Fourier.

Presentasjon om: "Fourier."— Utskrift av presentasjonen:

1 Fourier

2 Transformation Car Hjem Bilverksted

3 Music - Digital Ren tone Reell tone Digitalisering Tabell
Analog Digital Ren tone Reell tone Digitalisering Tabell FourierTransform Sammensetn av rene toner Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Integrasjon Derivasjon

4 Transformation Computing
Rom 1 Rom 2 4 + 16 = 20 2 + 8 = 10 Transformasjon Newtons 2.lov står sentralt i fysikk. Loven lyder: F = ma . Loven sier følgende: Summen av alle ytre krefter som virker på et system er lik massen av systemet multiplisert med akselerasjonen til systemet. Hvis systemet har utstrekning, vil vi med akselerasjonen til systemet mene akselerasjonen til systemets massemiddelpunkt.

5 Transformation Computing - Logarithm
Rom 1 y Rom 2 x 8 * 32 = 256 3 + 5 = 8 Transformasjon

6 Transformation Theory
F(u) = T[f(x)] Transformasjon f(x) F(u) Room 1 Room 2 f(x) = T-1(F(u))

7 Transformation Theory
Integral Transformation F(…) = T[f(…)] f(…) F(…) Room 1 Room 2 f(…) = T-1(F(…))

8 Transformation Theory
Integral Transformation Wavelet Laplace Fourier Wavelet Laplace f(…) F(…) Fourier

9 Transformation-theory
Transformasjon f(x) F(u) Fourier Laplace Wavelet

10 Definition of The Continuous Wavelet Transform CWT
The continuous-time wavelet transform (CWT) of f(x) with respect to a wavelet (x): L2(R)

11 Wavelets Kreftsvulster Bomring Video-komprimering Fjerner lav-frekv. W
Fjerner høy-frekv. W Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Kreftsvulster Bomring Video-komprimering

12 The Norwegian Radiumhospital Mammography

13 Mexican Hat Dim

14 Image processing III Wavelet-transformation

15 Original Compress 1:50 JPEG Wavelet

16 Ultrasound Image - Edge detection SINTEF – Unimed – Ultrasound - Trondheim
- Ultrasound Images - Egde Detection - Noise Removal - Egde Sharpening - Edge Detection

17 Arthritis Measure of bone
Morlet Arthritis Measure of bone External part External part E/I bone edge E/I bone edge

18 Wavelet Transform Morlet Wavelet - Non-visible Oscillation [1/2]

19 ECG

20 Seismic trace

21 Laplace transformasjon
Diff./Integral.lign. Laplace transformasjon ’Ordinær’ ligning

22 Fourier Transformation
Transformasjon f(x) F(u)

23 Continuous Fourier Transform Def
The Fourier transform of a one-dimentional function f(x) The Inverse Fourier Transform Fourier Transformasjon f(x) F(u)

24 Continuous Fourier Transform Example - cos(2ft)

25 Signals and Fourier Transform Frequency Information
FT FT Øverst vises funksjonen y1 = sin(w1*t), dvs en funksjon med en gitt frekvens w1. Den Fourier-transformerte funksjonen viser en enkelt topp svarende til denne ene frekvensen. I midten vises funksjonen y2 = sin(w2*t) med en gitt frekvens w2 hvor w2 > w1. Den Fourier-transformerte funksjonen viser en enkelt topp svarende til denne ene frekvensen, men vi ser at denne toppen er plassert lenger til høyre enn den toppen i den forrige Fourier-transformerte, svarende til at vi nå har en høyere frekvens. Nederst vises en funksjon y3 = sin(w1*t) + sin(w2*t), dvs en funksjon som inneholder to gitte frekvenser. Dette gjenspeiles i den Fourier-transformerte som to topper i diagrammet, de to toppene fra de to foregående Fourier-transformerte. FT

26 Stationary / Non-stationary signals
FT Non stationary FT Øverst vises en funksjon y3 = sin(w1*t) + sin(w2*t), dvs en funksjon som inneholder to gitte frekvenser (samme som siste figur på foregående slide), samt den Fourier-transformerte som inneholder to topper svarende til de to frekvensene. Legg merke til at de to frekvensene opptrer samtidig hele tiden i tid-rommet. Nederst vises en grein-funksjon y4 hvor de to frekvensene ikke lengre opptrer samtidig i tid. Først opptrer frekvensen w1, deretter overtar frekvensen w2. Legg merke til at De to Fourier-transformerte funksjonene er like, dvs en Fourier-transformasjon kan plukke ut de enkelte frekvensene, men klarer ikke å plassere disse i tid. The stationary and the non-stationary signal both have the same FT. FT is not suitable to take care of non-stationary signals to give information about time.

27 Transient Signal Frequency Information
Constant function in [-3,3]. Dominating frequency  = 0 and some freequency because of edges. Transient signal resulting in extra frequencies > 0. Narrower transient signal resulting in extra higher frequencies pushed away from origin.

28 Transient Signal No Information about Position
Moving the transient part of the signal to a new position does not result in any change in the transformed signal. Conclusion: The Fourier transformation contains information of a transient part of a signal, but only the frequency not the position.

29 Signals and Fourier Transform Frequency Information
FT FT FT Øverst vises funksjonen y1 = sin(w1*t), dvs en funksjon med en gitt frekvens w1. Den Fourier-transformerte funksjonen viser en enkelt topp svarende til denne ene frekvensen. I midten vises funksjonen y2 = sin(w2*t) med en gitt frekvens w2 hvor w2 > w1. Den Fourier-transformerte funksjonen viser en enkelt topp svarende til denne ene frekvensen, men vi ser at denne toppen er plassert lenger til høyre enn den toppen i den forrige Fourier-transformerte, svarende til at vi nå har en høyere frekvens. Nederst vises en funksjon y3 = sin(w1*t) + sin(w2*t), dvs en funksjon som inneholder to gitte frekvenser. Dette gjenspeiles i den Fourier-transformerte som to topper i diagrammet, de to toppene fra de to foregående Fourier-transformerte.

30 The Fourier Series Expansion an,bn coefficients
Transformasjon f(x) f(x) F(u)

31 Pulse Train approximated by Fourier Serie
f(x) square wave (T=2) N=1 N=2 N=10

32 Fourier Series Zig tag Zig tag approximated by Fourier Serie N = 1

33 Fourier Series Negative sinus function
approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2 N = 5 N = 10

34 Fourier Series Truncated sinus function
approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2 N = 5 N = 10

35 Fourier Series Line Line approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2

36 Fourier Series Simulation

37 The Two-Dimensional DFT and Its Inverse
Fourier Transformasjon f(x) F(u)

38 Fourier Sampling - Digitalisering
Analog Digital Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

39 Fourier Sampling - Digitalisering
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

40 Fourier Sampling - Digitalisering
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

41 Fourier Sampling - Digitalisering
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

42 Fourier Anvendelse Svingninger Bølger Varmetransport
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. F(t) f(x) g(x) f(x) Disse funksjonene kan være kompliserte. Problemene kan løses vha Fourier

43 Fourier Motivasjon Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

44 Fourier Motivasjon - Eks 1 - Eksakt løsning
Svingninger F = 4t Ytre påtrykt kraft k m Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

45 Fourier Motivasjon - Eks 1 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger F = 4t Ytre påtrykt kraft k m Eksakt løsning 1 Løsning vha Fourier Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

46 Fourier Motivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Odde funksjon med periode 2L

47 Fourier Motivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m F 10 Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2 1 2 t -10 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

48 Fourier Motivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2 1 2 Hvis det finnes et ikke-null ledd i Fourier-rekken til F(t) med så vil dette leddet forårsake resonans. Grunnen er at ligningen mx’’ + kx = Bnsin0t har resonans-løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning:

49 Fourier Motivasjon - Eks 3 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger F = 5t Ytre påtrykt kraft k m Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L = 4 2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

50 Fourier Motivasjon - Eks 4 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L og skriver F(t) som en Fourier-rekke: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsningen finnes nå vha superposisjon:

51 Fourier Motivasjon - Eks 5 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L = 2 og skriver F(t) som en Fourier-rekke: Løsningen finnes nå vha superposisjon: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

52 Fourier Transformation
Transformasjon f(x) F(u)

53 Continuous Fourier Transform Def
The Fourier transform of a one-dimentional function f(x) The Inverse Fourier Transform

54 Fourier-rekke Def f(t) Stykkevis kontinuerlig funksjon med periode 2L
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

55 Fourier-rekke Eks 1 1 2 4 6 2L = 4 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

56 Fourier-rekke Eks 2 3 5 10 15 2L = 10 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

57 Fourier-rekke Eks 3 2 4 6 2L = 2 Alternativ form med c = 0
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

58 Fourier-rekke Even - Odd Def
Symmetrisk om y-aksen Odd Symmetrisk om origo Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

59 Fourier-rekke Even Bevis
Symmetrisk om y-aksen Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

60 Fourier-rekke Odd Bevis
Symmetrisk om origo Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

61 Fourier-rekke Even - Odd Utvidelse - Def
f(t) definert for 0 < t < L Even utvidelse med periode 2L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Odd utvidelse med periode 2L

62 Fourier-rekke Even - Odd Periodisk - Eks
Periode 2L = 10 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Periode 2L = 2

63 Fourier-rekke Even - Odd Utvidelse - Eks
Utvid f(t) = sint 0 < t <  til en Fourier cos serie Utvid f(t) = t < t < 2 til en Fourier sin serie Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Utvid f(t) = t < t < 2 og en Fourier cos serie

64 Fourier-rekke Pulstog - Odd
1 2 4 6 2L = 4 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

65 Diff.lign. Innledning - Benyttes til å beskrive prosessendringer
Typer av diff.lign. ODE Ordinære Endringer mht en enkelt variabel PDE Partielle Endringer mht flere variabler Newtons 2.lov Radioaktivitet Kvantefysikk SHM Varmetransport Bølger Elektrisk krets Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

66 Diff.lign. Radioaktivitet
Antall atomer som desintegrerer er proporsjonal med antall atomer som vi har i øyeblikket. N0 Antall atomer ved tiden t = 0 N Antall atomer ved tiden t N0 N N0/2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.  t Halveringstid  : Tiden det tar før halvparten av atomene er desintegrert.

67 Diff.lign. Separabel Separabel: Oppsplitting slik at
venstre side er en funksjon av kun y, høyre side er en funksjon av kun x. For en 1.ordens ordinær diff.lign. vil den generelle løsningen inneholde en vilkårlig konstant. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

68 Diff.lign. Integrerende faktor
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

69 Diff.lign. 2.ordens diff.lign.
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

70 Diff.lign. Oversikt Diff.lign. Lineær Ikke-lineær
u1 og u2 løsninger  u = Au1 + Bu2 løsning Den generelle løsning inneholder alle løsninger En partikulær løsning er en spesiell løsning En løsning som ikke kan genereres fra den generelle løsningen kalles en singulær løsning ODE PDE Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. En generell løsning vil inneholde like mange vilkårlige konstanter som graden av diff.lign. En generell løsning vil inneholde like mange vilkårlige, uavhengige funksjoner som graden av diff.lign.

71 Part.diff.lign. Eks 1 - Bølgeligning
Vis at er en løsning av den part.diff.lign. hvor Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

72 Part.diff.lign. Eks 2 - Varmeligning
Vis at er en løsning av følgende initialverdiproblem: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

73 Part.diff.lign. Eks 3 - Varmeligning
Løsning av følgende initialverdiproblem: (1) (2) (3) Mulige løsninger av (1) Generelt må vi forvente en superposisjon av uendelig mange ledd for å oppfylle inertialverdi-problemet Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Oppfyller (1) + (2) Oppfyller (1) + (2) + (3)

74 Part.diff.lign. Superposisjon av løsninger
1. u(x,t) 0 < x < L t > 0 Kontinuerlig og leddvis deriverbar 2. 3. u(x,t) 0  x  L t  0 Kontinuerlig u(x,t) Entydig løsning av initialverdi-problemet Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

75 Part.diff.lign. Eks 4 - Løsningsmetoder
a) Løs ligningen: b) Finn en partikulær løsning som oppfyller: a) b) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

76 Part.diff.lign. Eks 5 - Separasjon av variable
Løs initialverdiproblemet: vha separasjon av variable Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

77 Part. diff. lign. Svingeligning Generell løsning av 2. ordens diff
Part.diff.lign. Svingeligning Generell løsning av 2.ordens diff.lign. m/konst. koeff. F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping ax’’ + bx’ + cx = f(t) < t < L x(0) = x(L) = 0 1. Finn den generelle løsning xc = c1x1 + c2x2 av den assosierte homogene diff.lign. 2. Finn en partikulær løsning xp av den inhomogene lign. 3. Bestem konstantene c1 og c2 slik at x = xc + xp tilfredsstiller randbetingelsene. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

78 Part.diff.lign. Svingeligning - Diff.lign.
F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Newtons 2.lov anvendt på klossen (horisontalt) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

79 Part.diff.lign. Svingeligning - Fri, udempet svingning c = 0 F = 0
F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

80 Part.diff.lign. Svingeligning - Fri, dempet svingning F = 0
F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

81 Part.diff.lign. Svingeligning - Tvungen svingning
F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning av homogen ligning F = 0 Partikulær løsning Steady state

82 Part.diff.lign. Bølgeligning - SHM
(x,y) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

83 Part.diff.lign. Bølgeligning - Utledning 1
F2y F2 (x,y) F F F1y F1 x x + x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

84 Part.diff.lign. Bølgeligning - Utledning 2
T(x,t) (x,y) T(x0,t) x0 x 1 + yx T Ty yx Tx 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

85 Heat Partiell derivasjon Fourier

86 Part.diff.lign. Varmeligning - Innledning
Lengde L Temperatur Temperatur T1 T2 Tverrsnitt A Termisk konduktivitet K Varmeledning (energioverføring (varme)) pr tidsenhet H Proporsjonal med tverrsnitt A Proporsjonal med temperaturdifferens T1 – T2 Omvendt proporsjonal med lengden L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks = Varmeledning pr areal

87 Part.diff.lign. Varmeligning - Fluks / Varme i x-retning
C Masse m Tetthet  Spesifikk varmekapasitet c Temperatur u z H G z A(x,y,z) B y x x E y F Fluks Varme Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Netto varme inn i x-retning

88 Part.diff.lign. Varmeligning - Netto varme inn
C Masse m Tetthet  Spesifikk varmekapasitet c Temperatur u z H G z A(x,y,z) B y x x E y F Netto varme inn i x-retning Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Netto varme inn

89 Part.diff.lign. Varmeligning - Formel
C Masse m Tetthet  Spesifikk varmekapasitet c Temperatur u z H G z A(x,y,z) B y x x E y F Kalorimetri Netto varme inn Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Diffusivitet

90 Part.diff.lign. Varmeligning - Alternativ utledning
Masse m Tetthet  Spesifikk varmekapasitet c Temperatur u z D y x Kalorimetri Energi Energi-endring Varme Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Varme-fluks over randen Divergens-teoremet

91 Diff.lign. - Fourier Anvendelse
Svingninger Varmeledning Bølger Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. F(t) f(x) f(x) g(x) Disse funksjonene kan være kompliserte. Problemene kan løses vha Fourier

92 Diff.lign. Spesielle løsninger
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. cosh sinh cos sin

93 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning
F Ytre påtrykt kraft k m mx’’ + kx = F(t) < t < L x(0) = x(L) = 0 Generell løsning x(t) = x0 + xp Fourierutvikling av F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fourierutvikling av x Fouriersinusutvikling ivaretar tilleggsbetingelsene x(0)=x(L)=0

94 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 01 - Eksakt løsning
F Ytre påtrykt kraft k m x’’ + 4x = 4t < t < x(0) = x(1) = 0 Løsning av homogen ligning: Generell løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Partikulær løsning:

95 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 01 - Løsning vha Fourier
F Ytre påtrykt kraft k m x’’ + 4x = 4t < t < x(0) = x(1) = 0 Fouriersinusutvikling av F(t) = 4t Fouriersinusutvikling av x(t) 2L = 2 Innsatt i diff.lign. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning

96 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 01 - Oppsummering
F Ytre påtrykt kraft k m x’’ + 4x = 4t < t < x(0) = x(1) = 0 Eksakt løsning Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fourierløsning

97 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 02 - Løsning vha Fourier
F Ytre påtrykt kraft <t< Odde periodisk 2x’’ + 32x = F(t) F(t) = med periode 2 <t<2 k m Fouriersinusutvikling av F(t) Fouriersinusutvikling av x(t) Innsatt i diff.lign. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning

98 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Resonans
F Ytre påtrykt kraft mx’’ + kx = F(t) k m Diff.lign. Det finnes et ledd nr N i Fourierrekken til F som svarer til systemets egenfrekvens 0 Diff.lign. når F har samme frekvens som systemets egenfrekvens 0 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning når F har samme frekvens som systemets egenfrekvens 0 |x(t)|   pga faktoren t Løsning når F har ett ledd med samme frekvens som systemets egenfrekvens 0

99 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 03 - Resonans
F Ytre påtrykt kraft 2x’’ + 32x = F(t) Odde periodisk k m Ingen ren resonans Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Ren resonans

100 Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 04 - Tilnærmet resonans
F Ytre påtrykt kraft k m x’’ + 10x = F(t) F(t) = 5t -2<t<2 med periode 2L = 4 Fouriersinusutvikling av F(t) Fouriersinusutvikling av x(t) Innsatt i diff.lign. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning Stor amplitude

101 Part.diff.lign. Svingeligning - Dempning
F Ytre påtrykt kraft k m mx’’ + cx’ + kx = F(t) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Hvis ytre påtrykt kraft er periodisk med kun en frekvens, vil systemet etter hvert påtvinges denne ytre påtrykte frekvensen.

102 Part.diff.lign. Svingeligning - Dempning Eks 05
F Ytre påtrykt kraft k m 3x’’ x’ + 27x = F(t) F(t) = t-t Odde periodisk 2 Fouriersinusutvikling av F(t) Superposisjon Ledd nr 2 dominerer pga tilnærmet samme frekvens som det udempede systemets egenfrekvens. Systemets frekvens er 3 ganger ’frekvens’ til ytre påtrykt kraft. Løsning Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

103 Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff
Part.diff.lign. Varmetransport i en stav Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Lengde L Bestem temperaturen u i staven som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

104 Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff
Part.diff.lign. Varmetransport i en stav Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Lengde L Bestem temperaturen u i staven som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

105 Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff
Part.diff.lign. Varmetransport i en stav Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. cosh sinh cos sin

106 Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff
Part.diff.lign. Varmetransport i en stav Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

107 Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff
Part.diff.lign. Varmetransport i en stav Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Lengde L Bestem temperaturen u i staven som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

108 Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Eks 1 [1/2]
Lengde L x = 0 x = L En jernstav (k = 0.15 cm2/s) med lengde = 50 cm holdes i vanndamp inntil temperaturen i hele staven er 100 0C. Ved tiden t = 0 isoleres overflaten og de to endepunktene omgis av is med temperatur 0 0C. Bestem temperaturen i stavens midtpunkt etter en halv time. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

109 Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Eks 1 [2/2]
Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

110 Fourier Heat Studier av svingninger (spesielt resonans)
for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

111 Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign
Part.diff.lign. Bølgeligning Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Problem A: Problem B: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

112 Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign
Part.diff.lign. Bølgeligning Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Problem A Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

113 Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign
Part.diff.lign. Bølgeligning Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Problem A Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. cosh sinh cos sin

114 Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign
Part.diff.lign. Bølgeligning Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Problem A Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

115 Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign
Part.diff.lign. Bølgeligning Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Problem A Eks Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L/2 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

116 Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign
Part.diff.lign. Bølgeligning Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Problem B Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

117 Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign
Part.diff.lign. Bølgeligning Løsning av part.diff.lign. m/Fourier Problem B Eks Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

118 END