23 Finn ligningen for det planet  som inneholder linja

Presentasjon om: "23 Finn ligningen for det planet  som inneholder linja"— Utskrift av presentasjonen:

1 23 Finn ligningen for det planet  som inneholder linja x = t y = 5 + 2t z = 2 – t og er vinkelrett på planet  2x – 4y + 2z = 9  normalvektor ( ) Punkt i planet er punktet på linja p = ( ) To løsningsmetoder. Studer dem nøye. De kan brukes i lignende oppgaver Normalvektor n = (a b c) til planet  er ortogonal til u og v  n  u = 0  n  v = 0 (a b c)  ( ) = 0  (a b c)  ( ) = 0 3a + 2b –c = 0 2a -4b + 2c = 0 (ganger 1. ligning med 2 og summerer) 8a = 0  a = 0 2b – c = 0  b = 1  c = 2 passer i ligningen  n = ( ) Planligningen: n  x = n  p ( )  (x y z) = ( )  ( ) y + 2z = 9 To vektorer i planet: u = ( ) og v = ( ) Vektorligning for  x = p + su + t v Parameterfremstilling for  x = s + 2t y = 5 + 2s – 4t z = 2 – s + 2t Finner ligningen for planet ved å eliminere s og t (prøv selv) y + 2z = 9

2 24 Finn ligningen for det planet om går gjennom punktet (2 4 -1)
og inneholder skjæringslinja mellom planene x – y – 4z = 2 og -2x + y + 2z = 3 Finne skjæringslinje mellom to plan To ligninger med 3 ukjente: velge f eks z som parameter og setter z = t x – y – 4z = 2  y = x – 2 – 4z sett inn i den andre ligningen -2x + y + 2z = 3 Da får vi denne parameterfremstillingen for linja x = -5 – 2t y = -7 – 6t z = t Da har vi en vektor og to punkter i planet. Vektoren er retningsvektoren for linja u = ( ) Punktene er ( ) og punktet på linja ( ) Bruker de to punktene til å finne en vektor til v = ( ) Deretter følges fremgangsmåte fra oppgave 23

3 Tips til de andre oppgavene
Oppgave 26: En linje som er parallell med to plan er parallell med skjæringslinja mellom dem. Se oppgave 24. Oppgave 27: Et plan som er vinkelrett på to andre plan må ha normalvektor lik retningsvektor for skjæringslinja mellom planene. Finn den først, se oppgave 24. Oppgave 30: To linjer er parallelle hvis retningsvektorene er parallelle. Finn en vektor til i planet utfra punktene på linjene. For øvrig som oppgave 23. LYKKE TIL Oppgave 32: Her finner vi en vektor til i planet ved å finne skjæringslinja. Laila Oppgave 34: En linje er parallell med et plan hvis planets normalvektor og linjas retningsvektor er ortogonale. Oppgave 39: Sett inn i formel.

4 30 Vis at linjene L og M er parallelle og finn en ligning for det planet de bestemmer L x = 3 – 2t y = 4 + t t = 1 – t M x = 5 + 2t y = 1 - t t = 7 + t To linjer er parallelle hvis retningsvektorene er parallelle. Retningsvektorer: al = ( ) vi ser at am = (-1)al  am || al am = ( )  L || M Trenger en vektor || retningsvektorene Vektor mellom punktene på de to linjene: pl = ( )  pm = ( ) u = pm - pl = ( ) Normalvektor for planet n || am x u = = ( ) Bruker n = ( ) Ligning for planet: n  x = n  pl ( )  (x y z) = ( )  ( ) 3x + 10y + 4z = 53 Anton

5 25 Vis at punktene a = ( ), b = ( ), c = ( ) og d = ( ) ligger i samme plan. 3 vektorer mellom punktene: u = a – b = ( ) v = a – c = ( ) w = a – d = ( ) p = u x v = = ( ) pu  p  v Hvis p  w ligger alle punktene i samme plan dvs p  w = 0 p  w = ( )  ( ) = 20 – 20 = 0 VIST!

6 33 Finn ligningen for et plan hvor alle punkter i planet har lik avstand fra punktene P = ( ) og Q = ( ) Planet ligger midt mellom P og Q og vinkelrett på PQ n = PQ = ( ) er normalvektor til planet Planets ligning: ax + by + cz = d P Q A d Avstandsformelen: PQ skjærer planet i A  d = PA = QA d Planet sett fra siden   |-17 – D| = | 4 – D| -17 – D = 4 – D  –D = -4 + D (to muligheter fordi det er absoluttverdi)   ingen løsning D = -13/2  planets ligning: 2x + 4y + 8z = -13 

7 35 Vis at linjene L og M skjærer hverandre og finn skjæringspunktet
L x – 3 = 4t y – 4 = t z – 1 = 0 M x + 1 = 12t y – 7 = 6t z – 5 = 3t Skriver om ligningene slik L x = 3 + 4t y = 4 + t z = 1 M x = s y = 7 + 6s z = 5 + 3s Setter koordinatene lik hverandre 3 + 4t = s 4t - 43s = -4  4t – 4(-4) = -4  4t =  t = -5 4 + t = 7 + 6s t - 23s = 3  t – 2(-4) = 3  t = -5 1 = 5 + 3s  3s = -4 Samme verdi for t  L||M Skjæringspunkt: x = 3 + 4t = y = 4 + t = -1 z = 1

8 36 Finn ligningen for planet som inneholder linjene i oppgave 35
Punkt Retningsvektor L x = 3 + 4t y = 4 + t z = 1 ( ) u =( ) M x = s y = 7 + 6s z = 5 + 3s ( ) ( ) setter v = ( ) Normalvektor til planet: n = u x v = = ( ) Punkt i planet: p = ( ) Ligning for planet: n  x = n  p ( )  (x y z) = ( )  ( ) x - 4y + 4z = -9

9 40  Finn avstanden mellom de to parallelle planene
a) 3x – 4y + z = 1 og 6x – 8y + 2z = 3 b) -4x + y -3z = 0 og 8x – 2y + 6z = 0 c) 2x –y + z = 1 og 2x –y + z = -1 Avstanden mellom to parallelle plan: finn et punkt i det ene planet og sett inn i avstandsformelen for det andre planet. a) 3x – 4y + z = 1 og 6x – 8y + 2z = 3 Vi ser at f eks punktet ( ) passer i det første planet. 