Tallet e - Funksjonen e x Eksponensialfunksjon Eks: Mobiltlf – sms [1/5] La oss tenke oss at vi er 7 milliarder mennesker på jorden og at alle har hver.

Presentasjon om: "Tallet e - Funksjonen e x Eksponensialfunksjon Eks: Mobiltlf – sms [1/5] La oss tenke oss at vi er 7 milliarder mennesker på jorden og at alle har hver."— Utskrift av presentasjonen:

1 Tallet e - Funksjonen e x Eksponensialfunksjon Eks: Mobiltlf – sms [1/5] La oss tenke oss at vi er 7 milliarder mennesker på jorden og at alle har hver sin mobiltelefon. Du starter en sms-kampanje. For hvert minutt sender du en sms til to nye personer. Hver person som mottar en sms (inkludert deg selv) sender en sms til to nye personer for hvert minutt (vi tenker oss for enkelhetsskyld at en sms blir omdirigert til en ny person hver gang man forsøker å sende sms til en person som allerede har mottatt en sms). Hvor mange personer (inkludert deg selv) har mottatt sms etter x minutter? Hvor lang tid tar det før alle mennesker på jorden har mottatt en sms?

2 Tallet e - Funksjonen e x Eksponensialfunksjon Eks: Mobiltlf – sms [2/5] Etter 0 minutter er det kun du som er involvert Etter 1 minutt er det 3 personer som er nvolvert, deg selv pluss 2 personer som du har sendt sms til. Etter 2 minutter er det 9 personer som er nvolvert, (merk at også du fortsetter å sende sms). 0 1 2 La y k være antall personer som etter k minutter er involvert i sms-kampanjen. y 0 = 1 y 1 = 3 y 2 = 9

3 Tallet e - Funksjonen e x Eksponensialfunksjon Eks: Mobiltlf – sms [3/5] Etter 2 minutter er det 9 personer som er nvolvert, (merk at også du fortsetter å sende sms). 2 Etter k minutter er antall personer y k involvert lik y k-1 (antall personer involvert etter k-1 minutter) pluss 2y k-1 siden hver person sender to nye sms. Etter x minutter er antall personer y x involvert lik:

4 Tallet e - Funksjonen e x Eksponensialfunksjon Eks: Mobiltlf – sms [4/5] 2 Etter x minutter er antall personer y x involvert lik: For å finne ut hvor lang tid det tar før alle 7 milliarder mennesker har fått sms, kan vi prøve oss frem: I løpet av 21 minutter vil altså alle de 6 milliarder mennesker ha mottatt sms. Med kunnskap om eksponensial- og logaritme-funksjoner, kan vi beregne dette slik:

5 Tallet e - Funksjonen e x Eksponensialfunksjon Eks: Mobiltlf – sms [5/5] 2 Etter x minutter er antall personer y x involvert lik: I løpet av 21 minutter vil altså alle de 7 milliarder mennesker ha mottatt sms.

6 Tallet e - Funksjonen e x Eksponensialfunksjon y = a x y = e x Grafen til y = a x for ulike verdier av a:Det kan være av interesse å bestemme hvilken a som gir endringen av funksjonsverdien lik funksjonsverdien selv, hvilken verdi av a medfører at funksjonen y = a x blir lik sin egen derivert. Mht sms skal vi bestemme hvor mange sms vi må sende pr minutt for at økningen av antall sms-mottakere til enhver tid skal være lik antall sms-sendere.

7 Tallet e - Funksjonen e x Def av e 3 alternative definisjoner 1 0 2 3 4 5 6 7 Tallet e er definert på en av følgende tre ekvivalente definisjoner: … Det kan vises at e er et irrasjonalt tall tilnærmet lik:

8 Tallet e - Funksjonen e x Def av e - Alternativ 1 Grenseverdi

9 Tallet e - Funksjonen e x Def av e - Alternativ 2 Eksponentialfunksjon y = e x - Taylor-rekke http://folk.uio.no/fredrme/ullern/eksponential.pdf Funksjonen y = e x er lik sin egen derivert. Det betyr at i ethvert punkt på grafen, vil stigningstallet til tangenten være lik funksjonsverdien i punktet.

10 Tallet e - Funksjonen e x Def av e - Alternativ 3 [1/2] Invers funksjon og integral

11 Tallet e - Funksjonen e x Def av e - Alternativ 3 [2/2] Invers funksjon og integral

12 END