Kap 09 Rotasjon

Vinkel - Vinkelhastighet - Vinkelakselerasjon

Rotasjons-ligninger Translasjon Rotasjon

Rotasjon med konstant vinkelakselerasjon

Hastighets- og akselerasjons-relasjoner

Sykloide 1

Sykloide 2 r (x,y) s s

Hjul som ruller uten å gli Hastighet Hjulet (med radius R) ruller mot høyre uten å gli. Hjulsenterets hastighet er vO. Kontaktpunktet A med underlaget har hastighet vA = 0. Toppunktet B har hastighet vB = 2vO, dvs hastigheten til toppunktet B er dobbelt så stor som hastigheten til hjulsenteret. B vB = 2vO O vO A vA = 0

Hjul som ruller uten å gli Akselerasjon Hjulet (med radius R) ruller mot høyre uten å gli. Hjulsenterets akselerasjon er aO. Kontaktpunktet A med underlaget har ingen akselerasjon parallelt med underlaget (x-retning) og akselerasjon R2 normalt på underlaget (y-retning). Toppunktet B har parallelt med underlaget (x-retning) en akselerasjon som er dobbelt så stor som hjulsenterets akselerasjon og normalt på underlaget en akselerasjon -R2 (i negativ y-retning). B aBx = 2aO aBy = -R2 O aO aAy = R2 A aAx = 0

Hjul som ruller uten å gli Akselerasjon - Noen ekstrabetraktninger [1/3] C Akselerasjon arad = R2 atan = R C beveger seg i en sirkelbane om O. O B aBx = 2aO Tangentialakselerasjonen er lik radien R multiplisert med vinkelakselerasjonen . Denne akselerasjonskomponenten vil være null hvis rotasjonshastigheten er kontant (ikke endrer seg). Radiellakselerasjonen (rettet inn mot sentrum) er lik radien R multiplisert med kvadratet av vinkelhastigheten . vil alltid være ulik null siden bevegelsen ikke er rettlinjet. Disse betraktningene kan vi gjøre nytte av ved studier av hjul som ruller uten å gli (se de to neste sidene). aBy = -R2 O aO aAy = R2 A aAx = 0

Hjul som ruller uten å gli Akselerasjon - Noen ekstrabetraktninger [2/3] Når hjulet ruller uten å gli mot underlaget, kan hjulets bevegelse betraktes som en momentanrotasjon om kontaktpunktet A. B har derfor en momentanrotasjon med radius 2R og senteret O har en momentanrotasjon med radius R. B aBx = 2aO aBy = -R2 O aO aAy = R2 A aAx = 0

Hjul som ruller uten å gli Akselerasjon - Noen ekstrabetraktninger [3/3] Når hjulet ruller uten å gli mot underlaget, kan hjulets bevegelse betraktes som en momentanrotasjon om kontaktpunktet A. D har derfor en momentanrotasjon med radius h. B aDx D aDy O aO h aAy = R2 Ofte når vi omtaler akselerasjonen til et punkt B eller et punkt D (slik som vist på figuren), så tenker vi på horisontalkomponenten (x-komponenten) til akselerasjonen siden disse punktene i ulike oppgaver ofte er knyttet til andre systemer via horisontale snorer. A aAx = 0

Rotasjonsmekanisme Eks: Stempel og stag [1/4]

Rotasjonsmekanisme Eks: Stempel og stag [2/4]

Rotasjonsmekanisme Eks: Stempel og stag [3/4]

Rotasjonsmekanisme Eks: Stempel og stag [4/4]

Vinkel-hastighet som vektor w r v

Vinkel-hastighet som vektor w R v r O

Hastighets- og akselerasjons-vektorer w R Akselerasjon v r O

Bevegelse relativt til translerende / roterende akser

Bevegelse relativt til translerende / roterende akser Hastighet 1 Y A P y r rA x B rB X O P fiksert i xy

Bevegelse relativt til translerende / roterende akser Hastighet 2 Y A P y r rA x B rB X O

Bevegelse relativt til translerende / roterende akser Hastighet 3 Y A P y r rA x B rB X O

Bevegelse relativt til translerende / roterende akser Akselerasjon 1 Y A P y r rA x B rB X O

Bevegelse relativt til translerende / roterende akser Akselerasjon 2 Y A P y r rA x B rB X O

Bevegelse relativt til translerende / roterende akser Akselerasjon 3 Y A P y r rA x B rB X O

Bevegelse relativt til translerende / roterende akser Akselerasjon 4 Y A P y r rA x B rB X O

Fly-propell

Sykkel

Kinetisk rotasjonsenergi - Treghetsmoment mi ri

Treghetsmoment dm mi ri r

Treghetsmoment til en del ulike legemer

Kabel-vinding Beregning av sylinderens vinkelhastighet etter at kraften F har virket i strekningen s

Treghetsmoment til en stav

Treghetsmoment til en sylinder

Treghetsmoment til en kule

Parallellakse-teoremet y yi mi b P IP = Icm + Md2 d x O cm a xi

Parallellakse-teoremet - Eks 1

Parallellakse-teoremet - Eks 2 cm Beregning av treghetsmomentet av en skive om en akse normalt på skiven i punktet P. R P

Normalakse-teoremet y yi mi ri IO = Ix + Iy x O xi

Normalakse-teoremet - Eks 1 Beregning av treghetsmomentet av en hul skive om en akse i skivens plan gjennom skivens sentrum.

END