Realopsjoner Hva er en opsjon? Black-Scholes modellen for verdsettelse av finansielle opsjoner Hva er en realopsjon? Hvordan kan vi bruke realopsjoner som del av verdsettingen av investeringsprosjekter?

”Tradisjonell” investeringsanalyse I tradisjonell investeringsanalyse, utgjør nåverdien (NPV) verdiøkningen en bedrift oppnår ved å gjennomføre et prosjekt Det har i den senere tid blitt satt fram kritikk mot dette synet NPV for et prosjekt fanger ikke opp verdien som ligger i at et prosjekt ikke trenger å gjennomføres etter en strengt oppsatt plan – det kan for eksempel utsettes, utvides eller skrinlegges etter at det eventuelt er startet Denne fleksibiliteten har verdi og må tas hensyn til ved verdsetting av et prosjekt Opsjonsprisingsteori kan brukes til å kvantifisere verdien av fleksibilitet, slik at argumentene ikke bare brukes retorisk

Realopsjoner i praksis Realopsjoner er en moderne metode for å analysere prosjekter og investeringsbeslutninger under usikkerhet Supplerer (ikke erstatter) tradisjonelle metoder Realopsjoner tar hensyn til usikkerheten og opsjonene (beslutningene), og gir to svar Verdien av investeringsmuligheten (opsjonen) Optimal beslutningsregel Realopsjoner er et optimeringsproblem, som maksimer NPV, gitt Risikomomenter i markedene (priser, for eksempel) Tekniske risikomomenter (volum) Relevante opsjoner (fleksibilitet)

Eksempler på realopsjoner Mulighet for å utsette Vente, se, lære, optimalisere – før investering Eksempel - oljefelt Mulighet til å avvikle (Abandonment) Ledelsen trenger ikke fortsette en handlingsplan om den er blitt ulønnsom Mulighet til å utvide Avhengig av markedet (oljepriser, utvinning- kostnader) og reservoarets beskaffenhet kan nye brønner åpnes

Eksempel - utsettelse Anta at vi kan investere 10 i en maskin som vil produsere en enhet av et produkt til evig tid Produksjonskostnaden er 0.90, og salgsprisen er 0.55 neste år men den vil øke med 4 % i året Risikofri rente er 5 %, og investeringen kan foretas når som helst. Det er ingen usikkerhet. Hva er det meste du vil betale for prosjektet?

Hva er en opsjon? En opsjon gir eieren rett men ikke plikt til å selge eller kjøpe et gitt kvanta av et underliggende objekt for en gitt pris (innløsningsprisen) på eller innen opsjonens bortfallsdag Siden opsjonen representerer en rettighet og ikke en plikt, kan eieren velge ikke å utøve opsjonen ved bortfall Vi har to typer av opsjoner, nemlig kjøpsopsjoner (call) som er rett til å kjøpe, og salgsopsjoner (put) som gir rett til å selge

Kjøpsopsjoner Kjøpsopsjoner gir eieren rett men ikke plikt til å kjøpe det underliggende objekt til en gitt pris (innløsningspris eller I) før eller på opsjonens bortfallsdag Ved bortfall Hvis verdi eller kurs på det underliggende objekt (P) > innløsningspris (I), er opsjonen ITM og eieren får en gevinst på P – I Hvis P < I, vil eier ikke utøve opsjonen Generelt vil verdien på en kjøpsopsjon øke hvis prisen på det underliggende objekt øker, og falle hvis verdien på det underliggende objekt faller

Pay off for kjøpt kjøpsopsjon

Salgsopsjoner Salgsopsjoner gir eieren rett men ikke plikt til å selge det underliggende objekt til en gitt pris (innløsningspris eller I) på eller innen opsjonens bortfallsdag Ved bortfall Hvis verdi eller kurs på det underliggende objekt (P) < innløsningspris (I), er opsjonen ITM og eieren får en gevinst på I – P Hvis P > I, vil eier ikke utøve opsjonen Generelt vil verdien på en kjøpsopsjon falle hvis prisen på det underliggende objekt øker, og øke hvis verdien på det underliggende objekt faller

Pay off for kjøpt salgsopsjon

Amerikanske og europeiske opsjoner En amerikansk opsjon kan utøves når som helst før bortfall, mens en europeisk bare kan utøves ved bortfall Muligheten for tidlig utøvelse gjør amerikanske opsjoner mer verdifulle enn europeiske under ellers like betingelser I de aller fleste tilfeller vil tidsverdien over den gjenværende levetiden gjøre tidlig innløsning ulønnsomt Tidlig innløsning er generelt ikke lønnsomt, men det er enkelte unntak Hvis det underliggende objektet gir dividende, reduseres verdien på objektet og dermed verdien på en kjøpsopsjon Hvis en investor eier både objektet og ITM salgsopsjoner på objektet og rentenivået er høyt

Hva påvirker opsjonsverdien?

Opsjonsprisingsmodeller Utledning av modeller for prissetting av opsjoner hører til de mest kompliserte modeller innen finansfaget, men bruk av modellene er ikke like komplisert Ved verdsetting av opsjoner konstrueres en kunstig portefølje (replicating portfolio) som er en kombinasjon av lån/plassering og det underliggende objektet for å oppnå samme kontantstrøm som opsjonen som skal verdsettes Vi bruker prinsippet om arbitrasje, og hvis to objekter (opsjonen og den kunstige porteføljen) gir nøyaktig samme kontantstrøm, må verdien være lik

Black-Scholes modellen Black-Scholes modellen er en mye brukt modell for verdsetting av opsjoner Modellen forutsetter kontinuerlig endring i priser på det underliggende objektet, som normalfordelingen eller lognormalfordelingen om vi snakker om aksjekurser:

Black - Scholes modellen Black-Scholes modellen kan presenteres slik: K0 = P0[N(d1)] - I e-rft[N(d2)] d1 = [ln(P0/I)+rfT/(T1/2)+0,5 (T1/2) d2 = d1 - (T1/2)

Black - Scholes modellen Legg merke til at følgende variabler inngår i modellen P0 = kurs på underliggende objekt (aksje) I = innløsningskurs rf = risikofri rente  = standardavvik T = tid før bortfall

Black - Scholes modellen Forutsetninger i modellen Variansen eller standardavviket til det underliggende objektet er konstant i opsjonens løpetid Den risikofrie renten er konstant Investorer kan låne eller plassere til risikofri rente Aksjekurser endres kontinuerlig – det er ingen ”sprang” Aksjekurser følger en lognormal fordeling Det er ingen transaksjonskostnader eller skatter Alle verdipapirer er perfekt delbare

Eksempel – Norsk Hydro 25. februar 2005 ble Hydro aksjer omsatt for 528. Kjøpsopsjoner med innløsning 560 og bortfall 19. mai 2005 (83 dager) ble omsatt for 8,25. Risikofri rente 1,9 % p.a., standardavvik 24 %

Vi må finne N(d1) og N(d2) Kan finnes med NORMSFORDELING i Excel

Black and Scholes – Excel Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten

Realopsjoner I tradisjonell investeringsanalyse legges ofte følgende til grunn: Et prosjekt skal bare aksepteres hvis NPV er positiv Det forutsettes indirekte at etter at et prosjekt er startet, må det gå sin gang uten at det kan påvirkes i særlig grad Et prosjekt kan kanskje selges en eller annen gang i løpet av levetiden, det kan utvides, utsettes, avvikles mv. Man har en opsjon på fremtidige handlinger – realopsjoner – og denne fleksibiliteten har verdi som må tas hensyn til

Realopsjoner En kjøpsopsjon er retten til å betale en innløsningspris (strike price) for å motta nåverdien av en kontantstrøm Et investeringsprosjekt er retten til å betale en investeringsutgift (strike price) for å motta nåverdien av en kontantstrøm Investeringsprosjekt Kjøpsopsjon Investeringskostnad = Innløsningspris Prosjektets nåverdi = Verdi på underliggende objekt

BS modellens begrensninger Black-Scholes modellen ble opprinnelig utviklet for Europeiske opsjoner på aksjer som ikke betaler dividende Dividendebetalinger reduserer verdien på det underliggende objekt, som reduserer verdien på kjøpsopsjoner og øker verdien på salgsopsjoner. Modellen kan utvides til å ta hensyn til utvanningen av verdien på det underliggende objektet pga dividender Vi innfører symbolet y eller ”dividend yield”, som også kan tolkes som kostnad ved å utsette et prosjekt, for eksempel

Black - Scholes modellen med dividende Black-Scholes modellen med dividende kan presenteres slik: K0 = P0e-yt[N(d1)] - I e-rft[N(d2)] d1 = [ln(P0/I)+(rf – y + 2/2)T]/ (T1/2) d2 = d1 - (T1/2)

Realopsjoner – utsettelse Anta at et prosjekt krever en investering på X, og at nåverdien av alle innbetalingsoverskudd etter investeringstidspunktet er V Prosjektets NPV = V – X Hvis V > X: Prosjektet aksepteres V < X: Prosjektet forkastes Hvis prosjektet ikke aksepteres, vil det ikke bli noen kontantstrømeffekt videre, men man vil uansett tape hva man tidligere har brukt på prosjektet

Problemer ved anvendelse på realopsjoner Det underliggende objekt omsettes ikke i markedet, som gjør det vanskeligere å estimere verdi og standardavvik Prisen på det underliggende objekt følger ikke en kontinuerlig prosess, som er en forutsetning i Black-Scholes modellen Variansen er ikke kjent og er ikke nødvendigvis konstant i løpet av løpetiden, og gjør verdsetting mer komplisert Innløsning skjer ikke momentant, hvilket vil påvirke opsjonsverdien

Input i modellen Verdi på underliggende – PV av kontantstrømmen etter investeringstidspunktet, om prosjektet hadde blitt startet i dag Varians i verdien på det underliggende objekt Innløsningspris – investeringsutgift Tid til bortfall (hvor lenge har bedriften en rettighet, for eksempel), må sammenfalle med risikofri rente for den aktuelle perioden Kostnader ved utsettelse – rettigheter utløper etter en tid, og hvis vi forutsetter at inntjening er konstant over levetid på n år, blir årlig kostnad ved utsettelse 1/n. Levetid for eksempel 20 år, årlig kostnad 1/20 = 5 %, men øker til 1/19 i år 2, osv.

Eksempel - utsettelse Kjøpe rettigheter for å lansere et produkt, rettighetene kan beholdes i 5 år Investeringskostnader 500 mill, kontantstrøm etter skatt 100 mill pr år i 5 år Avkastningskrav: 15 % NPV med gitte forutsetninger: - 500 + 300 • A5,15 = - 165

Eksempel - utsettelse Stor usikkerhet knyttet til kundeaksept – hvor mange vil benytte seg av tilbudet? Simulering av kontantstrøm, forventet verdi 335 mill, standardavvik 42 % Innløsningspris: 500 mill Tid til forfall 5 år, dividend yield 1/5 = 0,20 Risikofri rente 5 %

Verdi av utsettelse

Verdi av patent Input Estimering Verdi på underliggende objekt Nåverdi av kontantstrømmen Usikker, men det skaper verdi Innløsningspris Erfaring og anslag Tid til forfall Varigheten på patentet Varians i verdien på underliggende Varians i kontantstrøm til sammenlignbare bedrifter Dividend yield Kostnader ved utsettelse Årlig kostnad: 1/n

Eksempel – verdsettelse av patent Anta at følgende opplysninger foreligger om utvikling av et legemiddel Nåverdi av kontantstrøm (eks utviklingskostnader) er beregnet til 3 422 Kostnad ved å utvikle medikamentet er 2 875 hvis det blir introdusert nå Bedriften vil inneha patentet i 17 år Risikofri rente 6,7 % Vanskelig å estimere variansen, men sammenlignbare prosjekter har en varians på 0,224 Økonomisk profitt (positiv nåverdi) er mulig bare i patentperioden

Verdi av patent

Verdsetting av naturressurser Ved verdsetting av naturressurser, er verdien av det underliggende objekt (ressursen) avhengig av to variabler, pris og kvantum I de fleste tilfeller vil det være utvinningskostnader, og gevinsten blir selvsagt forskjellen mellom utvinningskostnadene og verdien av ressursene

Naturressurser Input Estimering Verdi på tilgjengelige ressurser Ekspertvurderinger. PV av kontantstrøm kan estimeres Utvinningskostnader (innløsningspris) Erfaring og anslag Tid til forfall Hvor lenge eies rettigheten? Når tømmes reservoaret? Varians i verdien på underliggende Basert på variasjonen i pris og tilgang på ressursen Netto produksjonsinntekt Netto produksjonsverdi hvert år som en andel av totalverdi Utbyggingstid Beregn PV av ressursen med utbyggingstiden

Verdsetting av oljeressurs Reservoar med 50 mill fat, nåverdi av utvinningskostnader $12 pr fat, tidsforsinkelse pga utvikling av ressursen 2 år Bedriften kan utnytte reservoaret de neste 20 år, og marginalverdi (pris – utvinningskostnad) er $12 pr. fat Netto produksjonsverdi hvert år 5 % av totalverdi Risikofri rente 8 %, og variansen til oljeprisene er 0,03

Input i modellen Verdi på underliggende er nåverdi av kontantstrømmen, $12 •50/1,052 = $544,22. Hvis utbygging starter nå, kan olje først selges om 2 år Innløsningspris er nåverdien av utvinningskostnadene, dvs. $12 •50 = $600 Tid til bortfall = 20 år Varians i verdien på underliggende: 0.03 Risikofri rente: 8 % Dividend yield = netto produksjonsverdi/verdi av reserver = 5 %

Verdi av oljeressurs

Verdsetting av gullgruve Gullgruve med 1 million unser gull og produksjon på 50 000 unser pr. år. Gullpris forventes å øke med 3 % pr. år Rettigheter eies i 20 år Kostnader ved å åpne gruven 100 mill, produksjonskostnad $250 pr. unse, forventes å øke med 5 % pr. år Gullpris $375 pr. unse, standardavvik gullpriser 20 %. Risikofri rente er 6 %

Verdi av gullgruve

Realopsjoner - utvidelse En bedrift vurderer å åpne en forretning som koster 100 mill å bygge, mens verdien av kontantstrømmen etter investeringen er beregnet til 80 mill Hvis forretningen bygges, er det mulig med senere utvidelse innen 5 år, som vil koste 200 mill, men beregnet nåverdi av kontantstrøm kun 150 mill Samlet NPV – 20 – 50 = – 70 mill? Anta risikofri rente 6 %, varians 0,08

Verdi av utvidelse

Realopsjoner - utvidelse Et prosjekt A gir følgende kontantstrøm (avkastningskrav 18 %): Nåverdien er negativ – bør prosjektet droppes? Hvis prosjektet gjennomføres, kan man også gjennomføre dette prosjektet B om 4 år:

Realopsjoner - utvidelse Er samlet nåverdi – 141 – 649 = – 790? Prosjekt B er en kjøpsopsjon (man trenger ikke gjennomføre prosjektet), og en opsjon kan ikke ha negativ verdi Vi har følgende om kjøpsopsjonen B: Innløsningskurs (investering) 10 000 Tid til bortfall 4 år eller 1 460 dager Verdi på underliggende objekt er nåverdien av kontantstrømmen etter år 4, som blir 8 743 i år 4 og 4 509 i år 0 Opsjonen er OTM nå, men hva må standardavviket være for at den skal bli ITM og gi en verdi på 141?

Realopsjoner - utvidelse

Implikasjoner Opsjoner i forhold til utvidelse mest relevant for næringer med ustabil inntjening (bioteknologi eller IT, for eksempel) Aktuelt når man ønsker å kjøpe seg inn i voksende marked Oppkjøp av teknologisk ekspertise, som kan muliggjøre ekspansjon i eksisterende markeder eller inntrengning i nye Bedrifter betaler pris over markedspris for å få tilgang til merkenavn, som så kan benyttes i ekspansjon senere

Når er realopsjoner verdifulle? Når realopsjoner brukes for å rettferdiggjøre et investeringsprosjekt, bør (?) begrunnelsen ikke bare være verbal men støttes opp av beregninger Er den første eller tidlige investeringen en forutsetning for å kunne gjennomføre en utvidelse senere? Hva med naturressurser og FoU? Hva med forretning og utvidelse senere? Har bedriften enerett til senere utvidelse/ekspansjon? Hvor sterkt er konkurransefortrinnet (som jo er grunnlaget for positiv NPV)?

Mulighet til å avvikle et prosjekt Vi innfører følgende symboler: V = gjenværende verdi for et prosjekt frem til avvikling L = avviklingsverdi for prosjektet til samme tid Hvis prosjektet har gjenværende levetid, får vi følgende pay off ved eventuell avvikling 0, hvis V > L L – V, hvis V <= L Dette er samme kontantstrømprofil som en salgsopsjon

Mulighet til å avvikle Anta at en bedrift har mulighet til å delta i et eiendomsprosjekt som krever en investering på 100 og verdi av kontantstrømmen er 110 Bedriften har mulighet til å selge sin andel i løpet av de neste 10 år til de andre deltakerne for 50 mill Varians fra kontantstrømmen er 0,09 og risikofri rente 6 %

Realopsjoner - avvikle

Salg-kjøp-pariteten Black-Scholes Salg-kjøp-pariteten i Black-Scholes modellen gir følgende sammenheng mellom verdi på kjøpsopsjon og salgsopsjon: Verdien på salgsopsjonen