God undervisning og dybdelæring i matematikk Anne-Mari Jensen Kristiansand 10.11.2017

Hva innebærer dybdelæring? Ludvigsenutvalget – NOU 2015:8 Å lære noe grundig og ikke overfladisk krever en aktiv involvering fra elevens side Dybdelæring innebærer at elevene bruker sin evne til å analysere, løse problemer og reflektere over egen læring til å konstruere en varig forståelse

K. Pettersson, G. Brandell: Att utveckla elevers begreppsförmåga Evne til å anvende og beskrive matematiske begreper og sammenhengen mellom ulike begreper. Å kunne redegjøre for begrepenes definisjoner og egenskaper. Begrep kan representeres på ulike måter, gjennom ord, bilder og symboler. Målet er å kunne bruke begrepene og vite hvorfor de er viktige, i hvilke situasjoner de kan anvendes og hvordan det er hensiktsmessig å anvende ulike representasjoner for ulike formål.

Terskelbegrep er vanskelige å lære for de fleste elever, men når man har fortsått et slikt begrep åpner det seg helt nye muligheter for å lære mer matematikk. Overgangsfasen/«liminal space» : I fasen hvor elevene arbeider med et terskelbegrep er kunnskapen ustabil. Eleven har alt klart for seg i det ene øyeblikket, men i neste øyeblikk kan forståelsen og den sammenhengen eleven så, være helt borte.

Det er en sjanse for at eleven ikke lykkes i å overvinne vanskelighetene det innebærer å tilegne seg kunnskaper om et terskelbegrep, og dermed kan de bli stående igjen i overgangsfasen (liminal space). Forskning viser at elever som altfor lenge befinner seg i denne fasen kan lage seg måter å klare seg på uten å komme seg over terskelen. For eksempel kan de lære seg regler utenat eller bestemte prosedyrer som forbindes med begrepet. Siden slik kunnskap ikke er videreutviklingsbar, kan det føre til at eleven får problemer i sin kunnskapsutvikling. K. Pettersson, G. Brandell: Att utveckla elevers begrepsförmåga

Eksempel 1 Hva er en brøk?

En terskel Overgang fra å forkorte brøker med ett ledd i teller og ett ledd i nevner til forkorting av brøker med flere ledd i teller og nevner

Hvilken kunnskap om forkorting har eleven med seg? Hva har eleven ikke forstått? Hva er forskjellen på å forkorte og å stryke like tall i teller og nevner?

Lærer har forklart grundig «Jeg har sagt det hundre ganger Lærer har forklart grundig «Jeg har sagt det hundre ganger!» (… at du ikke må forkorte faktor mot ledd! ??) Hvorfor ble det ingen forståelse, varig læring eller dybdelæring?

Nødvendige forkunnskaper og ferdigheter Å forkorte en brøk gjør vi ved å dele med samme tall i teller og nevner Når vi forkorter en brøk forandres ikke brøkens verdi Hvis det står flere ledd i teller og nevner, må vi faktorisere i teller og nevner hver for seg før vi prøver å forkorte Hvis det står flere faktorer i teller og/eller nevner kan vi forkorte faktorer «mot hverandre». ..Og hva betyr det?? Hvis det ikke fins noe tall som går opp i både teller og nevner, kan vi ikke forkorte

Læringsmål Vi kan forkorte faktorer i teller og nevner mot hverandre (krever forståelse av et annet begrep: faktor) eller Vi kan alltid dele med det samme i HELE teller og HELE nevner samtidig

Konklusjon Hvis eleven ikke kan løse problemet med å forenkle brøken så har det ikke foregått noen dybdelæring og eleven har en overfladisk kunnskap om brøk. Eleven har lært seg en metode som har fungert bra, .. så langt..

Vi må legge opp til læring der elevene bygger på det de kan, men hvor denne kunnskapen utfordres. All forskning viser at aktiv deltakelse og kommunikasjon er viktig for å oppnå relasjonell forståelse. Vi må utfordre elevene til aktiv deltakelse. Vi kan ikke «lære bort» noe, - læring er en aktiv prosess som foregår i og med elevene. Det er elevens jobb og ansvar. Vi må legge til rette for kommunikasjon i og med faget, der målet er at elevene får en relasjonell forståelse av det aktuelle emnet.

Bruk god til på å forstå terskelbegrepene før man begynner å anvende og lære regneregler Hva er en brøk?

Visualiser oppgaven Lag et bilde av 4a og 3. Disse linjestykkene skal legges sammen (etter hverandre) og deles på 3. Forklar! eller Dette linjestykket representerer 4a + 3. Det skal deles i 3 like store deler.

Illustrer feilslutningen Vis på figuren hva betyr: eller

Skriv brøken på så mange måter som mulig!

Er forståelsen «videreutviklingsbar»?

Oppgave Forklar hvorfor dette er feil:

Eksempel 2 Hva er en graf?

Mange elever vil «bruke sin gamle kunnskap» når de skal tegne grafer som ikke er lineære: Hvilken forkunnskap må elevene ha for å kunne forstå? Hvilken kunnskap er «instabil» når man gjør en slik feil?

Læringsmål En funksjon er et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variable størrelser Må kunne regne ut funksjonsverdier ved å velge ulike verdier for x, - ikke bare heltall.. Kunne plotte tabellverdier inn i koordinatsystemet Vi kan regne ut så mange punkter vi vil. Det er nødvendig med flere punkter hvis grafen er krum

Læringsmål Det fins alltid en x-verdi mellom to x-verdier vi har valgt, uansett hvor tett vi velger de to verdiene. Det betyr at det alltid fins et punkt på grafen et bestemt sted mellom to punkter vi har markert En graf er et bilde i et koordinatsystem som beskriver sammenhengen mellom to størrelser

Overgangsfasen – hva er en graf? Bruk tid på den første dype forståelsen: Hvor mange punkter er det på grafen? Vil alle punktene passe inn i funksjonsuttrykket? Har alle grafer like mange punkter? Undersøk om det virkelig stemmer: a. Regn ut punkter på grafen hvor x ikke er et helt tall b. Velg vilkårlige punkter på grafen og sjekk at de passer i funksjonen

Hva må til for å bestemme en lineær graf? Hvor mange opplysninger? På hvilke måter? Finn flest mulig! Hvordan kan du avgjøre om to lineære grafer er parallelle? Hvordan kan du avgjøre om de står vinkelrett på hverandre?

Hva forteller en graf? Ulike representasjoner: Funksjonsuttrykk, graf, tabell, beskrivelse med ord «Oversett» mellom representasjonene

Hva forteller denne grafen om hva jeg betaler for mitt medlemskap i treningssenteret ?

Hvilken graf er riktig? Viser begge eksemplene en graf?

Hvorfor er den ene grafen riktig og den andre feil?

La grafen fortelle Hvordan kan vi tegne en graf som viser hva det koster å kjøpe poteter i løs vekt? Hvordan kan vi tegne er graf som illustrerer portotakster for pakker? Hvordan kan du tegne en graf som viser din vei hjem fra skolen, hvis den skal vise sammenhengen mellom tid og fart? Hvordan vil du beskrive veien hjem fra skolen med en graf hvis den skal vise sammenhengen mellom tid og hvor langt du har gått (beveget deg)?

Flagget skal til topps!

Dropsposer Hvilken pose er tyngst? Hvilken pose er billigst? Hvilke poser veier like mye? Hvilke poser koster like mye? Hvilken pose av F og C gir mest for pengene? Hvilken av posene B og C gir mest for pengene? Hvilke to poser har samme pris per hekto?

Venter på bussen

Er forståelsen videreutviklingsbar? Flere ulike typer funksjoner og grafer kommer i funksjonslæren Sannsynlighetsfordelinger kan illustreres grafisk Forståelse for numeriske løsninger der man ikke kan regne ut direkte Transformasjon av funksjoner Parameterframstilling for grafer (Sammensatte funksjoner Omvendte funksjoner)

Hva innebærer dybdelæring? Ludvigsenutvalget – NOU 2015:8 Å lære noe grundig og ikke overfladisk krever en aktiv involvering fra elevens side Dybdelæring innebærer at elevene bruker sin evne til å analysere, løse problemer og reflektere over egen læring til å konstruere en varig forståelse

Litteratur K. Pettersson, G. Brandell: Att utveckla elevers begrepsförmåga https://larportalen.skolverket.se/#/modul/1-matematik/Gymnasieskola/446-hogkoleforberedandematematikundervisning%20GY/3_attutvecklaeleversbegreppsformaga/ Ludvigsenutvalget – NOU 2015:8