Matematisk finans Fred Espen Benth Matematisk institutt, UiO Høgskolen i Oslo, 10 september 2003

Plan for foredraget Hva forstår vi med finansmatematikk? Noen typiske problemstillinger og noen ideer Beskrive finansmatematikk brukt i industrien Hva trenger de? Finansmatematikk som studium ved UiO og andre steder

Finansmatematikk? Investeringer i finansmarkeder er risikable Hvordan kontrollere den risikoen man har tatt på seg? Hvordan beskrive den risikoen man har tatt på seg?

Finansmatematikk? Finansmatematikk som fagfelt Statistikk – beskrive risikoen Matematikk/stokastisk analyse – analysere risikoen Numerisk analyse – kvantifisere risikoen Prise opsjoner (Black & Scholes formelen) Optimalisere investeringer (porteføljeoptimering)

Modellering av markedet - Statistikk Systemprisen for gass i England Store svingninger, reverterende mot middel

Standard markedsmodell Geometrisk brownsk bevegelse Passer ikke så bra for energier OK for aksjer Black & Scholes sitt utgangspunkt Daglige avkastninger er uavhengige og normalfordelte (identisk fordelte) To parametere: Forventet avkastning og volatilitet

Avkastningsdata for gass

Alternative modeller Levy prosesser Stokastiske volatilitetsmodeller Stor fleksibilitet i modelleringen av fordelingen Ikke lenger normalfordelte, og ikke uavhengig Matematisk avanserte – opsjonsprising er vanskelig

Opsjonsprising – stokastisk analyse Callopsjon: Retten til å kjøpe en aksje (underliggende) til en fastsatt pris K til et fastsatt tidspunkt T Geometrisk brownsk bevegelse som modell Opsjonen kan repliseres (hedges): Komplett marked Ingen arbitrasje gir en entydig pris for opsjonen

Opsjonsprising Hva er prisen? Lager en portefølje som har samme verdi som opsjonen Portefølje i aksje og statssertifikat

Black & Scholes’ formelen N(d) er sannsynligheten for at en standard normalfordelt variabel er mindre enn d Kompletthet, ingen arbitrasje Stokastisk analyse, Ito integrasjon og Itos formel

Opsjonsprising og Levy modeller Den underliggende modelleres som en Levy prosess. Hva med opsjonspriser? Markedet blir ikke-komplett Ingen opsjoner kan hedges Finnes uendelig mange arbitrasjefrie priser.

Opsjonsprising – eksotiske opsjoner Asiatiske opsjoner – gjennomsnitt av kursen Knock-out opsjoner – ingen utbetaling hvis kursen bryter en barriere Slike baneavhengige opsjoner har ingen eksplisitt formel for pris. Avansert stokastisk analyse for å uttrykke prisen

Opsjonsprising – Numerisk analyse Mye brukt metode: Monte Carlo Enkel, og virker for eksotiske opsjoner og høyeredimensjonale problemer Simulerer den underliggende Sofistikering av Monte Carlo pga lite effektiv Quasi-MC

Porteføljeoptimering Er teorien anvendbar i praksis?

Porteføljeoptimeringsproblemet Spørsmål: Hvordan allokere formuen optimalt mellom flere usikre investeringsalternativer? De mest kjente optimeringsproblemene: Markowitz: Optimere avkastning, gitt risiko Merton: Optimere porteføljens nytte Eksplisitte investeringsregler

Kan dette brukes i praksis Porteføljevekter er veldig sensitive til parametere i aksjemodellene (forventning og varians/volatilitet) Paremeterne er estimert fra data, og derfor befengt med statistisk usikkerhet Liten unøyaktighet i parameterne kan føre til store avvik i porteføljevektene

Eksempel: Parameterusikkerhet Hvor stor andel skal settes i aksje kontra obligasjon? Anta aksje følger geometrisk Brownsk bevegelse Logaritmisk nyttefunksjon

Eksempel, forts…. Eksplisitt løsning: Hold fast andel i aksje Forventet avkastning og volatilitet blir estimert fra data

Estimering av forventet avkastning og volatilitet Estimeringsfeilen for allokeringen blir av orden den inverse volatiliteten over kvadratroten til antall data Daglig volatilitet er liten

Numerisk eksempel Anta sann volatilitet er 24% og sann forventet avkastning er 2.8%, årlig 50% av formuen skal teoretisk plasseres i aksjer Fra estimering trenger vi ca. 72 år med daglige data for at feilen skal være 50%. Ett år med daglige data gir 420% feil!

Porteføljeoptimering Problemet ligger i usikkerheten i estimert forventet avkastning For opsjonsprising er ikke dette noe problem, prisen avhenger kun av volatiliteten som er “lett” å estimere Forskes på markedsmodeller for forventet avkastning

Kort oppsummering, så langt… Statistikk modellerer data fra markedet Nye modeller trengs Stokastisk analyse priser opsjoner og finner optimale porteføljer Nye modeller krever mere teori Numeriske metoder for å kvantifisere prisene Benytter nyeste metodikk innen simulering Nye metoder trengs

Finansmatematikk i industrien

Finansmatematikk i industrien Banker, kredittinstitusjoner og meglerhus Aksjer, obligasjoner Opsjoner Valuta, utlån, eiendom .... Forsikringsselskaper Aksjeinvesteringer av premier Garanterte produkter

Finansmatematikk i industrien Energi (olje, gass, elektrisitet) Spot Derivathandel (forward, swing) Fysiske posisjoner Nye ”finansielle” markeder Opsjoner på temperatur – værderivater Shipping/transport (imarex) Handel i CO2 kontrakter (EU marked)

Finansmatematikk i industrien Eksempler på ikke-komplette markeder Modellering vanskelig Prising krever tung teori Kompliserte produkter Lage opsjonsprodukter (financial engineering) Analysere produktene

Finansmatematikk i industrien Hva slags kandidater trenger industrien? Kunnskap om markedene! Produkter, aktører ... Analytisk kunnskap Gode på statistikk/dataanalyse Beherske data (Excel, Visual Basic, C++...) Kunne forstå matematikk Trenger ikke å være ”kvanter”

Finansmatematikk som studium

Studier i Norge Master MAT STK INF UiO: Bachelor og master i finans, forsikring og risiko (FFR) Finansspesialisering: stokastisk analyse Forsikring: data og statistikk Ca. 20 studenter pr kull Master MAT FINANS/ FORSIKR FINANS/ FORSIKR STK INF

Studier i Norge NHH, master i finans Mindre fokus på matematikk og statistikk Siviløkonomutdannelse BI Oslo/Sandvika, bachelor og master i finans Agder og Molde Lite fokus på kvantitative metoder

Studier i Norge Hva mangler? Satt på spissen: Enten ”nerder” i finans, Eller ”nerder” i matematikk Alle utdannelsene fokuserer på det tradisjonelle børsmarkedet Hva slags kandidater vil etterspørres i fremtiden?

“...og slik blir fremtiden” Kompetanse på markeder Energi, elektrisitet Shipping Vær..... Kvantitativ kompetanse Statistikk Matematikk Data Økonomi Financial engineering

Oppsummering Skissert hva finansmatematikk er Problemstillinger Metoder og teknikker Indikert bruk av finansmatematikk i industrien Markeder Diskutert utdannelser i Norge innen finans Hva som mangler

Koordinater E-post: fredb@math.uio.no Web adresse: http://www.math.uio.no/~fredb