Perturbation Theory for the Singular Value Decomposition.

Presentasjon om: "Perturbation Theory for the Singular Value Decomposition."— Utskrift av presentasjonen:

1 Perturbation Theory for the Singular Value Decomposition

2 Problem Hvordan blir SVD påvirket av støy?

3 Notasjon

4

5 Perturbasjonsgrense – Øvre grense for feil Perturbation expansion – Estimat av feil Første ordens pertubation expansion

6 Normer

7 Pertubasjonsgrenser

8 Rang degenerering

9

10 Det er andre metoder basert på QR dekomposisjon, som er mindre arbeidskrevende for å finne degenererte matriser

11 Perturbation expansion Krever –Simple singulærverdier –Liten nok feil

12

13 Ser på grensen gitt ved Mirsky Anta at elementene i E er uavhengige med forventning 0 og standardavvik ε

14

15 Små singulære verdier

16

17 Singulære vektorer Små feil kan gi store utslag for singulærvektorene

18 Ofte blir singulærvektorene bare brukt som transformasjoner, dermed fører ikke dette til problem. Dersom en er interessert i singulærvektorene i seg selv, kan en se på singulærrom tilhørende lignende singulærverdier.

19 Kanoniske vinkler Trenger avstandsbegrep for underrom For endimensjonale underrom kan en bruke vinkelen mellom rommene Utvider for høyere dimensjoner

20 Ønsker å sammenligne U 1 og V 1 med tilsvarende matriser fra ligning med feil

21

22 Teorem (Wedin)

23 Det er tilfeller der en ikke kan bruke Wedin direkte der V 1 er stabil fordi U 1 er ustabil. Kan unngå problemet med å vise at V 2 er stabil, og siden V 2 og V 1 er ortogonale må også V 1 være stabil.