Multiple integraler

Innhold Enkelt-integral Def Integrasjon ’omvendt operasjon’ av derivasjon’ Eksempler Dobbelt-integral Rektangulært område Generelt område Areal Gjennomsnitt Massesenter Treghetsmoment Polar form Trippel-integral Rektangulære områder Generelle områder Volum Gjennomsnitt Massesenter Treghetsmoment Sylinderkoordinater Kulekoordinater Substitusjon i multiple integraler Dobbelt-integral Trippel-integral

Integrasjon Anvendelser - Areal / Volum / Buelengde Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Integrasjon Anvendelser - Musikk Derivasjon Integrasjon Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Integrasjon Anvendelser - Sampling / Digitalisering Fourier Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Opprinnelig funksjon Reprodusert funksjon Samplings- punkter Enkelt- ledd Shannons samplingsteorem

Integrasjon Anvendelser - Mobiltelefon Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Eks: Wavelets Gjennfinning / Skjuling Fjerner lav-frekv. W Fjerner høy-frekv. W Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Kreftsvulster Bomring Video-komprimering

Enkelt-integral Def y = f(x) a xi* b xi

Enkelt-integral Integrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjoner F’(x) = f(x) y = f(x) a x x+x x F(x+x) F(x) F F x x

Enkelt-integral Integrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjoner F’(x) = f(x) - Eks Areal

Dobbelt-integral Def z = f(x,y) f(xij*,yij*) yij* xij* R Aij

Dobbelt-integral Rektangulært område z = f(x,y) z = f(x,y) f(x,y) f(x,y) c c y y d d a a x x b b dA dA R R

Dobbelt-integral Rektangulært område Eks 1 - Volum - dydx 4 z = f(x,y) = 4-x-y 1 2

Dobbelt-integral Rektangulært område Eks 1 - Volum - dxdy 4 z = f(x,y) = 4-x-y 1 2

Dobbelt-integral Rektangulært område Eks 2

Dobbelt-integral Generelt område c d a b g1(x) h1(y) g2(x) h2(y)

Dobbelt-integral Generelt område Eks 1 - Volum - dydx 3 z = f(x,y) = 3-x-y 2 (1,1,1) 1 y=x 3 z = f(x,y) = 3-x-y 2 (1,1,1) 1

Dobbelt-integral Generelt område Eks 1 - Volum - dxdy 3 z = f(x,y) = 3-x-y 2 (1,1,1) 1 y=x 3 z = f(x,y) = 3-x-y 2 (1,1,1) 1

Dobbelt-integral Integrasjonsgrenser [1/3] x2 + y2 = 1 y = 1 – x2 x = 1 – y2 R x = 1 - y y y = 1 - x y = 1 - x 1 x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Integrasjonsgrenser [2/3] y = x2 4 y = 2x y = 2x x = y/2 R y = x2 x = y 2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Integrasjonsgrenser [3/3] y = x2 y = x2 y = x2 y = x + 2 y = x + 2 y = x + 2 R R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Egenskaper

Dobbelt-integral Areal - Eks 1 y (1,1) y = x y = x2 R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. x

Dobbelt-integral Areal - Eks 2 y = x2 y = x + 2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Gjennomsnitt - Innledning 2 4 9 0 1 2 10 0 100 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Gjennomsnitt - Enkeltintegral 0 10 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Gjennomsnitt - Dobbeltintegral - Def z = f(x,y) R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Gjennomsnitt - Dobbeltintegral - Eks f(x,y) = xcos(xy) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Masse - Massesenter - Def dm dm Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. ycm r rcm xcm

Dobbelt-integral Masse - Massesenter - Eks (1,2) y =2x x = 1 (xcm,ycm) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Treghetsmoment - Def y Treghetsmoment dm r L x Gyrasjons-radius Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Treghetsmoment - Eks (1,2) y =2x x = 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Dobbelt-integral Polar form - Rektangulært område y  =  R  = a b x  Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.  G  a b r

Dobbelt-integral Polar form - Generelt område y  = r = g2() R  = r = g1() x y  = g2(r) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r = b R  = g1(r) r = a a b x

Dobbelt-integral Polar form - Grenser y x2 + y2 = 4 r = 2 R (2,2) r = 2 / sin  Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. x

Dobbelt-integral Polar form - Areal - Eks1 y 2 x R r Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r =   G a 2 

Dobbelt-integral Polar form - Areal - Eks2 y R x r Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. G /4 

Dobbelt-integral Polar form - Volum - Eks1 z z = 16 – x2 – 3y2 z = 3x2 + y2 y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Trippel-integral Def T z Rijk y x

Trippel-integral Masse - Volum - Gjennomsnitt Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Trippel-integral Rektangulært område (b,d,v) z T dV (a,c,u) y x

Trippel-integral Generelt område z = f2(x,y) z T z = f1(x,y) y = g1(x) y a b y = g2(x) x

Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks1 z z z 1 1 1 y + z = 1 y + z = 1 y + z = 1 1 1 1 y y y 2 2 2 x x x 1 1 1 y + z = 1 y + z = 1 y + z = 1 1 1 1 y y y 2 2 2 x x x

Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks2 z (0,1,1) z (0,1,1) z (0,1,1) z = y x –y + z = 0 y y y x + z = 1 x (1,1,0) x (1,1,0) x (1,1,0) (0,1,1) z (0,1,1) z (0,1,1) z y y y x (1,1,0) x (1,1,0) x (1,1,0)

Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks2 - Volumberegning z (0,1,1) z = y x –y + z = 0 y x + z = 1 x (1,1,0)

Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [1/2] z z = 8 – x2 – y2 z = x2 + 3y2 y = -(4-x2)/2 y (2,0,0) y = (4-x2)/2 x

Trippel-integral Integrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [2/2]

Trippel-integral Gjennomsnitt - Eks1 z Bestem gjennomsnittet av funksjonen F(x,y,z) = xyz over terningen avgrenset av koordinatplanene og planene x = 2, y = 2, z = 2 i første oktant. 2 2 y 2 x z F = 8 1 2 y x

Trippel-integral Egenskaper

Trippel-integral Masse - Massesenter - Treghetsmoment Første moment om koordinatplan Massesenter Treghetsmoment Gyrasjonsradius

Trippel-integral Treghetsmoment - Eks z c y a x b

Trippel-integral Sylinder-koordinater - Def z y  r x z dr r d rd dz dV y x

Trippel-integral Sylinder-koordinater - Massesenter Eks 1 Bestem massesenteret til legemet med konstant massetetthet begrenset av paraboloiden z = 4 – x2 – y2 og disken R: x2 + y2  4 i planet z = 0. z 4 r 2 r r 2 2  y  y x x

Trippel-integral Sylinder-koordinater - Massesenter Eks 2 Bestem massesenteret til legemet med konstant massetetthet begrenset av sylinderen x2 + y2 = 4, paraboloiden z = x2 + y2 og disken R: x2 + y2  4 i planet z = 0. z z = x2 + y2 r2 2 r 2 r  y  y 2 x2 + y2 = 4 r = 2 x x

Trippel-integral Kule-koordinater - Def z   y  x z sin d sind d d  d   d y rd x

Trippel-integral Kule-koordinater - Eks Bestem volumet av ’iskrem-kjeglen’. z Kule  = 1  = /3  y x

Trippel-integral Koordinat-formler Sylindrisk  Rektangulær z   y  r Sfærisk  Rektangulær x Sfærisk  Sylindrisk Rektangulær Sylindrisk Sfærisk

Substitusjon i multiple integraler Enkelt-integraler - Multiple integraler [ ] [ ] G u u S x x Dobbelt-integral v y S G (x,y) (u,v) u x

Substitusjon i multiple integraler Dobbelt-integral - Jacobi-determinant v y G S u S v (a,b) r(a,b) u x

Substitusjon i multiple integraler Trippel-integral - Jacobi-determinant w G v u z D y x

Substitusjon i multiple integraler Jacobi-determinant - Enkelt-integral

Substitusjon i multiple integraler Jacobi-determinant - Polar-koordinater y r  x

Substitusjon i multiple integraler Jacobi-determinant - Sfæriske koordinater z   y  x

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 1 [1/4] y E b Bestem arealet av den elliptiske disken E gitt ved: a x

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 1 [2/4] y v E b 1 D a x 1 u Den elliptiske disken E transformeres over til en sirkelskive D

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 1 [3/4] y v E b 1 D a x 1 u Den elliptiske disken E transformeres over til en sirkelskive D Jacobi-determinant Invers Jacobi-determinant

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 1 [4/4] y v E b 1 D a x 1 u Den elliptiske disken E transformeres over til en sirkelskive D

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 2 [1/4] z T c Bestem masse-senteret til den halve ellipsoiden T gitt ved: Massetettheten  er konstant. a b x y

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 2 [2/4] w z T 1 K c 1 1 a b x u v y Halv-ellipsoiden T transformeres over til en halv-kule K

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 2 [3/4] w z T 1 K c 1 1 a b x u v y Halv-ellipsoiden T transformeres over til en halv-kule K Jacobi-determinant Invers Jacobi-determinant

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 2 [4/4] w z T 1 K c 1 1 a b x u v y Halv-ellipsoiden T transformeres over til en halv-kule K

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 3 [1/4] z 3 y = 2x (plan bak) Beregn 4 1 y ved å benytte transformasjonen x y = 2x-2 (plan foran)

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 3 [2/4] z T 3 y = 2x (plan bak) w G 1 2 2 1 y 1 v x u y = 2x-2 (plan foran) Grenser xyz Tilhørende uvw Grenser uvw

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 3 [3/4] z T 3 y = 2x (plan bak) w G 1 2 2 1 y 1 v x u y = 2x-2 (plan foran) Jacobi-determinant Invers Jacobi-determinant

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 3 [4/4] z T 3 y = 2x (plan bak) w G 1 2 2 1 y 1 v x u y = 2x-2 (plan foran)

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 4 [1/4] y2 – x2 = 5 y2 – x2 = 2 Beregn massen av området D. Massetettheten er gitt ved: (x,y) = x2 + y2 D xy = 4 xy = 1

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 4 [2/4] y2 – x2 = 5 v y2 – x2 = 5 y2 – x2 = 2 5 D xy = 1 E xy = 4 xy = 4 2 y2 – x2 = 2 xy = 1 1 4 u Grenser xy Grenser uv

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 4 [3/4] y2 – x2 = 5 v y2 – x2 = 5 y2 – x2 = 2 5 D xy = 1 E xy = 4 xy = 4 2 y2 – x2 = 2 xy = 1 1 4 u Invers Jacobi-determinant Jacobi-determinant

Substitusjon i multiple integraler Transformasjon - Eks 4 [4/4] y2 – x2 = 5 v y2 – x2 = 5 y2 – x2 = 2 5 D xy = 1 E xy = 4 xy = 4 2 y2 – x2 = 2 xy = 1 1 4 u

END