Algoritmer, regnemåter, regneregler Fagplanen for M1, 3. semester: ordning og systematisering, regnemåter, regneregler, begrunnelser og bevis, vurdering i skolen og tilpasset undervisning

Algoritme – hva er det? Høines: Oppskrift for å løse en oppgave, metode for å løse et problem Wikipedia: en beskrivelse av de operasjonene som skal til for å løse en gitt oppgave matematikk.net: en stegvis prosedyre

Å finne sin egen algoritme Nært knyttet til problemløsing Eksempel fra Høines: Hvor mange rette linjestykker kan du trekke mellom 4 punkter? Prøv med varierende antall punkter Finner du noen regel for sammenhengen mellom antall punkter og antall streker? Formel?

Eksempel forts. FormelIllustrasjon av formel n=4

L97 SIER: ”Elevene konstruerer selv sine matematiske begreper. For denne begrepsdannelsen er det nødvendig å vektlegge samtale og ettertanke.” (s. 155) ”På alle nivåer skal opplæringen i matematikk gi muligheter til å undersøke og utforske sammenhenger....” (s 156)

L06 sier: stimulere elevene ( ) til å utvikle egne læringsstrategier og evne til kritisk tenkning …muligheter for å arbeide både praktisk og teoretisk. Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.

Algoritmer for regning med de fire regneartene Kompetansemål i L06, 2. trinn, Tall: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne utvikle og bruke varierte regnestrategier for addisjon og subtraksjon av tosifrede tall Doble og halvere

Algoritmer for regning med de fire regneartene Kompetansemål i L06, 4. trinn, tall: Anslå og bestemme antall ved hoderegning, bruk av tellemateriell og skriftlige notater… Utvikle og bruke ulike regnemetoder for addisjon og subtraksjon… Bruke den lille multiplikasjonstabellen og gjennomføre multiplikasjon og divisjon knyttet til ulike praktiske situasjoner

Eksempel = =105 = = 105 = – 5 = 110 – 5 = 105

Skriftlig hoderegning Birgitta Rockström Så elever som regnet mekanisk, kopierte algoritmer. Slet med å huske reglene. Liten forståelse for hvordan regneartene hang sammen. Fikk elevene med på å tenke ut lure regnemåter.

Eksempel 17 * 6 = 10 * * 6 = = 102 = = 102 = 20 * 6 – 3* 6 = 120 – 18 = 102

Skriftlig hoderegning Skrev ned mellomregning, men regnet ellers i hodet. Så på hele tallene, isteden for å jobbe kun med enere. Gjør numeriske oppgaver enklere ved at mellomregningen skrives ned.

Eksempel 584 – 267 = – 3 = 317 = 320 – 3 = 317 = 587 – 270 = 317 = =317

Skriftlig hoderegning Styrker og utvikler elvenes talloppfatning og tabellkunnskap, gir forståelse for posisjonssystemet og klargjør likhetstegnets betydning. Tar vare på elevenes fantasi, stimulerer og trener kreativ, fleksibel og logisk tenkning.

Skriftlig hoderegning Gir trening i å uttrykke seg matematisk riktig, både muntlig og skriftlig. Gir tro på egne muligheter og lyst til å prøve egne tenkesett på stadig vanskeligere oppgaver

Eksempel 30,5 – 15,65 =15 – 0,15 = 14,85 =15 – 0,1 – 0,05 = 14,85 =15,5 – 0,65 = 14,85 =30,85 – 16 = 14,85 =34,85 – 20 = 14,85 =30 – 15,15 = 14,85 =0,05 + 0, ,5 = 14,85 =0, ,50 = 14,85 =4, ,5 = 14,85

Skriftlig hoderegning Utvikler elevenes evne til å se sammenhengen mellom regneartene, utnytte regneregler og dra egne slutninger. Ser på hele tallet istedenfor å behandle alle posisjoner som enere

Mellomleddets betydning Forenkler utregningen Tvinger fram tankevirksomhet og logikk Gjør likhetstegnets betydning tydelig Gir mulighet for å se og reflektere over egne tanker

Mellomleddets betydning Kan se forskjellig ut, avhengig av oppgaven og elevens kreativitet Innbyr til resonnement om ulike tenkemåter Er en støtte for minnet som gir sikkerhet, men kan noen ganger utelates

Mellomleddets betydning Mulighet for lærer til å se hvordan elevene tenker Eksempel: 4, ,5 = 14,40

Viktige forkunnskaper Likhetstegnet. Posisjonssystemet. Tabellkunnskap

Addisjon = = 105 (regne hver størrelse for seg) = = 946 (flytte over for å få et rundt tall) = = 166 (Flere ledd åpner for mange muligheter. Viktig at elevene selv finner ut ”lure” måter.) = 600 – 3 = 597 (legge til hjelpetall som seinere trekkes fra)

Mer addisjon Fra Høines: Addisjon med tierovergang før dette er gjennomgått på tradisjonell måte. (se transparent)

Subtraksjon Hver størrelse for seg: 87 – 32 = = – 48 = 50 – 5 = 45 Øke hvert ledd med samme tall: 93 – 48 = 95 – 50 = – 196 = 1069 – 200 = 869 Fylle på: 93 – 48 = = 45

Multiplikasjon 2 * 37 = = =74 (Gjentatt addisjon) 2 * 37 = 2 * * 7 = = 74 (Distributive lov) 6 * 295 = 6*300 – 6*5 = 1800 – 30 = 1770 (Multiplisere med enklere tall og addere / subtrahere avviket) 4 * 350 = 2 * 2 * 350 = 2 * 700 = * 624 = 5 * 2 * 312 = 10*312=3120 (Tillempe assosiative lov eller halvere – doble, doble – halvere)

Mer multiplikajson Fra Høines, ”Begynneropplæringen”: Hvordan har denne eleven tenkt? 324*

Enda mer multiplikasjon Eksempel fra Rockström: 3,6*0,75 =1,8*1,5=0,9*3=2,7 =1,8+0,9=2,7 =3,6-0,9=2,7 =0,9*3=2,7 =(3*3,6):4=3*0,9=2,7

Enda mer multiplikasjon Liknende oppgave ga denne løsningen fra elev i ungdomsskolen: 4,44*1,75=7+0,7+0,07=7,77 Hvordan har eleven tenkt?

Divisjon Telleren deles opp i tall som passer med tabellen for nevneren: eller:

Divisjon Enklest med ensifret nevner eller 10 som nevner. Kan ordnes ved forkorting eller utviding: eller

Divisjon ”Kortdivisjon”: Gjør divisjonene i hodet. Fører små minnetall på riktig sted:

Mer divisjon: Hvordan har denne eleven tenkt? 2464:4=

Rockström: ”Få elever tycker att algoritmeräkning är interessant eller rolig. Det mekaniska räknandet – där man inte behöver tänka själv – passar dåligt för barn som av naturen är logiska, kreative och vill tänka själva. Följden blir att matematikk upplevs som både tråkig och fantasilös.”

Eksempel fra Rockström: Gymnasieelev som slet med å finne 17% av 8000, ble vist følgende utregning: 0,17 * 8000 = 17 * 80 = = 1360 ”Det där var ju skitenkelt, varför har jag aldrig fått lära meg det?”

Nyttig litteratur Høines: Begynneropplæringen, kap 5 Breiteig og Venheim 1, kap 3 Rockström: Skriftlig huvudräkning