Vektor kalkulus.

Presentasjon om: "Vektor kalkulus."— Utskrift av presentasjonen:

1 Vektor kalkulus

2 Del-operator Definisjon og anvendelse
Gradient Retningsderivert Divergens Fluks Curl Sirkulasjon / Rotasjon Del-operator Gradient Divergens Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Curl

3 Curl Sammenheng mellom curl og rotasjon
Posisjon Hastighet Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

4 Konservativt vektorfelt Vei-uavhengighet
F definert i et åpent område D i rommet. B La være uavhengig av alle veier mellom A og B for alle A,B  D. A Vi sier da at integralet er vei-uavhengig. Vi sier videre at F er konservativ og at vektorfeltet er konservativt. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

5 Potensial-funksjon F definert i et åpent område D i rommet.
Hvis det finnes en skalar-funksjon f som er slik at F =  f F er gradienten til f så kalles f for en potensial-funksjon til F og vektorfeltet kalles for et gradientfelt. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

6 Gradientfelt og vei-uavhengighet
F definert i et åpent område D i rommet. Bevis del 1: Anta at det finnes en f slik at F =  f. Det finnes en f slik at F =  f vei-uavhengig Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. dvs, integralet er vei-uavhengig, kun avhengig av endepunktene.

7 Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver
F definert i et åpent område D i rommet. Bevis: F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C2 B C1 A

8 Gradientfelt og curl F definert i et åpent område D i rommet. Bevis 1:
F gradientfelt  curl F = 0 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

9 Gradientfelt og eksakt differentialform
F = [ F1, F2, F3] definert i et åpent område D i rommet. Uttrykket F1dx + F2dy + F3dz er en differential form. Differentialformen kalles eksakt hvis det finnes en skalar funksjon f slik at Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

10 Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt
F definert i et åpent område D i rommet. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

11 Konservativt vektorfelt Eks 1 - Oppgave
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ] 1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig) 2. Bestem en potensialfunksjon til F 3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

12 Konservativt vektorfelt Eks 1 - Løsning [1/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ] 1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

13 Konservativt vektorfelt Eks 1 - Løsning [2/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ] 2. Bestem en potensialfunksjon til F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

14 Konservativt vektorfelt Eks 1 - Løsning [3/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ] 3. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

15 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Oppgave
1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt 2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene: A (1,1,1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. B (2,3,-1)

16 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [1/4]
1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt

17 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [2/4]
2. Bestemmelse av potensialfunksjon f Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

18 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [3/4]
F = [ y, x, 4] 2. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1) A (1,1,1) F B (2,3,-1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

19 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [4/4]
2. Integralet kan også løses direkte A (1,1,1) F A B (2,3,-1) B Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

20 Divergens (Flukstetthet) Curl (Sirkulasjonstetthet)
Strømning T n F Divergens Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. dA dC C Curl A k T n F

21 Divergens (Flukstetthet) Def - 2D [1/3]
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

22 Divergens (Flukstetthet) Def - 2D [2/3]
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

23 Divergens (Flukstetthet) Def - 2D [3/3]
C A B Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

24 Divergens (Flukstetthet) Eks 1 - Fortegn - 2D
Ekspanderende gass i punktet (x0,y0) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Komprimerende gass i punktet (x0,y0)

25 Divergens (Flukstetthet) Eks 2 - 2D
Finn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

26 Curl (Sirkulasjonstetthet) Def - 2D [1/3]
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

27 Curl (Sirkulasjonstetthet) Def - 2D [2/3]
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

28 Curl (Sirkulasjonstetthet) Def - 2D [3/3]
B Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

29 Curl (Sirkulalsjonstetthet) Eks 1 - Fortegn - 2D
Rotasjon mot klokka i punktet (x0,y0) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Rotasjon med klokka i punktet (x0,y0)

30 Divergens (Flukstetthet Curl (Sirkulasjonstetthet)
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Curl C A T F

31 Curl (Sirkulasjonstetthet) Eks 2 - 2D
Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Ingen rotasjons-tendens

32 Curl (Sirkulasjonstetthet) Eks 3 - 2D
Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ -y, x ] Finn k-komponenten av curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 – y, xy – y2 ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Rotasjons-tendens

33 Curl (Sirkulasjonstetthet) Eks 4 - 2D
Finn k-komponenten av curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x2 – y, xy – y2 ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

34 Curl (Sirkulasjonstetthet) Fysisk tolkning av curl - 2D
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. F curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjon rundt randen til R. curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt. curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.

35 Greens teorem Def - 2D Fluks - Divergens - Normalform
Sirkulasjon Curl Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

36 Greens teorem Def - 2D - Fig
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green Fluks Divergens Normalform C R n F Green Sirkulasjon Curl Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C R T F

37 Greens teorem Def - 2D Normalform
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green Fluks Divergens Normalform C R n F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Normalformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C, dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av divergensen til F over det indre området R av kurven C, dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.

38 Greens teorem Def - 2D Tangentiellform
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green Sirkulasjon Curl Tangentiell form C R T F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C, dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C, dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R.

39 Greens teorem Def - 2D - Part
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green Fluks Divergens Normalform C R n F Green Sirkulasjon Curl Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C R T F

40 Greens teorem Bevis-skisse - Curl / Div - 2D
y III Ci,j+1 Ci+1,j+1 IV Ri,j II RP Ci,j Ri,j Ci+1,j I x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

41 Greens teorem Bevis-skisse - Curl - 2D
y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. III IV Ri,j II I

42 Greens teorem Bevis-skisse - Div - 2D
C y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. III IV Ri,j II I

43 Greens teorem Fysisk tolkning - Uten hull
Green Fluks Divergens Normalform R C Green Sirkulasjon Curl Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. R C

44 Positiv og negativ fluks Def - 2D - Fig
Green Fluks Divergens Normalform Flom Positiv fluks Uttapping av vann Negativ fluks Elektrisk felt Positiv fluks / Negativ fluks Elektrisk felt Null fluks Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. E

45 Greens teorem Eks D Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ] over området R begrenset av sirkelen C: r(t) = [ cost, sint] 0  t  2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Normalform Fluks Tangentialform Sirkulasjon

46 Greens teorem Områder med hull - 2D [1/2]
C1 y R x C1 C11 y Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. R1 C21 C2 A B J2 J1 C22 R2 C12 x

47 Greens teorem Områder med hull - 2D [2/2]
C1 C11 y R1 C21 C2 J2 1 hull J1 C22 R2 C12 x C y R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C1 C3 n hull C2 x

48 Greens teorem Fysisk tolkning - Med hull
n hull Green Fluks Divergens Normalform R C Green Sirkulasjon Curl Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. R C

49 Greens teorem Områder med hull - Eks - 2D [1/3]
y C Ca Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. x

50 Greens teorem Områder med hull - Eks - 2D [2/3]
y C Ca x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

51 Greens teorem Områder med hull - Eks - 2D [3/3]
y C Ca x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

52 Greens teorem Eks - 2D [1/4] Uten Greens teorem
y III C 1 IV II I 1 x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

53 Greens teorem Eks - 2D [2/4] Med Greens teorem (normal/tangential)
I tillegg til direkte beregning, kan integralet beregnes vha Greens teorem, enten vha fluks- eller sirkulasjons-betraktninger. y III C 1 IV II I 1 x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks Sirkulasjon F = [ xy, y2 ] F = [ -y2,xy ]

54 Greens teorem Eks - 2D [3/4] Normalform
y III C 1 IV II I 1 x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

55 Greens teorem Eks - 2D [4/4] Tangentiellform
y III C 1 IV II I 1 x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

56 Greens teorem Eks - Kurve C [1/4] Tangentiellform
Bestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planet som gir minimumsverdi av følgende integral: C2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C1 C3

57 Greens teorem Eks - Kurve C [2/4] Tangentialform
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

58 Greens teorem Eks - Kurve C [3/4] Tangentialform
Siden integranden i dobbeltintegralet over R er null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen C og negativ innenfor ellipsen C, så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdi når området R er området innenfor den gitte ellipsen C. Ellipsen C C2 R2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C1 C R1 R R3 C3

59 Greens teorem Eks - Kurve C [4/4] Tangentialform
Ellipsen C Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C C

60 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Innledning
y Arealet av et område R i planet er gitt ved: R C Vi skal se hvordan vi vha Greens teorem kan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integral langs konturen av området. Det finnes uendelig mange slike formler. x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Dette betyr at det er mulig å bestemme arealet av et område ved å bevege seg rundt området når vi til enhver tid kjenner til hvor langt vi beveger oss og i hvilken retning vi beveger oss.

61 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 1
Greens teorem (tangentiell form): y R Arealet av området R: C Greens teorem (tangentiell form) beregner arealet av R hvis: x Mulig løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

62 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 2
Greens teorem (tangentiell form): y R Arealet av området R: C Greens teorem (tangentiell form) beregner arealet av R hvis: x Mulig løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

63 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 3
Greens teorem (tangentiell form): y R Arealet av området R: C Greens teorem (tangentiell form) beregner arealet av R hvis: x Mulig løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

64 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 1
Beregn arealet av et rektangel med sider a og b y III C b IV II Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. I a x

65 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 2
Beregn arealet av en sirkel med radius a y C a x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

66 Flate-integral Areal - Def
z S beskrevet av nivåflaten f(x,y,z) = c Planområdet R er projeksjonen av S (på figuren projeksjonen ned i xy-planet) p enhetsnormalvektor på planområdet R S p y R x Arealet av S er gitt ved: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

67 Flate-integral Areal - Bevis [1/2]
P R Q p P’ S’ A Q’ R’ PQRS parallellogram p enhetsnormalvektor på flaten A Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

68 Flate-integral Areal - Bevis [2/2]
p p f Pk S R Ak Ak Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

69 Flate-integral Areal - Eks
Finn arealet av paraboloideflaten x2 + y2 – z = 0 når paraboloiden kuttes av planet z = 4. La f(x,y,z) = x2 + y2 – z. Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0. 4 S Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.  R

70 Flate-integral Areal - Spesialtilfeller
Flate z = f(x,y) La F(x,y,z) = z – f(x,y) S er da gitt ved nivåflate F(x,y,z) = 0 4 S  R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

71 Flate-integral Def S Flate gitt ved f(x,y,z) = c
dS S S Flate gitt ved f(x,y,z) = c g Kontinuerlig funksjon på S R Projeksjonen av S p Enhetsnormal på R p dA R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

72 Fluks 3D - Def S Flate gitt ved f(x,y,z) = c F 3-dim vektorfelt
n S dS S Flate gitt ved f(x,y,z) = c F 3-dim vektorfelt R Projeksjonen av S p Enhetsnormal på R p dA R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

73 Fluks 3D - Eks Finn fluksen av F = [ 0, yz, z2 ] ut av flaten S
avkuttet fra sylinderen y2 + z2 = 1, z  0 og planene x = 0 og x = 1. z n F y Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. x

74 Masse, moment og massesenter til tynne skall Def
Treghetsmoment Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Gyrasjonsradius

75 Massesenter til tynne skall Eks
Finn massesenteret til et tynt halvkuleskall med radius a og konstant massetetthet . z S y R x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

76 Parameteriserte flater Def
Kurve Flate b z C a r(t) y [ ] t x z v Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. S r(u,v) u y x

77 Parameteriserte flater Areal
v v D (u,v) u u A R A Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

78 Parameteriserte flater Flate-integral
v v D (u,v) u u A R A Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

79 Parameteriserte flater Flate-integral - Spesialtilfeller - Def
Kartesiske koordinater Sylinder-koordinater Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Kule-koordinater

80 Parameteriserte flater Eks 1 - Kjegle
z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

81 Parameteriserte flater Eks 2 - Kule
z S r(t) y x z Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.   y  x

82 Parameteriserte flater Eks 3 - Sylinder
z S r(t) y x z Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. S r(t) y 3 x

83 Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [1/4]
Beregn arealet av kjegleflaten 1 Nivåflate z 2 Spesialtilfelle 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x 3 Parameterisering

84 Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [2/4]
1 Nivåflate z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

85 Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [3/4]
2 Spesialtilfelle z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

86 Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [4/4]
3 Parameterisering z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

87 Parameteriserte flater Eks 5 - Flate-integral over kjegleflate
Bestem integralet av G(x,y,z) = x2 over kjeglen z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

88 Greens teorem Def - 2D Green - Div Green - Curl
Green Fluks Divergens Normalform C R n F Green Sirkulasjon Curl Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C R T F

89 Gauss / Stokes teorem Def - 3D
Gauss Div Gauss / Stokes teorem Def D Stokes Curl Gauss Divergens z S n D F y x Stokes Curl n z Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. S C T F y x

90 Gauss / Stokes teorem Bevis-skisse Gauss - 3D
Gauss Div Stokes Curl z S n D F y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. St Sb

91 Gauss / Stokes teorem Bevis-skisse Stokes - 3D
Gauss Div Gauss / Stokes teorem Bevis-skisse Stokes D Stokes Curl n z S C T F y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. E A D B C

92 Green - 2D Gauss / Stoke - 3D
Green’s teorem Stoke’s teorem 2D 3D Gauss Divergens Green Normalform Stoke Green Tangensialform Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Stokes Curl

93 Green / Gauss / Stokes Def - 2D - 3D
Green Divergens Green Curl 3D Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Gauss Divergens Stokes Curl

94 Stokes Maksimal sirkulasjon
Stokes Curl Maksimal sirkulasjon når n er parallell med curl F Vektorfelt Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Maksimal sirkulasjon i dette planet

95 Stokes teorem Eks 1 - Verifisering
Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data: Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ] Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = z  0 Rand : C : x2 + y2 = 9 z S C R y F x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

96 Stokes teorem Eks 1 - Sirkulasjon
Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data: Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ] Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = z  0 Rand : C : x2 + y2 = 9 z S C R y F x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

97 Stokes teorem Eks 1 - Flateintegral 1
z S C R y F x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

98 Stokes teorem Eks 1 - Flateintegral 2
Velger S2: x2 + y2  9 som ny flate. Også denne flaten har C som rand. z S S2 C R y F x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

99 Stokes teorem Eks 2 - Sirkulasjon
Finn både direkte og vha Stokes teorem sirkulasjonen av F = [ x2-y, 4z, x2 ] langs (mot klokka) kurven C fremkommet ved skjæring av planet z = 2 med kjeglen z = x2 + y2 z F C 2 y  x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

100 Stokes teorem Eks 2 - Flateintegral 1 - S: Kjeglesideflate
z 2 F n S y  x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

101 Stokes teorem Eks 2 - Flateintegral 2 - S: Kjegletoppflate
z n = [0,0,1] F S 2 y  x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

102 Stokes teorem Eks 3 - Oppgave
Bruk Stokes teorem til å beregne for F = [ xz, xy, 3xz ] hvor C er randen av den delen av planet 2x + y + z = 2 som befinner seg i første oktant og C gjennomløpes i retning mot klokka sett ovenfra. z (0,0,2) F C (0,2,0) (1,0,0) y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

103 Stokes teorem Eks 3 - Løsning
z (0,0,2) F C n (0,2,0) (1,0,0) y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

104 Gauss teorem Eks 1 Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet)
z Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet) for F = [ x, y, z ] over kula x2 + y2 + z2 = a2. F a S n y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

105 Gauss teorem Eks 2 Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]
ut av kubus-flaten i første oktant begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1. z S F D n y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

106 Gauss teorem Eks 2 - Alternativ: Symmetri
Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ] ut av kubus-flaten i første oktant begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1. z S F D n y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Symmetriegenskaper 106

107 END