Sannsynlighetsregning 4

Presentasjon om: "Sannsynlighetsregning 4"— Utskrift av presentasjonen:

1 Sannsynlighetsregning 4
Grunnskolelærerutdanningen 1–7 MAT102 Forelesning 23. januar 2017 Sannsynlighetsregning 4

2 Dagens temaer Dagens temaer: Sammensatte sannsynligheter
Komplementsetningen Avhengige og uavhengige hendelser

3 Sammensatte sannsynligheter
Denne forelesningen vil ta for seg ulike metoder vi kan finne sammensatte sannsynligheter på. Vi snakker her om problemstillinger som: Hvis vi triller en terning fem ganger, hva er sannsynligheten for å få bare seksere? Hvis vi kaster en terning og en mynt, hva er sannsynligheten for å få en sekser på terningen og kron på myntkastet? Hvis vi triller en terning fem ganger, hva er sannsynligheten for å få minst en sekser? Hvis vi trekker tre kort fra en kortstokk, hva er sannsynligheten for at alle kortene er hjerter? Svaret på de to første spørsmålene er ganske rett frem å regne ut, og vi skal snakke om dem på neste slide. Svaret på tredje spørsmål krever noe som kalles for komplementsetningen, som vi skal se på like etterpå. Svaret på fjerde spørsmål er litt mer krevende, og handler om noe som heter avhengige hendelser og betinget sannsynlighet. Det skal vi ha om helt til slutt.

4 Sammensatte sannsynligheter
Når vi har flere forsøk som skal gjennomføres på rad, og vi «føler» at disse forsøkene er uavhengige av hverandre (f.eks. at terningen ikke husker at den viste seks øyne på forrige kast, og at det derfor fortsatt er 1/6 sannsynlighet å få en sekser), da er regelen at sannsynlighetene skal multipliseres med hverandre. F.eks: Det er 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 = sannsynlighet å få fem seksere på rad når vi triller en terning. For å forstå hvorfor det er slik, må vi tenke kombinatorikk: Vi ser på hvor mange mulige utfall det kan være. Svaret er 6 5 utfall (seks muligheter på den første terningen, seks muligheter på den andre, seks muligheter på den tredje, osv.). Av alle disse 6 5 utfallene er det kun ett utfall vi ønsker, nemlig en sekser på alle terningene. Alle utfall er like sannsynlige (så lenge vi tenker på dette som ordnet utfall). Altså er sannsynligheten Tilsvarende med terning som trilles og mynt som kastes: For hver av sidene terningen viser, er det to muligheter mynten kan vise. Altså er det 6⋅2=12 mulige utfall i dette forsøket. Vi ønsker kun ett av disse utfallene, nemlig sekser og kron. Altså er det 1 12 sannsynlighet for at dette kan inntreffe. Men dette kan også settes opp slik: ( 1 6 sannsynlighet for sekser) · ( 1 2 sannsynlighet for kron) = 1 12 sannsynlighet for at begge inntreffer.

5 Sammensatte sannsynligheter
I tilfeller der vi ikke kan bruke kombinatorikk for å finne antall mulige utfall, kan dette også anvendes. Hvis værmeldingen melder 10 % sannsynlighet for regn hver av dagene i tre dager, da kan vi også bruke dette prinsippet for å finne sannsynligheten for at det blir regn alle tre dagene: Sannsynligheten er 0,1⋅0,1⋅0,1=0,001. Hvis du gambler og satser penger på en kamp det er 0,15 sannsynlighet for at vinner, og en annen kamp det er 0,2 sannsynlighet for at vinner, er sannsynligheten for at du vinner på begge kampene 0,15⋅0,2=0,03. Men merk at dette multiplikasjonsprinsippet kun kan brukes når forsøkene er uavhengige av hverandre. Et eksempel der de er avhengige (altså der multiplikasjonsprinsippet ikke kan brukes), er hvis du trekker tre kort fra en kortstokk og håper at alle tre skal være hjerter. For når den første hjerteren er trukket, er det bare 12 hjerter igjen i kortstokken, og sannsynligheten har da endret seg. Et annet eksempel der prinsippet ikke kan brukes, er hvis det er en urne med 100 lodd i seg, og ett av disse er et vinnerlodd. Du kjøper fem lodd, hva er sannsynligheten for at du vinner på alle? Sannsynligheten er jo selvsagt 0, fordi det kun finnes ett vinnerlodd. Dermed ser vi klart at multiplikasjonsprinsippet ikke kan brukes, for det ville ha gitt oss det feilaktige svaret Dette eksempelet er også et eksempel på avhengige hendelser. Hvis det første loddet du kjøpte, var vinnerloddet, ville det være ett færre vinnerlodd igjen i urnen (altså null vinnerlodd igjen), og sannsynligheten har altså endret seg når du skal kjøpe et nytt lodd. (Noen lurer kanskje på hvordan situasjonen vært hvis det hadde vært flere vinnerlodd i urnen. Svaret er at vi fortsatt har avhengige hendelser og ikke kan bruke multiplikasjonsprinsippet.)

6 Oppgaver Du triller en terning fem ganger. Hva er sannsynligheten for å få fem eller seks øyne hver av gangene? (Altså, f.eks. 5, 5, 6, 6, 5 vil være et eksempel på fem eller seks øyne alle gangene.) Du trekker et kort, ser på det, og legger det tilbake i kortstokken. Du gjør dette fire ganger. Hva er sannsynligheten for at det er hjerter ess, hjerter 2 eller hjerter 3 alle fire gangene? (Altså, f.eks. hjerter ess, hjerter ess, hjerter 2, hjerter 3 vil være et eksempel der dette forekommer.) Værmeldingen spår 10 % sannsynlighet for regn for hver av dagene fem dager på rad. Hva er sannsynligheten for at det regner de fire første dagene, men ikke den femte dagen?

7 Komplementsetningen Vi skal nå se på komplementsetningen. Hva er sannsynligheten for at minst to elever i en klasse på 20 har bursdag på samme dag? Det finnes en enkel og en vanskelig måte å gjøre dette på. Den vanskelige måten: Liste opp alle mulighetene. Sannsynligheten for at elev 1 og elev 2 har bursdag samme dag + sannsynligheten for at de ikke har bursdag på samme dag men elev 1 og elev 3 har bursdag på samme dag + sannsynligheten for at elev 1 og elev 2 har ulike bursdager og elev 1 og elev 3 har ulike bursdager men elev 2 og elev 3 har samme bursdag, osv. Vi ser jo at det ikke går an å fortsette sånn i lengden.

8 Komplementsetningen Den enkle måten: Vi regner ut sannsynligheten for at ingen har bursdag på samme dag. Dette er nemlig komplementet (altså det motsatte) til hendelsen «Minst to har bursdag på samme dag». Trikset går ut på at summen av disse to sannsynlighetene er nødt til å være 1, og det er dette som kalles for komplementsetningen. Før vi presenterer løsningen, gir vi noen enklere eksempler slik at dere forstår prinsippet: Sannsynligheten for å få seks øyne på en terning, er som vi alle vet Men sannsynligheten for å ikke få en sekser, er (vi kan få 1, 2, 3, 4 eller 5 øyne). Og dette er 1− Altså: 𝑃 ikke få en sekser =1− 1 6 = 5 6 . Sannsynligheten for å ikke trekke hjerter ess fra en kortstokk er 1− 1 52 = Dette er naturlig, siden det da er 51 kort i kortstokken vi ønsker å trekke. Litt mer komplekst: Sannsynligheten for å ikke få noen seksere når vi triller to terninger, er som vi vet 𝑃 ikke 6 på den ene terningen ⋅𝑃 ikke 6 på den andre terningen = 5 6 ⋅ 5 6 = Det betyr at det motsatte av dette, altså å få minst én sekser, må være 1−𝑃 ingen seksere =1− = Notasjon: Hvis vi ønsker å finne komplementet til en hendelse A, betegner vi komplementet 𝐴 𝑐 . Komplementsetningen sier altså at 𝑃 𝐴 =1−𝑃( 𝐴 𝑐 ).

9 Komplementsetningen Her er hvordan vi regner ut sannsynligheten for at minst to elever har bursdag samme dag (som vi betegner ved A): Vi gjør som med terningene i det siste eksempelet på forrige slide: Da regnet vi ut sannsynligheten for at ingen terninger skulle vise en sekser. I oppgaven vi skal løse nå, blir det tilsvarende å finne sannsynligheten for at ingen elever har bursdag samme dag (som vi betegner ved 𝐴 𝑐 ). Det finner vi slik: Hvis vi rangerer elevene i tur og orden, da kan elev 1 få lov til å ha bursdag akkurat når han/hun ønsker. Så er det elev 2 sin tur: Han/hun har nå 364 dager igjen å velge mellom. Det er altså sannsynlighet for at dagen havner utenfor elev 1s bursdag. Elev 3 har nå 363 dager igjen å velge mellom, og det er sannsynlighet for at det blir en annerledes dag enn de to første. Osv. Det er 20 elever i klassen, og elev 20 vil ha 346 dager å velge mellom (siden vi så at elev 2 hadde 365–1 dager å velge mellom, og elev 3 hadde 365–2 dager å velge mellom, må elev 20 da ha 365–19 dager å velge mellom). Dette er sammensatte forsøk (vi skal prøve å få det til å klaffe for alle 20 elevene). Da multipliserer vi brøkene: Sannsynligheten er da 𝑃(𝐴 𝑐 )= ⋅ ⋅ ⋅⋯⋅ = 364! ⋅345! ≈0,589. Det følger da at 𝑃 𝐴 =1−𝑃 𝐴 𝑐 ≈1−0,589=0,411. Det er altså 41,1 % sannsynlighet for at to elever har bursdag på samme dag.

10 Komplementsetningen Andre eksempler der det er naturlig å bruke komplementsetningen: Hva er sannsynligheten for å få minst én sekser på en terning når vi triller 10 ganger (eller 15 ganger, eller 20 ganger, osv.)? Hva er sannsynligheten for å få minst én kløver når vi trekker 10 kort (eller 15 kort, eller 20 kort, osv.)? Hva er sannsynligheten for at du får minst én kron når du slår mynt/kron 10 ganger (eller 15 ganger, eller 20 ganger, osv.)? Oppgave: Finn sannsynlighetene i disse eksemplene.

11 Avhengige og uavhengige hendelser
Vi trekker tre kort fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for at alle tre er hjerter? Etter at den første hjerteren er trukket, er det nå 12 hjerter igjen, og 51 kort totalt, så sannsynligheten har endret seg siden det første kortet ble trukket. I en urne er det 100 lodd, og ett av dem er vinnerloddet. Vi kjøper to lodd. Hva er sannsynligheten for at begge de to loddene er vinnerlodd? Vi vet det er 0, men hvordan skal regnestykket se ut? Dette er to eksempler på sammensatte forsøk der hendelsene er avhengige av hverandre. Hva betyr egentlig dette?

12 Avhengige og uavhengige hendelser
Eksempelet med kortene: Vi vet at hvis det første kortet er hjerter, da er det sannsynlighet for at også det neste blir hjerter. Hvis det første kortet ikke er hjerter, da er det sannsynlighet for at det neste ihvertfall blir hjerter. Vi sier her at sannsynligheten for hjerter i det andre trekket er avhengig av om det første trekket er hjerter eller ikke. Mer formelt: La A være hendelsen «Det første kortet er hjerter», og la B være hendelsen «Det andre kortet er hjerter». Vi har nettopp sett at hvis A inntreffer, da er sannsynligheten for B lik Dette skriver vi slik: 𝑃 𝐵 𝐴 = Vi leser 𝑃(𝐵|𝐴) som «sannsynligheten for B gitt A», og det betyr at vi antar at A har inntruffet, og skal nå finne sannsynligheten for B i dette spesifikke tilfellet. Vi har sett at 𝑃 𝐵 𝐴 ≠𝑃(𝐵| 𝐴 𝑐 ), og det er faktisk det samme som å si at sannsynligheten for B er avhengig av om A inntreffer eller ikke. I matematikken sier vi at B er avhengig av A pr. definisjon hvis 𝑃 𝐵 𝐴 ≠𝑃(𝐵). Det er litt annerledes enn det vi har sett her oppe, men handler faktisk om akkurat det samme. Definisjonen forteller oss at B er avhengig av A hvis det at A inntreffer, endrer på sannsynligheten for B i forhold til hvordan det hadde vært hvis vi ikke brydde oss om hva det første kortet ble.

13 Avhengige og uavhengige hendelser
Sannsynligheten for å trekke tre kort som alle er hjerter, er ⋅ ⋅ Grunnen er følgende: Første brøk er fordi det er 13 hjerter av 52 kort totalt, og dermed 13/52 sannsynlighet for at første kort er hjerter. Hvis første kort er en hjerter, da er det 12/51 sannsynlighet for at også neste kort er hjerter. Vi bruker da produktregelen samtidig som vi tar hensyn til at antallet kort i kortstkokken har endret seg. Hvis også andre kortet er hjerter, er det nå 11/50 sannsynlighet for at dette også skjer med tredje kort. Og produktregelen brukes enda en gang. Vi gjentar nå hva notasjonen 𝑃(𝐵|𝐴) står for, siden den er viktig og vil bli mye brukt fremover. Notasjon Hvis A og B er to hendelser, da er 𝑃(𝐵|𝐴) sannsynligheten for B gitt at A har inntruffet. Vi leser dette som «Sannsynligheten for B gitt A».

14 Avhengige og uavhengige hendelser
Eksempelet med loddene: Vi bruker nå notasjonen vi lærte på forrige slide. La A være hendelsen «Første lodd er vinnerloddet» og B være hendelsen «Andre lodd er vinnerloddet». Da er det klart at 𝑃 𝐵 𝐴 =0. Videre er det klart at 𝑃 𝐵 𝐴 𝑐 = Vi ser da klart at B er avhengig av A. Hva er sannsynligheten for at begge loddene er vinnerloddet? Vi bruker produktregelen og tar hensyn til at antallet lodd endrer seg etter at vi har trukket det første loddet. Det er sannsynlighet for at første lodd er vinnerloddet. Hvis dette skjer, er det nå 0 vinnerlodd igjen, og det er da 0 99 sannsynlighet for at det andre loddet er vinnerloddet. Sannsynligheten for at begge loddene er vinnerloddet, er dermed ⋅ 0 99 =0.

15 Oppgaver Avgjør om følgende hendelser er avhengige av hverandre. Finn 𝑃(𝐵|𝐴) i alle oppgavene. Hva vil 𝑃 𝐴 𝐵 være lik? I en klasse er det 10 gutter og 12 jenter. 8 av guttene spiller fotball, og 2 av jentene spiller fotball. Du velger ut en elev i klassen på måfå. La A være hendelsen «Eleven er gutt» og B være hendelsen «Eleven spiller fotball» OBS! Dette er også eksempel på et sammensatt forsøk, selv om det kun er én elev som blir trukket. Hvordan? Vi tenker oss at klassen er delt, der alle guttene sitter på ett rom og jentene på et annet rom. Da skal vi først velge oss et rom, og deretter en av elevene på det rommet. Rent generelt, hvis vi skal registrere to forskjellige ting under et forsøk, blir dette regnet som et sammensatt forsøk. Andre eksempler er når vi velger oss en tilfeldig Oslo-velger som stemte under sist stortingsvalg, og spør ham/henne hvilket parti han/hun stemte og om han/hun stemte ja eller nei til Oslo-OL. Eller vi trekker et kort fra en kortstokk og noterer om det er et bildekort, og om kortet er hjerter. Du triller en terning én gang. La A være hendelsen «Terningen viser 4 eller høyere», og B være hendelsen «Terningen viser 6». Du trekker ett kort fra en kortstokk. La A være hendelsen «Kortet er knekt, konge, dronning eller ess», og B være hendelsen «Kortet er mellom 2 og 9». Vi får oppgitt at hvis det er sol på Kongsberg, da er det i 95 % av gangene også sol på Notodden. Men hvis det er sol på Notodden, da er det i 90 % av gangene også sol på Kongsberg. Vi velger oss en tilfeldig dag i året. La A være hendelsen «Det er sol på Kongsberg» og B være hendelsen «Det er sol på Notodden».

16 Sannsynlighetstrær Et sannsynlighetstre er et slags diagram som viser alle spesialtilfellene vi har ved et sammensatt forsøk. Slike trær er veldig gode å bruke hvis vi har litt kompliserte sammensetninger, men kan generelt brukes i alle situasjoner. Her er et eksempel med klassen med 10 gutter og 12 jenter, hvor 8 av guttene og bare 2 av jentene spiller fotball. Vi lurer på hva sannsynligheten er for å trekke en gutt som spiller fotball eller jente som ikke spiller fotball: Eleven spiller fotball Sannsynlighet: ⋅ 8 12 = 8 22 = 4 11 8 12 Eleven er gutt 4 12 12 22 Eleven spiller ikke fotball 2 10 Eleven er jente Eleven spiller fotball 10 22 8 10 Eleven spiller ikke fotball Sannsynlighet: ⋅ 8 10 = 8 22 = 4 11 Total sannsynlighet: = 8 11 Merk! Når vi finner den totale sannsynligheten, legger vi sammen sannsynlighetene for de ulike spesialtilfellene. Men merk at vi bruker produktregelen når vi regner ut sannsynlighetene under hvert av spesialtilfellene.

17 Sannsynlighetstrær Her er et eksempel der vi må bruke sannsynlighetstre: Vi trekker to kort, og lurer på hva sannsynligheten er for at det første kortet er en hjerter og det andre er en konge. Konge i andre trekk Sannsynlighet: ⋅ 3 51 = 3 51 Hjerter konge i første trekk 48 51 1 52 Ikke konge i andre trekk 4 51 Hjerter, men ikke konge i første trekk Konge i andre trekk Sannsynlighet: ⋅ 4 51 = 12 52 47 51 Ikke konge i andre trekk Her er det mulig å sette inn boks for «ikke hjerter, men konge i første trekk», og en boks for «ikke hjerter og ikke konge i første trekk, og gjøre treet fullstendig. Men det er ikke nødvendig for å løse akkurat denne oppgaven. Total sannsynlighet: = = 1 52

18 Oppgave Løs følgende oppgave ved å sette opp sannsynlighetstrær: En Pirquet-prøve tas for å finne om en person kan ha tuberkulose. Et problem er at selv om en egentlig er frisk, kan prøven gi positive utslag (dvs. at prøven feilaktig sier at en person har tuberkulose). Dette skjer med 10 % av de friske. Hvis en person egentlig er syk, gir prøven positivt resultat i 80 % av tilfellene. En regner med at 1 % av individene egentlig er syke (har tuberulose). Anta at en tilfeldig person tar Pirquet-prøven, og definer følgende hendelser: F: Personen er frisk S: Personen er syk P: Pirquet-prøven gir positivt utslag. Finn følgende sannsynligheter: 𝑃 𝑃 𝑆 (sjansen at positiv prøve når vi vet han er syk) 𝑃 𝑃 og 𝑆 (sjansen for at prøven er positiv og at han er syk) 𝑃 𝑆 (sjansen for at personen er syk) 𝑃 𝑃 𝐹 (sjansen for at den er positiv når personen er frisk) 𝑃(𝑃 og 𝐹) (sjansen for at den er både positiv og at personen er frisk)

19 Hjemmearbeid 7.50, 7.51, 7.52 (deloppgave c) krever god begrepsforståelse), 7.53 (deloppgave a) krever god begrepsforståelse), 7.54 7.70, 7.72, 7.74, 7.77, 7.78, 7.79 (litt komplisert), 7.80 (litt komplisert)