Bevis i matematikk- undervisningen For lærere i videregående skole Byåsen 27.08.07 Ingvill Merete Stedøy-Johansen 26-Dec-18

Fokus på faglighet De store og viktige spørsmålene Hva er et gyldig bevis? Hvordan kan elevene selv arbeide med matematiske bevis? Gjennom hele økta blir det eksempler og situasjoner som skal belyse de viktige poengene, og vise at det går an å ha fokus på faglighet gjennom hele matematikkopplæringen. Elever som forstår matematikk, kan resonnere og tenke matematisk. De tør å ta sjanser, møte utfordringer, og de liker matematikk! 26-Dec-18

De store og viktige spørsmålene Hva er matematikk, og hvilken oppfatning har elever av hva matematikk er? Hvordan kan elevene utvikle matematisk forståelse? Hvorfor er forståelse viktig for å oppnå matematikkompetanse? 26-Dec-18

Hva er matematikk? Mønster og system og sammenhenger mellom disse. Alt skal følge logisk gyldige resonnement og regler som er bestemt av matematikere. Disse må læres, og man må forstå forskjellen på gyldige og ugyldige resonnement. Et strengt oppbygd presist og logisk språk, der forståelsen av begreper er avgjørende for å kunne bruke språket og bidra i diskusjoner. Et idealisert og forenklet bilde av virkeligheten (en teoretisk modell) som gjør oss i stand til å gjennomføre ulike beregninger. Matematikkens svar er alltid presise og riktig innenfor den teoretiske modellen, men modellen er ikke alltid et godt nok bilde av virkeligheten. 26-Dec-18

Hvordan kan elevene utvikle matematisk forståelse? Elever og lærere må være bevisst på å finne logikken i det de lærer. Elever og lærere må trenes opp til å se mønstrene, til å se systemene og til å finne sammenhengene. De må trenes opp til å bruke det matematiske språket korrekt, og til å følge de matematiske spillereglene. De må bli klar over forskjellen på definisjoner og påstander som må bevises. Elever å lærere må være nysgjerrige, lete etter forklaringer, og ønske å forstå. De må venne seg til å lete etter svar på ”hvorfor-spørsmål” og ”hva hvis-spørsmål”. 26-Dec-18

Hvorfor er forståelse viktig for å oppnå matematisk kompetanse? Bare de som forstår matematikken, kan bli gode problemløsere. Bare de som forstår matematikken kan gjennomføre gyldige resonnement og trekke slutninger. Bare de som forstår matematikken kan lage og bruke en matematisk modell. Bare de som forstår matematikken kan diskutere matematikk med andre. Bare de som forstår matematikken kan holde orden på symbolene og forstå hva de ulike symbolene kan representere. Bare de som forstår matematikken kan utnytte hjelpemidler på en god måte. Bare de som forstår matematikken vet om det de har gjort er riktig eller galt. 26-Dec-18

Hva er et gyldig bevis? Det kommer an på hvilket nivå vi snakker om. Eksempel 1: Summen av to oddetall er et partall. Eksempel 2: Summen av vinklene i en trekant er 180˚ Eksempel 3: Av tre etterfølgende naturlige tall, vil nøyaktig ett av dem være delelig med 3. (Generalisering av dette) Eksempel 4: Ulike delbarhetstester. 26-Dec-18

Ulike bevistyper Direkte bevis Induksjonsbevis Kontrapositive bevis 26-Dec-18

Eksempler på bevis som elevene kan arbeide med 1089 100-kartet Froskespillet Hanois tårn Snu trekanten Klassiske bevis: Euler: Det finnes uendelig mange primtall Geometri: Pytagoras læresetning En periferivinkel er lik halve buen den spenner over 26-Dec-18