Desimaltall

Oppgave Avgjør hvilket tall som er feilplassert 0,06 0,2 1 4 30% 0,8 0,9 0,10 8 5 2 1,45 Oppgaven ble gitt til årsprøve på Lynghaug skole i daværende 9. klasse i 1984.

Desimaltall La oss se på et tall 23,541 og hva sifferne står for. 2 er antall tiere 3 er antall enere 5 står for antall tideler 4 står for antall hundredeler 1 står for antall tusendeler

Desimaltall Tidel: 1 10 Hundredel 1 100 Tusendel 1 1000

Desimaltall Mange elever sliter med desimaltall. Vi skal se på noen vanlige feilmønstre og misoppfatninger hos elever. Resultatene som presenteres er hentet fra Vicky Steinle sin doktorgrad om temaet, samt heftet Tall og tallregning av Gard Brekke. Sistnevnte heftet ligger på websiden min http://home.hit.no/~panderse/KIMhefter/kimgammeltall.pdf

Misoppfatninger Steinle deler inn misoppfatningene i fire kategorier. L – feilmønstre S – feilmønstre A – feilmønstre U – feilmønstre Disse er igjen delt inn i underkategorier. Vi skal se nærmere på disse

L - feilmønstre L – feilmønstre står for Longer is larger misconception. Steinle deler disse inn i 6 underkategorier. Ignorering av desimalkomma Strenglengdetenkning Tellerfokusert tenkning Plassoverflyttings tenkning Omvendt tenknig Null gjør mindre tenkning

Ignorering av desimalkomma Elever som har denne misoppfatningen ignorerer kommaet i desimaltallet, dvs de behandler desimaltallet som et heltall Eksempel Hva er størst av tallene 12,6 og 2,34? Elever med denne misoppfatningen tar vekk kommaet og sammenlikner. De vurderer med andre ord tallene 126 og 234 og konluderer med at 234 er størst og følgelig at 2,34 er større enn 12,6

Strenglengdetenkning Elever som har denne misoppfatningen behandler et desimaltall som to separate heltall og desimalkomma er bare et skilletegn. Det totale antall siffer bak kommaet vil være avgjørende for hva som er størst. Eksempel Hva er størst av tallene 0,45 og 0,6? Elever med denne misoppfatningen ser kun på 45 og 6 og sammenlikner. Siden 45 er større en 6 så konkluderer de med at 0,45 er større enn 0,6

Strenglengdetenkning Eksempel Hva er størst av tallene 2,005 og 2,05? Elever med denne misoppfatningen vil konkludere med at 2,005 er større enn 2,05 siden de ekstra nullene i et heltall vil bidra til å øke verdien og lengden på tallet. Altså de tenker at 2005 er større enn 205 og derfor er 2,005 større enn 2,05.

Tellerfokusert tenkning Også her bruker de strategier fra heltallstenkningen. Elever ser bort fra null som står foran et siffer. For heltall vet vi at 030 er det samme som 30. Det gjelder ikke bak kommaet. Eksempel Elever med denne misoppfatningen vil tenke at 0,3 og 0,03 er det samme siden null etter kommaet i 0,03 ikke har noe betydning.

Tellerfokusert tenkning Eksempel Hva er størst av 0,07 og 0,5? Elever med denne misoppfatningen vil tenke at 0,07 er det samme som 0,7 og at 0,07 dermed er større enn 0,5 .

Plassoverflytnings tenking Elever med denne misoppfatningen har med seg prinsippene bak plassoverflytting for heltall og skapt en desimalversjon av denne. Fra heltall vet vi at 150 er det samme som 15 tiere. En overgeneralisering av dette kan føre til at elevene tror at 0,15 er det samme som 15 tideler. Gard Brekke fant ut i sin forskning at mange elever slet med dette. Eksempel Elever med denne misoppfatning klemmer inn 15 på tidelsplassen. Altså noe slikt som dette 0,15

Omvendt tenkning Fra heltall vet vi at vi går fra venstre mot høyre. Altså med tallet 543 så betyr 5 antall hundrere, 4 antall tiere og 3 antall enere. For desimaltall er det motsatt. La oss ta tallet 0,435. Her er 4 tideler, 3 hundredeler og 5 tusendeler. Endeler mangler som vi ser. Elever tenker at jo lenger vekk fra kommaet tallet står jo større er det. Eksempel Hva er størst av 0,004 og 0,4. Elever med misoppfatningen vil tenke at 0,004 er størst siden de leser tallet fra høyre mot venstre. Altså 4 står på tusenplasse.

Null gjør mindre tenkning Elever med denne misoppfatningen forstår at nullere bak desimalkomma gir lavere verdi. De vil velge rett når de skal avgjøre hva som er størst av 3,05 og 3,2. De vil imidlertid få problemer med sammenlikning av tall som 0,22 og 0,123 siden der vil velge 0,123 siden det er et lenger tall bak kommaet. .

S - feilmønstre S – feilmønstre står for Shorter is larger misconception. Steinle deler disse inn i 3 underkategorier. Nevnerfokusert tenkning Brøktenkning Negativ tenknig

Nevnerfokusert tenkning Elever med denne feiltenkningen overgeneraliserer det faktum at en tidel er større enn en hundredel til å gjelde at alle antall tideler er større enn alle antall hundredeler og viser en tankegang der størrelsen på enkeltdelene alene avgjør hvilket tall som er størst. Eksempel Elever med denne misoppfatningen vil velge riktig når de skal avgjøre hva som er størst av 1,102 og 1,103 siden begge tallene er like lange.

Nevnerfokusert tenkning Eksempel Elever med denne misoppfatningen derimot slite når de får en oppgave med å avgjøre hva som er størst av 1,06 og 1,065. Elever med misoppfatningen vil tenke at 1,06 er størst siden 1,065 inneholder tusendeler og det er mindre enn hundredeler.

Brøk-tenking Elever med denne misoppfatningen blander sammen desimalkomma og brøkstrek. De behandler desimalkommaet som en brøkstrek Eksempel Elever med denne misoppfatningen vil betrakte tallet 2,3 som det samme som 2 3 . Elever med denne misoppfatningen vil betrakte tallet 0,5 som det samme som 1 5 . De erstatter 0 med 1.

Negativ tenkning Elever blander notasjonen for desimaltall og negative tall. Elever med denne feiltenkningen plasser desimaltall til venstre for 0 på tallinjen. De vil også plassere 0,3 lenger til venstre enn 0,2.

A - feilmønstre A – feilmønstre deler Steinle inn i 2 underkategorier. Oppgaveeksperter Pengetenkning

Oppgaveeksperter Dette er elever som kan velge rett når de skal sammenlikne par av desimaltall, også oppgaver som tidligere er beskrevet. Dette er basert på pugg og at du husker algoritmen. De vet f. eks at det kan være lurt å føye på ekstra nullere. Elever som fokuserer på denne tenkningen vil få problemer når de f. eks skal finne tall som ligger mellom 0,47 og 0,48. Da kommer den manglende forståelsen til syne

Pengetenkning Elever med denne misoppfatningen har en misforstått sammenlikning mellom penge og lengdetenkning. Elever er vant med kroner og øre eller meter og centimeter og ser konsekvent bare på to desimaler. De vil avkorte et tall til to desimaler slik at 2,558 = 2,55. Jeg er litt usikker på hvor utbredt dette er i Norge nå, siden vi ikke lenger bruker ører i butikken.

U - feilmønstre U-feilmønstre står for uklassifisert, og i denne kategorien kom de elevene som i Steinles undersøkelse hadde feilmønstre som ikke fulgte noen av mønstrene hun har beskrevet i doktorgradsoppgaven. Det kan være flere årsaker til disse feilmønstrene som elevene følger mer eller mindre konsekvent. Som eksempel nevner Steinle at en del elever har svart feil på nesten alle oppgavene, og hun tror de kan være såkalte oppgaveeksperter som har misforstått instruksene eller at de bevisst gjør det motsatte av hva instruksen sier.

Noen eksempler fra KIM prosjektet Vi skal i de neste lysarkene se på noen oppgaver som ble gitt til elever i forbindelse med KIM prosjektet. Det er rundt 500 respondenter fra hvert klassetrinn som er med så det er en ganske omfattende undersøkelse. Eksemplene er henter fra heftet Tall og tallregning av Gard Brekke

Eksempel 1 Avgjør hvilket tall som er størst av 4,7 4,008 4,09 Svarene er gitt i tabellen under 4. klasse 6. klasse 8. Klasse 4,7 (riktig) 31 72 94 4,09 (størst tall bak komma) 32 19 4 4,008 (lengste desimaldel) 35 9 2

Eksempel 2 Avgjør hvilket tall som er størst av 0,649 0,87 0,7 Svarene er gitt i tabellen under 4. klasse 6. klasse 8. Klasse 0,87 (riktig) 22 62 83 0,649 (lengste desimaldel) 66 26 7 0,7 (kortest desimaldel) 8 10 9

Eksempel 3 Avgjør hvilket tall som er minst av 0,625 0,25 0,3753 0,125 0,5 Svarene er gitt i tabellen under 4. klasse 6. klasse 8. Klasse 0,125 (riktig) 16 55 79 0,5 64 26 7 0,3753 8 13 10 0,25 4 3 0,625 1

Eksempel 4 Skriv inn riktig tall i ruten 5,47=5+0,4+ Svarene er gitt i tabellen under 4. klasse 6. klasse 8. Klasse Ubesvart 22 13 8 0,07 (riktig svar) 11 39 66 7 30 9 0,7 eller 0,70 4 3 0,43 eller 4,3 eller 43 10

Eksempel 5 Skriv tallet som desimaltall: 8 tiere, 3 enere og 5 tideler Svarene er gitt i tabellen under Vi ser at tallene ikke utgjør 100%. Det er antagelig noen som har svart andre ting eller latt det stå ubesvart 4. klasse 6. klasse 8. Klasse 83,5 (riktig svar) 41 63 75 835 14 5 4 8,35 11 83,05 9 3 1

Eksempel 6 Skriv tallet som desimaltall: 3 hundrere, 7 enere og 4 tideler Svarene er gitt i tabellen under 4. klasse 6. klasse 8. Klasse 307,4 (riktig) 25 45 61 374 14 6 4 37,4 18 15 3,74 10 9 307,4 3

Eksempel 7 Hvor mange tall finnes mellom 0,47 og 0,48 Svarene er gitt i tabellen under Elever i 4. klasse ble ikke spurt om dette. 4. klasse 6. Klasse 8. Klasse Ubesvart - 6 Uendig, tusenvis etc 5 18 Ingen 29 23 Ett tall 33 13 Andre svar 20 36

Diagnostiske oppgaver Vil en oppgave som dette være egnet til å avsløre misoppfatninger om desimaltall, f. eks at jo flere desimaler jo større tall? Eksempel Hva er størst av tallene 0,435 og 0,23? Er en slik oppgave egnet eller ikke egnet til å avsløre misoppfatninger? Begrunn

Diagnostiske oppgaver Vi så i sted på tellerfokusert tenkning. Vil oppgaven under være en god oppgave til å avsløre misoppfatningen? Begrunn Eksempel Hva er størst av tallene 0,03 og 0,7?

Regning med desimaltall Vi ser på noen eksempler på hvordan vi kan regne med desimaltall. Jeg bruker skrivebrettet til dette.

Omgjøring fra desimaltall til brøk og motsatt Vi ser litt på omgjøring fra brøk til desimaltall og motsatt. Også til dette bruker jeg skrivebrett. Se også videoen om temaet som jeg har lagt ut på websiden. Her er også direkte lenke http://www.screencast.com/t/xWWq137Xizuc