MAT6 REPETISJON Kap 1 og 2 Laila

Matematiske symboler         Hvis og bare hvis Derav følger Både /og Eller / og For alle Det eksisterer Det eksisterer ikke Tilhører mengden Tilhører ikke mengden

Lineære ligninger 2D ax + by = c  a, b, c  R Representerer en rett linje i planet 3D ax + by +cz = d  a, b, c, d  R Representerer et plan i R3

2D vektor i standard posisjon a = (x y) (x y) B a A Lengde: |a| =  x2 + y2

3D vektor i standard posisjon y a = (x y z) a x Lengde: |a| =  x2 + y2 + z2 z

Enhetsvektorer (x y) B a j i A a = (x y) OA = x  OB = y Dekomponering a = xi + yj i , j er en basis for R2

Hvilke som helst vektorer i R2 kan være basis (x y) v b a v = xa + yb

a ka A = (x y)  ka = (kx ky) Lineært avhengige vektorer Den ene kan skrives som et tall ganger den andre a og b er ikke lineært avhengige a b

Prikkprodukt av to vektorer b  a  b = |a| |b| cos  a a  b = 0  | a | = 0  | b | = 0   = 90 dvs a  b Koordinatform 2D 3D a = ( a1 a2) a = ( a1 a2 a3) b = ( b1 b2) b = ( b1 b2 b3) a  b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 a  b = a1b1 + a2 b2

Vinkel mellom to vektorer a  b = |a| |b| cos   b  a

Rett linje på vektorform 2D P = ( x0 y0 ), Q = ( x y ) Vektorligning Q v ( x y ) = ( x0 y0 ) + t ( v1 v2 ) P linje p x Parameterfremstilling O x = x0 + v1t y = y0 + v2t

Rett linje på vektorform 3D P = ( x0 y0 z0 ), X = ( x y z) Vektorligning x = p + tv PX = tv Koordinatform ( x y z) = ( x0 y0 z0) + t ( v1 v2 v3 ) X v P linje p x Parameterfremstilling x = x0 + v1t y = y0 + v2t z = z0 + v3t O

Parameterfremstilling for et plan i R3 X u u = ( u1 u2 u3 ) v = ( v1 v2 v3 ) u || v P v p PX = su + tv x P = ( x0 y0 z0 ), X = ( x y z) Vektorligning x = p + su + tv Parameterfremstilling Koordinatform x = x0 + u1s +v1t y = y0 + u2s + v2t z = z0 + u3s + v3t ( x y z) = ( x0 y0 z0) + s ( u1 u2 u3 ) + t ( v1 v2 v3 )

Ligning for et plan i R3 Et plan er fullstendig bestemt ved et punkt og retningsvektor for planets normal Punkt: p = ( p1 , p2 , p3 ) Vektor: n = (n1 , n2 , n3 ) n   z  y n x-p p x Fritt valgt punkt i planet  : x = ( x , y , z ) Vektor i planet: x - p x - p  n  ( x - p) · n = 0 Ligning for : x · n = p · n x

NB! Ligningen for x-aksen x = t y = 0 z = 0 Tilsvarende for y-, og z-aksen Ligning for xy-planet: z = 0 Tilsvarende for yz-, og xz-planet

Vektorrom 1 a = ( a1 ) R Rett linje 2 a = ( a1 a2 ) R2 Plan 3 Dimensjon Vektor Notasjon Geometrisk 1 a = ( a1 ) R Rett linje 2 a = ( a1 a2 ) R2 Plan 3 a = ( a1 a2 a3) R3 3D rom 4 a = ( a1 a2 a3 a4) R4 4D rom n a = ( a1 a2 …….. an) Rn nD rom

Lineærkombinasjon x1a1 + x2a2 + x3a3+……. + xnan = b Generelt vektorrom V 1. a  V  ka  V  k  R   2. a1 , a2  V  a1 + a2  V 3.  0 = a - a  V

Er R2 et generelt vektorrom? a = xi + yj R2  x, y, z, w b = zi + wj (x y) B a j i A b a + b  R2  x, y, z, w Nullelement: 0 (nullvektor)

Operasjoner på n-dim vektorer a = ( a1 a2 ..... an) b = ( b1 b2 ...........bn ) Prikkprodukt a · b = a1 b1 + a2 b2 + ...... + an bn Lengden av en vektor a · a = a1 a1 + a2 a2 + ...... + an an = a1 2 + a2 2 ...... + an2 = a2 = | a |2 | a | =  a1 2 + a2 2 ...... + an2

Parameterfremstilling for underrom av Rn Vektorligningene x = p + ta for en linje og x = p + su + tv for et plan gjelder ikke bare R3, men generelt for Rn Parameterfremstillingene ser da slik ut Linje x1 = p1 + ta1 Plan x1 = p1 + su1 + tv1 x2 = p2 + ta2 x2 = p2 + su2 + tv2 …………… ……………….. xn = pn + tan xn = pn+ sun+ tvn

Et 3-dimensjonalt underrom V av Rn har 3 parametre og kan skrives slik x1 = p1 + ru1 + sv1 + tw1 x2 = p2 + ru2 + sv2 + tw2 ……………….. xn = pn + run + svn + twn Parametre: r, s og t Tre vektorer i V: u = ( u1 u2 … un ) v = ( v1 v2 … vn ) w = ( w1 w2 …. wn )

Eksempel Beskriv rommet V som har denne parameterfremstillingen x1 = 3 + 4a + 3b x2 = 2a + 2b – 5c x3 = 2 + 2a – b – c x4 = 1 + 2c V er et 3-dimensjonalt underrom av R4 med retningsvektorer ( basisvektorer ) u = ( 4 2 2 0 ) , v = ( 3 2 -1 0 ) og w = ( 0 -5 -1 2 ) og går gjennom punktet p = ( 3 0 2 1 )

P Avstanden fra et punkt til et plan i R3 Plan : Ax + By + Cz - D = 0 punkt P = ( p1 p2 p3 ) utenfor planet   d n U   Avstanden PU : d = |tn| = | A p1 + B p2 + C p3 - D |  A2 + B2 + C2 fordi d > 0 og |n| =  A2 + B2 + C2

Vinkel mellom to linjer = vinkel mellom linjenes retningsvektorer u v  m n Vinkel mellom to linjer = vinkel mellom linjenes retningsvektorer Vinkel mellom to plan = vinkel mellom planenes normalvektorer   n1 n2  l  a n2  Vinkel mellom en linje og et plan = 90° - vinkel mellom linjens retningsvektor og planets normalvektor