Noen undervisningsprinsipper laget på basis av uttalelser av Alan Bell Tommy Eads Hans Freudenthal Egne kommentar hentet fra ulike hold.

Felles for alle teoretikere: Det finnes ingen enkle oppskrifter på undervisning . Undervisningen kan ikke planlegges i detalj på forhånd. Man må justere og tilpasse underveis. Det må være dialog mellom lærer og elev. Elevene må spille en aktiv rolle. Tradisjonell metode med forklaring og etterfølgende øving holder ikke mål.

Alan Bell Litt bearbeidet

Svakheter ved tradisjonell u.v. Den tradisjonelle undervisningen er for skjematisk og preget av drill og bruk av algoritmer og regler. Misforståelser bringes ikke fram i lyset og får derfor lov til å sperre for videre læring. Det brukes for liten tid til å diskutere og avklare innhold og mening av begrepene.

Svakheter forts. Elevene har for få anledninger til å samarbeide og dermed gjennomføre slik diskusjon. De oppgavene og problemstillingene som elevene får er kunstige og har liten relevans for livet utenfor skolen. Det er liten eller ingen kontakt mellom skolen og miljøet utenfor. Det ytre miljøet brukes ikke i matematikkundervisningen.

Anbefalinger Man bør ta utgangspunkt i en situasjon som ligger så nært opp til det virkelige liv som mulig. Det må utformes problemer eller oppgaver som inneholder viktige begreper. Fleksibilitet er viktig i denne fasen. Det må gis rom for spørsmål og utfordringer som elevene selv er opptatt av.

Anbefalinger forts. Av og til kan elevene selv utforme hele oppgaven. Elevene forsøker å løse problemet på egenhånd. "På egenhånd" betyr uten innblanding av lærer, ikke individuelt. Diskusjon i smågrupper er ønskelig. Først når de er godt i gang eller møter vansker griper læreren inn for å gi hint eller hjelp.

Stadier av utvikling hos læreren Regler Prinsipper Internaliserte handlingsmønstre

Anbefalinger forts. Etter at problemet er løst eller bearbeidet på en rimelig bra måte, må det foretas en oppsummering. Dette kan gjøres i form av klassediskusjoner eller på andre måter, slik som å bruke sjekklister, foreta selvvurdering eller utarbeidelse av begrepskart.

Anbefalinger forts. En høyest mulig intensitet i arbeidet og diskusjonene er ønskelige. Ulike kreative aktiviteter kan knyttes til arbeidet, slik som å utforme lignende problemstillinger eller skrive rapporter, kommentarer til hva man gjør og tenker, eller å lage en fortelling om arbeidet.

Instruksjonsprinsipper Tommy Eads. Instruksjonsprinsipper

6 temaer som gjentas: Aktiv deltakelse: studentene må delta aktivt i problemløsningen. Verbal interaksjon: studentene må snakke om den matematikken de lærer. Revisitasjon: viktige problemsituasjoner blir revisitert med jamne mellomrom. Uformelt språk: bruk av matematikkens formelle språk holdes på et minimum, og introduseres ikke før det er behov for det.

6 temaer forts. Lesing: studentene må lese som en del av det å lære matematikk. Generalisering: studentene gis anledning til å møte mange tilfelle som de kan generalisere ut fra.

Aktiv deltakelse Studentene har større tilbøyelighet til å være aktive enn før. Materialet presenteres på en måte som oppmuntrer dette. ("Hva skjer hvis ... ?”]

Verbal interaksjon Studentenes kommunikasjon er blitt endret. ("Hva skjer hvis ... ?") Det blir bedre læring når det åpnes for diskusjon. I skriftlig materiale kan det være vanskelig å avsløre misforståelser. Diskusjoner gir anledning til å korrigere slike.

Eksempel fra arbeid med funksjonwer. Studentene forfølger egne idéer ved å gjøre små endringer på grafene. Mange studenter er omtrentlige i omtale og tenkning om grafer. De har ofte liten erfaring i bruk av akser med ulik målestokk. Bruk av kalkulatorer tvinger fram endring i dette. Beste metode er å be dem beskrive det de har gjort.

Verbal interaksjon forts. To grunner for at verbal interaksjon er essensielt: Det gir informasjon om hva studenter tenker. Det tillater å forme tanker som går i riktig retning. Kommentarer gir anledning til å skape læringstilfelle.

Revisitasjon av problemer Begreper og ferdigheter må brukes for å læres. Samme problem kan presenteres i ulke sammenhenger. F.eks. kan én type likninger komme fram i ulike sammenhenger.

Revisitasjon av problemer forts. Nye ideer kan fremmes i kjente sammenhenger. Ofte er både sammenhengen og ideen ny. Gir mulighet til å lære ting som man ikke har forstått tidligere (akkomodasjon).

Uformelt språk Holdes på et minimum. Formelle definisjoner gjør matematikken mer abstrakt enn den egentlig er. En rekke studenter tapes for matematikken på grunn av dette. Definisjoner som første introduksjon til et matematisk tema, er uforenlig med nye ideer om matematikkundervisning.

Lesing De fleste lærebøker er lite lesevennlige. Studenter har vanskelig for å forstå viktigheten av å lese. Må motiveres.

Generaliseringer Matematikk angripes best via problemer. For at problemer skal føles relevante, må de presenteres i et forståelig språk. Instruksjonsfilososfien kan best beskrives som eksperimentell.

Skifte i undervisning. Roller

Tradisjonell lærer Oppgavegiver Manager Forklarer

Den nye lærerrollen Medstudent Ressursperson Rådgiver

Den tradisjonelle lærerens aktiviteter Utstiller Drill-leder Øvingsleder

Aktivitetene i den nye lærerrollen Diskusjonsleder Forsker Problemløser

Den tradisjonelle elevrollen Absorbere Gjenkalling Lytting Følge regler

Den nye elevrollen Abstrahere Reflektere Analysere Snakke Generalisere Gi retning Ta sjanser Inngå i nettverk

Idéer fra Freudenthal-instituttet RME = Realistic Matheamtics Education.

Ledet gjenoppdagelse Elevene må møte matematikken som en gjenoppdagelse av ting som allerede er funnet. Dette må skje under veiledning, ellers vil elevene kjøre seg helt fast eller bruke alt for lang tid.

Tankeeksperimenter i underivisningsplanlegginga. Vi prøver å forutse hva elevene kan komme til å gjøre - og hva de vil forstå.

HTL = hypothetical learning tra-jectory - hypotetisk læringsspor Gjetning om hvordan elevenes tenkning og læring vil utvikle seg. 3 komponenenter: Læringsmålet. Læringsaktiviteten. Den hypotetiske læringsprosessen.

Sjekkpunkter: Læres det som er forutsatt ? Bruker elevene de strategiene som man mente de skulle gjøre ? Finner elevene fram til de ideene man ønsker de skal finne ? Er elevene interessert ? Var læringsprosessen effektiv ? Holdt tidskjemaet ?

Er dette lett å få til ? SIMON: Det eneste som er sikkert er at undervisningen ikke vil bli som planlagt ! Oppleggene må altså alltid revideres.

Læringsheksagonet