Tall gjennom tidene En oversikt.

Sumer, senere Babylonia.

Oversiktskart.

Telle-ting Leirfigurer som ble brukt som ”telle-penger”; Mesopotamia for 10-11 000 år siden. Forseglede leirkrukker med tellekuler i, brukt som kontroll ved levering av dyr; Elam – naboområde til Mesopotamia – 4000 år siden.

Telle-ting forts. Karvestokker – stokker med hakk i; de eldste som er funnet er ca. 30 000 år gamle; Frankrike. (Engelsk: tally – delt i to stocks på tvers av strekene, brukt som kvitteringer. Ordene stock exchange (børs), score, skjære, skjorte og skjørt kommer sannsynlig vis herfra, også ordene tall og telle – fra tally.) Romertallene kan ha utviklet seg fra slike karvestokk-merker.

Noen tallord på indoeuropeiske språk. Tre ble nok opprinnelig sagt som ento, fire som toto. Åtte var to firere. Ni betydde opprinnelig “det nye tallet”. Elleve betyr “en til overs”, det vil si etter at du har tatt vekk ti. Tolv betyr på samme måten “to til overs”. Indoeuropeerne stammer sannsynlig vis fra området nord og øst for Svartehavet. Utvandringen derfra fant sted fra omkring 2300 år f.kr.

Indoeuropeiske tallord forts. Hundre betegnet antallet hundre, men i førkristen tid mente de 120. Senere begynte man å kalle dette for “storhundre”. Tusen betyr noe slikt som “et sterkt hundre”.

Telling på kroppsdeler. Vårt tallsystem med grunntall 10 har sin bakgrunn i at vi har 10 fingre. Enkelte folkeslag har brukt grunntall 20, kanskje fordi de tellet både på fingrer og tær.

20-tallssystem fortsatt i bruk i Europa. Det finnes rester av 20-tallssystemer i flere europeiske språk. Begrepet snes (om egg) finnes ennå i Norge. Danskene sier tres (60 = 3 × 20) og firs (80 = 4 × 20). De bruker også halv-tres om 50, halv-firs om 70 og halv-fems om 90. I Frankrike sier de quatrevingt = 4 × 20 om 80.

Asiatisk fingertelling.

Engelsk fingertelling.

Å gange tall med hverandre på fingrene Du teller opp de to fingrene som holdes mot hverandre (som representerer de tallene du skal gange sammen) og dem som ligger under, i dette tilfellet 5 stk. Dette utgjør antall tiere (= 50). Antall fingre på hver hånd over de to ganges sammen, det vil si at her tar du 3 × 2. Dette legges til de 50 du har, det vil si at du har 50 + 6 0 56 alt i alt.

6 ganger 6 Her har du de to nederste fingrene som danner 2 tiere = 20. I tillegg får du 4 × 4, alt i alt 20 + 16 = 36.

Kroppstelling fra Ny Guinea

Additive tallsystemer. Det mest naturlige for oss er ganske enkelt å lage et enkelt symbol for hvert tall, en strek, en prikk eller noe liknende. Det er vanskelig å se hvor mange vi har dersom vi tegner mange like. Derfor har det oppstått egne symboler for for eksempel 10, 100 og så videre, eller for 5, slik som hos romerne og mayaene (se under).

Egyptiske tall. Egypterne hadde to skrifttyper: en til pynt (hieroglyfer) en til hverdagslig håndskrift (såkalt hieratiske tegn)

Hieroglyfer (tatt fra et tysk tidsskrift).

Eksempel på bruk av hieroglyfer. 12643 = 3 + 40 + 600 + 2000 + 10000 Tallene kunne skrives både fra venstre og fra høyre (ulik bruk i ulike tidsperioder).

Egyptiske tall, til håndskrift (hieratiske tall) . 37 = 7 + 30

Hieratisk 243 = 3 + 40 + 200

Romertall. Romerne benyttet seg av et additivt system vel og lenge. I bruk i Europa til langt inn i moderne tid. Blanding av et 10-tallssystem og et 5-tallssystem.

Grunnleggende symboler. I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

Unntak fra addisjonsprinsippet. I tidligere tider skrev romerne inntil 4 like tegn etter hverandre. Senere tillot de bare tre. Dette førte til et merkelig system der de skrev et lavere symbol foran et høyere og hvor det lave skulle trekkes fra det høyere: IV = 4 IX = 9 VL = 45 XC = 90 CM = 900

Store tall. For store tall var det gjennom tidene litt ulike systemer. En måte var å skrive en strek over lavere symboler og la det bety 1000 ganger høyere: _ _ V = 5000 X = 10 000.

Noen eksempler. MCMXCIX Hvis vi tar tallet 1999 som eksempel, kan dette teoretisk skrives på litt ulike måter: MCMXCIX MCMXCVIIII MCMLXXXXVIIII MDCCCCLXXXXVIIII De to øverste er nok de mest sannsynlige.

Multiplikativt system. Additive tallsystemer er enkle å forstå men ineffektive å regne med. Kineserne var sannsynlig vis de første som utviklet et tallsystem hvor symboler for lave tall ble brukt i kombinasjon med et grunntall eller potenser av grunntallet for å uttrykke høyere tall.

Et eksempel. 659 = 600 + 50 + 9 = (6 over 100) + (10 over 5) + 9

Posisjonssystemet. Kineserne hadde flere typer tallsymboler (og har det fortsatt). Det mest forseggjorte brukes på dokumenter hvor forfalskninger er viktige å unngå.

Tall på tellebrett. De enkleste har sin opprinnelse i at de skrev på brett som var inndelt i felter ved siden av hverandre. Der tegnet de ganske enkelt streker. Strekene ble av og til tegnet liggende, av og til stående. Tverrstreker betydde fem mer: Bruk av disse brettene var sannsynlig vis opprinnelsen til det første posisjonssystemet. Kineserne lot tall i høyre felt være antall enere, i andre felt antall tiere og så videre.

De eldste skrevne tallene. De eldste skrevne tallene vi kjenner stammer fra det babylonske området. Systemet var i bruk i lang tid, bortimot 3000 år. De skrev på leirtavler ved hjelp av en penn laget av bambus.

Talltegn (sifre). Det var upraktisk å lage mange typer tegn, så de klarte seg med to, ett for 1 og ett for 10. De utviklet imidlertid et finurlig tallsystem basert på disse to tegnene og grunntallet 60.

Et eksempel. De enkle tegnene er 1-ere, de bøyde er 10-ere Et eksempel. De enkle tegnene er 1-ere, de bøyde er 10-ere. I gruppen til høyre står det derfor 37. I den midterste gruppen står det 42, men dette skal ganges med 60. I gruppen lengst til venstre står det 3, og disse tre skal ganges med 60 × 60 = 602 = 3600 3  602 + 42  60 + 37 = 10 800 + 2520 + 37 = 13 357

”Håndskrift” I praksis ble tegnene skrevet litt tettere, men alltid fra venstre mot høyre. Et eksempel: Tallet 59 kunne skrives slik:

7-gangen. Gangetegnet er innviklet 7-gangen. Gangetegnet er innviklet. Det omfatter de liggende tegnene, de tre kilene til venstre og den ene til høyre for dem Man har funnet massevis av leirtavler med tallmateriale, også tavler til opplæringsformål eller til støtte for hukommelsen. Et eksempel kan være ei tavle med deler av 7-gangen: (Gangetegnet er innviklet. Det omfatter de liggende tegnene, de tre kilene til venstre og den ene til høyre for dem).

Bokstaver som tallsymboler Bokstaver som tallsymboler. Noen kulturer hadde ikke egne symboler for tall og brukte bokstaver fra alfabetet. Grekerne gjorde det:

Det samme gjaldt hebreerne.

Null - som plassholder. I det babylonske tallsystemet oppsto det problemer hvis en posisjon var tom, for eksempel tallet 3601. De skulle da én kile på 3600-plassen og én på 1-plassen, mens 60-plassen skulle stå tom. Dette ordnet de først ved å lage et litt større mellomrom enn ellers, men senere laget de et lite tegn nederst på linja for å markere at det var et tomrom der. Dette var altså en slags null.

India. De første som tok nullen i bruk på en systematisk måte var likevel inderne. (Kanskje fordi de skrev mye i sand.) Først skrev de den som en prikk. Etter hvert utvidet de den til en runding, omtrent som vår 0.

Null som selvstendig tall. Inderne var i hvert fall de første som betraktet 0-en som et selvstendig tall, ikke bare som en plassholder. Dette har nok sammenheng med indisk filosofi. Tallet null hadde mange ulike navn, slik som det tomme, fravær, intethet og det ubetydelige, men også slik som Visnus fot, himmel og rommets veldighet.

Araberne - på veien fra India til Europa. De indiske tallene ble tatt over av araberne og ført videre derfra til Europa. Sentralt i arabernes matematikkformidling sto “Visdommens hus” i Bagdad. Dette ble opprettet i år 798 e.kr.

Til Europa. Gerbert fra Aurillac (= Pave Sylvester II) forsøkte å innføre dem i Europa på slutten av 900-tallet, men det var få eller ingen som tok dem i bruk. I 1202 skrev Leonardo de Pisa (=Fibonacci) boken Liber Abaci, hvor han demonstrerte bruk av de hindu-arabiske tallene.

Konservatisme - da som nå. Motstanden mot å ta dem i bruk var lenge stor. En av årsaken kan være at det fantes en egen yrkesgruppe som var spesialister på å regne og livnærte seg med dette (abakister). Et argument mot arabertallene var at de var lette å forfalske.

Tallsymbolenes utvikling.

Mayaene. Mayaene i Sentral-Amerika, som hadde sin storhetstid i perioden 250 f.Kr. – 900 e.Kr. et høyt utviklet tallsystem. De brukte 20 som grunntall, og de hadde også et eget tegn for null. Posisjonene ble stablet opp hverandre, ikke etter hverandre slik som vi er vant til. De hadde egne tegn for 1 og 5.

Mayaenes område

Eksempler.

Gudebilder som pyntetall.

Inkaene. Inkaene i Peru og Ecuador hadde ikke noe skriftspråk. De brukte tau med knuter på, såkalte quipos. Disse kunne budbærere bringe med seg, og de kunne arkiveres.

Inkaenes rike.

Eksempler. Knutene er ordnet etter et 10-tallssystem Eksempler. Knutene er ordnet etter et 10-tallssystem. Knutene til venstre symboliserer tallet 3902. (Legg merke til at 10-erplassen er tom). Knutene til høyre symboliserer tallet 6243.

Regning med additive systemer. Det er veldig lett å addere tall med additive tallsystemer. Du bare teller opp hvor mange tegn du har av hvert slag. Når du får mange nok av et slag, må du veksle inn i en høyere enhet (f.eks. 10 enere til en 10-er). Å multiplisere med dem er håpløst.

Multiplikasjon. Vår måte å multiplisere på fungerer egentlig slik: 13 × 13 = 13 × (10 + 3) = 130 + 13 Forutsetningen for å skrive dette slik vi vanligvis gjør, er at vi har et sifferposisjonssystem.

Posisjonssystemet. Eksempler. 6245 = 6000 + 200 + 40 + 5 = 6 1000 + 2  100 + 4  10 + 5  1 304 = 300 + 4 = 3  100 + 0  10 + 4  1 I dette tallet har vi bruk for 0 som plassholder. Den nullen vi bruker på tallinja, er egentlig noe annet.

Hvordan egypterne multipliserte.

Babylonerne (sumererne). Systemet er et posisjonssystem og man kan derfor i prinsippet multiplisere omtrent som vi gjør. Babylonerne hadde tabeller for multiplikasjon o.a., blant annet for pytagoreiske tripler.

Romerne. Dette systemet er vanskelig å regne med. Romerne brukte kuleramme (abacus) å regne med.