Binomiske trær Chapter 11 BED 1 - HIH 2010

En enkel binomisk modell En aksjekurs er nå $20 Om 3 mnd vil den enten bli $22 eller $18 Aksjekurs = $18 Aksjekurs = $22 Aksjekurs = $20 BED 1 - HIH 2010

En kjøpsopsjon (Figure 11.1, page 248) En 3-mnd call på aksjen har en innløsningskurs på 21. Hva er opsjonen verd? Aksjekurs = $22 Opsjonsverdi = $1 Aksjekurs= $20 Opsjonspris =? Aksjekurs = $18 Opsjonsverdi = $0 BED 1 - HIH 2010

En risikofri portefølje Se på denne porteføljen: long D aksjer short 1 call Porteføljen er riskofri når avkastningen for begge alternativene er identiske dvs. At 22D – 1 = 18D eller D = 0.25 22D – 1 18D BED 1 - HIH 2010

Verdsetting av porteføljen (Risikofri rente er 12%) Den risikofri porteføljen er long 0.25 aksjer og short 1 call Verdi på porteføljen om 3 måneder er: 22 ● 0.25 – 1 = 4.50 Porteføljeverdi i dag er 4.5e – 0.12●0.25 = 4.3670 BED 1 - HIH 2010

Verdsetting av opsjonen Vi fant at porteføljen som består av long 0.25 aksjer og short 1 opsjon er verdt 4.367 Aksjene er verdt 5.000 (= 0.25 ● 20) Opsjonspris = ƒ 20 ● 0.25 - ƒ = 5 – ƒ ƒ – 5 = 4.367, 0psjonen er derfor verdt 0.633. BED 1 - HIH 2010

Generalisering Anta at aksjekursen er S0 og at det eksisterer en opsjon med bortfall om T hvis verdi er ƒ Aksjekursen kan gå enten opp til S0u eller ned til S0d (u er multiplikator oppad > 1 og d er multiplikator nedad < 1) Hvis aksjekursen stiger er pay off fra opsjonen ƒu og hvis aksjekursen faller er pay off ƒd BED 1 - HIH 2010

Generalisering (Figure 11.2, page 249) En opsjon med bortfall på tid T,verdi er avhengig av akjekursen S0u ƒu S0d ƒd S0 ƒ BED 1 - HIH 2010

Generalisering(forts) Vi har en portefølje som er long D aksjer og short 1 opsjon Porteføljen er risikofri og opptjener følgelig risikofri rente når S0uD – ƒu = S0dD – ƒd eller S0uD – ƒu S0dD – ƒd BED 1 - HIH 2010

Generalisering(forts) Porteføljeverdien på tid T er S0uD – ƒu Porteføljeverdien i dag er (S0uD – ƒu)e–rT Kostnaden ved å sette opp porteføljen er S0D – f Det følger at S0D – f = (S0uD – ƒu)e–rT Derfor har vi at BED 1 - HIH 2010

Generalisering, forts Ved å erstatte for D og forenkle får vi at: BED 1 - HIH 2010

Eksempel binomisk modell Anta at u = 1.1, d = 0.9, r = 0.12, T = 0.25, fu = 1 og fd = 0 Vi har da at: BED 1 - HIH 2010

p som en sannsynlighet S0u ƒu p S0 ƒ S0d (1 – p ) ƒd Det er nærliggende å tolke p og 1-p som sannsynligheter for prisøkning eller prisfall Verdien på en opsjon i en risikonøytral verdien er forventet payoff diskontert med risikofri rente S0u ƒu S0d ƒd S0 ƒ p (1 – p ) BED 1 - HIH 2010

Risikonøytral verdsetting Når sannsynligheten for prisøkning og prisfall er p og 1-p er forventet aksjekurs på tid T lik S0erT Aksjekursen øker med risikofri rente Binomiske trær viser oss at vi kan verdsette en opsjon ved å anta at avkastningen på det underliggende instrument er risikofri og diskontere med risikofri rente Dette kalles risikonøytral verdsetting og er ett (men ikke det eneste) verktøyet for å verdsette aksjeopsjoner BED 1 - HIH 2010

Opprinnelig eks på nytt S0u = 22 ƒu = 1 Siden p er sannsynligheten som gir at aksjeavkastning lik risikofri rente, kan vi finne p ut fra sammenhengen at 20e0.12 * 0.25 = 22p + 18(1 – p ) som gir at p = 0.6523 Alternativt kan vi bruke formelen at p S0 ƒ S0d = 18 ƒd = 0 (1 – p ) BED 1 - HIH 2010

Risikonøytral verdsetting Opsjonsverdien er e–0.12 ● 0.25 (0.6523 ● 1 + 0.3477 ● 0) = 0.633 S0u = 22 ƒu = 1 S0d = 18 ƒd = 0 S0 ƒ 0.6523 0.3477 BED 1 - HIH 2010

Forventet aksjeavkastning er irrelevant Sannsynligheten for kursøkning eller kursreduksjon er irrelevant ved verdsetting av opsjonen Forventet avkastning på den undeliggende eiendelen er generelt irrelevant ved verdsetting av opsjoner BED 1 - HIH 2010

Et to-trinns eksempel Figure 11.3, page 253 Det er 3 mnd mellom hvert trinn K = 21, r = 12 % 20 22 18 24.2 19.8 16.2 BED 1 - HIH 2010

Verdsetting av en Call Figure 11.4, page 253 Verdi i node B er e–0.12  0.25(0.6523  3.2 + 0.3477  0) = 2.0257 Verdi i node A er e–0.12  0.25(0.6523  2.0257 + 0.3477  0) = 1.2823 24.2 3.2 D 22 B 20 1.2823 19.8 0.0 2.0257 A E 18 C 0.0 16.2 0.0 F BED 1 - HIH 2010

Generalisering Vi har nå at tidstrinnene er Δt og ikke T får vi at BED 1 - HIH 2010

Eksempel put Vi har en 2-årig europeisk put på en aksje hvis kurs nå er 50 og innløsningskurs er 52 Vi antar to tidstrinn begge på et år (Δt = 1), hvor aksjekursen enten øker eller faller med 20 % i hver trinn (u = 1.2, d = 0.8). Risikofri rente = 5 % Aksjekurs ved økning i begge trinn er 50  1.2  1.2 = 72, kurs ved en økning og en reduksjon er 50  1.2  0.8 = 48 og kursfall to ganger gir 50  0.8  0.8 = 32 Dette gir videre at fuu = 0, fud = 4 og fdd = 20 BED 1 - HIH 2010

Eksempel put Figure 11.7, page 256 K = 52, tidstrinn =1 år r = 5 % 50 4.1923 60 40 72 48 4 32 20 1.4147 9.4636 A B C D E F BED 1 - HIH 2010

Eksempel put Risikonøytral sannsynlighet p er gitt ved Vi har at BED 1 - HIH 2010

Amerikansk opsjon En amerikansk opsjon kan utøves før bortfall. Vi starter bakerst og spør oss selv om tidlig utøvelse er lønnsomt 50 60 40 72 48 32 A B C D E F BED 1 - HIH 2010

Amerikansk opsjon Vi har som tidligere at p = 0.6282. Verdi av opsjonen ved node B er: BED 1 - HIH 2010

Amerikansk opsjon Verdi av opsjonen ved node C er: BED 1 - HIH 2010

Delta Delta (D) er forholdet mellom endring i aksjepris og opsjonspris Delta kalles også for sikringsforholdet Verdi på D varierer fra node til node BED 1 - HIH 2010

Hvordan velge u og d? Hittil har u og d vært gitt. I virkeligheten finnes u og d fra volatiliteten σ. Formlene er: BED 1 - HIH 2010

Eksempel Vi kan bruke samme eksempel som sist, hvor aksjekurs er 50, innløsningskurs 52 og risikofri rente 5 %. Vi antar at tid til bortfall er 2 år med 1-årige tidstrinn og at volatiliteten er 30 %. Dette gir at BED 1 - HIH 2010

BED 1 - HIH 2010

BED 1 - HIH 2010 At each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option Price Values in red are a result of early exercise. Strike price = 52 Discount factor per step = 0,9512 Time step, dt = 1,0000 years, 365,00 days Growth factor per step, a = 1,0513 Probability of up move, p = 0,5097 Up step size, u = 1,3499 Down step size, d = 0,7408 91,10594 67,49294 0,932698 50 7,428402 2 37,04091 14,95909 27,44058 24,55942 Node Time: 0,0000 1,0000 2,0000 BED 1 - HIH 2010

Sannsynligheten for kursøkning BED 1 - HIH 2010