matematikkundervisning Behavioristisk Læreren setter mål Læreren styrer timen og kommunikasjonen Lærer-elev-kommunikasjon Læreren presenterer regler, repeterer lekser Elevene får oppgaver som må gjøres Tilbake

Hvorfor er det viktig at elevene er aktive i matematikkundervisninga? Konstruktivisme; mennesket er selv aktiv i sin oppbygging av kunnskap, knytter til tidligere kunnskap, kunnskap kan ikke overføres, må oppdages Det er arbeidsomt å lære! Platons dialoger Piaget (1896-1980); egne erfaringer Dewey; ”en erfaring er det som lever videre etter undervisninga” Åpne, utforskende og problemløsende oppgaver gir mulighet for aktive elever på søk etter kunnskap Går ikke særlig inn på behavoioristiske læringsteorier; stimulus-respons, belønning skal motivere, ønsket adferd, MEN: selvsagt viktig å kunne regler, huske fremgangsmåter, huske hvordan tosifrede tall skrives osv....Vi trenger også øvingsoppgaver Problemløsende aktiviteter sees på som den høyeste form for læring; må kombinere tidligere regler og kunnskaper for å løse et nytt ukjent problem. Slike aktiviteter avslører TALLSKRIVERNE- de som bare utfører prosedyrer og innøvde regler uten forståelse bak. Utforskende aktiviteter er ofte lette å differensiere (eks. Arbeid med store tall ,samle kongler i skogen, sortere og telle, elevene jobber da selv i det området de behersker) eller utforske strategier i et spill, alle kan si noe om det, feks at det lønner seg å starte, noen kan komme frem til en formel Men også oppdagende læring kan være dårlig og ødelegge motivasjonen, om den ikke følges opp, om den er tilfeldig, dårlig planlgat eller ingenting blir oppdaget!! Japan: hver time ett nytt problem, rike problemer, læreren veileder og noterer seg så de ulike strategiene, slik at alle blir presentert etterpå. Skåret høyt i TIMMS.

Jerome S. Brunner (,-) Tre nivåer for kunnskapsrepresentasjon Enaktivt nivå (konkret) Ikonisk nivå (billedlig) Symbolsk nivå Learning by discovery (induktiv und.) Oppdagelse er en indre reorganisering av ideer eleven alt kjenner (akkomodasjon) Elevaktivitet spesielt viktig for de yngste elevene som er på det konkrete og ikoniske nivået (eks. Johnsen Høines sitt arbeid) Spiralprinsippet Tilbake Telling, tall og tallregning, måling og størrelser oppfattes først på det konkrete nivået, handlingsnivået(enaktiv)

Hvorfor er det så viktig at elevene snakker matematikk? Vygotsky; språkets betydning for læring; begrep = BI + BU Oppklarende for seg selv å måtte forklare for andre Skriftliggjøring Tekstoppgaver og regnefortellinger Dewey: learning by doing and reflection Tilbake Lærerens ansvar å fylle på både BI og BU. Viktigheten av å få lære i 1.ordens språk Eleven kan ha BU men ha ET MEGET MAGERT BI!! Eks. Sier ”bilen er rød”, men har så få erfaringer med rød at det er knyttet til bilen, ”jeg er tre år”, ikke noe tallbegrep om 3. Tekstoppgaver: Læring kan starte med tekstoppgaver (forskning), rike oppgaver gir mulighet for solid læring, fleksible begreper, må ikke ha alle ferdigheter på plass før en kan gjøre tekstoppgaver

Hvorfor er det viktig at elevene samarbeider i matematikkaktiviteter? Sosio-kulturelt læringssyn Vygotsky, Dewey, Brunner Olga Dysthe Ikke glemme TPO Tilbake Piaget mente at kunnskap er individuelt, bygges opp av barnet selv på basis av erfaringer Dette motsier ham; at det sosiale betyr mye mer enn han vektla; barn er først sosiale(lek og kommunikasjon med foreldre), så individueller Tanken er at den individuelle elevens behov skal bli ivaretatt i et læringsfellesskap

Hvorfor er det positivt at elevene får tilgang til varierte konkreter? De trenger ”knagger” å henge det faglige innholdet på! Piagets skjema; assimilasjon og akkomodasjon Vi ønsker at kunnskapen skal generaliseres og ikke kun knyttes til konkretene (eks. klossehus og primtall) Akkomodasjon; skjema må endres for å ta opp de nye begrepene F.eks. Når barn ahar jobbet med hele tall, og skal lære om brøk. Akkomodasjon skjer når en ubalanse oppstår; ønsker å opprette likevekt igjen

Bruk av konkreter - utfordringer Abstraksjonsmålet krever at læreren er reflektert i bruken av konkretene (Resnick:1987 i B&V:1998:374) ”Problemet er at vi lærerne allerede kjenner tallenes verden, og kan si: Disse stavene oppfører seg akkurat på samme måte som tallene gjør. Men hvis vi ikke hadde visst hvordan tallene oppførte seg, ville da det å se på stavene ha hjulpet oss til å løse oppgaven?” (B&V:1998:374) Tilbake Barn som ser sammenhengen mellom enere og tierstavene er barn som allerede har konstruert begrepet ti som et abstrakt begrep, det vil si de som allerede har forstått prinsippene.

Må man bygge opp matematikkunnskapene steg for steg? Ja, i mange tilfeller Hva må man kunne før man starter med titallssystemet? Før Pytagoras setning? Gagnes læringshierarki; mursteinsprinsippet Viktig å strukturere stoffet, hensiktsmessig rekkefølge Befeste hvert ”trinn” ved å jobbe med ferdighetstrening i etterkant av ”opplevelsene” (K06) Tilbake Gagne: Elever lærer ved å tilegne seg en rekkefølge av kunnskaper, der hver kunnskap er mer kompleks og avansert enn de forkunnskapene den bygger på, altså får vi et hierarki Ikke alt er avhengig av dette; må feks ikke vite noe om vinkler for å gjøre erfaringer med mønster og border i barnehagen. ”å lærematematikk går ikke alltid langs en rett linje, men kan snarere sammenliknes med å klare i et tre” (Skovmose) Ref. Spiralprinsippet til Brunner PIagets teorier kræsjer med dette, som sier at det læring er en komplisert vekselvirkning mellom gammelt og nyt, og at det gamle endres når nytt kommer til.

Vygotskys proximale sone og det støttende stillas Elevens utviklingspotensial i fokus Læreren og medelever som støttende stillas Men hvem eier kunnskapen når læreren er støttende stillas? Stieg Mellin-Olsen; ikke barnets egen virksomhet? Viktig i kartlegginga Tilbake

BU BI B Selve begrepet (B) eks. ”ukjent tallverdi” Begrepsinnhold (BI) Tanker, følelser, erfaringer, opplevelser som personen knytter til begrepet. Eks. erfaringer med ”hemmelig boks” i matematikkoppgaver, mestringsfølelse knyttet til at hun tidligere har forstått slike oppgaver Begrepsuttrykk (BU) De språklige uttrykk som personen bruker for å uttrykke sitt begrepsinnhold om begrepet. Kan være kroppsspråk, tegninger, ord osv. BU representerer BU BI B Språk av 1.orden Et språk som eleven kan tenke gjennom. Eks. ”et hemmelig tall”, ”bokstallet” Språk av 2.orden Et ukjent språkuttrykk for begrepet, har ikke kontakt med BI Eks. ”x”, ”den ukjente tallverdien” Pedagogens jobb er å oversette fra det kjente 1.ordens språket til det ukjente 2.ordens, slik at dette blir en del av elevens 1.ordens språk, og dermed står i direkte kontakt med BI.