Egenskaper ved aksjeopsjoner Chapter 9 BED 1 HIH 2010

Notasjon C : American Call option price c : European call option price P : American Put option price ST :Stock price at option maturity D : Present value of dividends during option’s life r : Risk-free rate for maturity T with cont comp c : European call option price p : European put option price S0 : Stock price today K : Strike price T : Life of option : Volatility of stock price BED 1 HIH 2010

Hvordan påvirkes opjonsverdi? Variabel S0 K T  r D c p C P – – + + – – + + + + ? + + + + – – + + – – + + BED 1 HIH 2010

Amerikanske vs. europeiske opsjoner Under ellers like forhold er en amerikansk opsjon verdt minst like mye som en europeisk C  c P  p BED 1 HIH 2010

Nedre grense for europeiske kjøpsopsjoner uten dividende En opsjon kan aldri bli mer verdt enn den underliggende aksjen, det vil si at c ≤ So og C ≤ So p ≤ K og P ≤ K Hvis en europeisk opsjon ikke betaler utbytte, må vi ha at: c  max(S0 –Ke –rT, 0) BED 1 HIH 2010

Eksempel 9.1 side 214 Anta at følgende gjelder S0 = 20 T = 1 r = 10% K = 18 D = 0 S0 –Ke –rT = 20 – 18e – 0.1 = 3.71 BED 1 HIH 2010

Kan denne prisen være riktig? Anta at c = 3 S0 = 20 T = 1 r = 10% K = 18 D = 0 Er det mulighet for arbitrasje? BED 1 HIH 2010

Nedre grense for europeiske salgssopsjoner uten dividende For europeiske salgsopsjoner som ikke betaler dividende, er laveste verdi gitt ved at p  max(Ke -rT–S0, 0) Anta at S0 = 37, K = 40, r = 5 % og T = 0.5 Ke –rT – S0 = 40e-0.05●0.5 – 37 = 2.01 BED 1 HIH 2010

Kan denne prisen være riktig? Anta at Er det mulighet for arbitrasje? p = 1 S0 = 37 T = 0.5 r =5% K = 40 D = 0 BED 1 HIH 2010

Kombinasjon av opsjoner Anta at du kjøper en aksje og en salgsopsjon på samme aksjen. Innløsningskurs er 125. Hva blir din payoff på hvert av disse objektene isolert? BED 1 HIH 2010

Kombinasjon av opsjoner Den samlede verdien av aksjen og salgsopsjon på aksjen blir: BED 1 HIH 2010

Kombinasjon av opsjoner La oss nå prøve noe annet: Vi kjøper en kjøpsopsjon (call) på samme aksje Vi kjøper et risikofritt papir (zero coupon bond), som vi gir 125 ved salg Hvordan blir avkastningen på hvert av objektene? BED 1 HIH 2010

Kombinasjon av opsjoner Den samlede verdien av plasseringene blir: BED 1 HIH 2010

Kombinasjon av opsjoner Vi har sett noe meget viktig, nemlig at en investor oppnår samme avkastning fra følgende Kjøp en aksje og en salgsopsjon på samme aksje Kjøp en kjøpsopsjon og et risikofritt papir (zero coupon bond) Hvis payoff er den samme, må verdien være den samme BED 1 HIH 2010

Kombinasjon av opsjoner Vi har altså sett det interessante at Pris på underliggende aksje + pris på salgsopsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs Dette er en av de mest fundamentale sammenhenger innen opsjoner – put call parity eller salg-kjøp pariteten Vi har altså at: c + Ke -rT = p + S0 BED 1 HIH 2010

Kan prisene være riktige? Anta at c = 3 S0 = 31 T = 0.25 r = 10% K = 30 D = 0 Mulighet for arbitrasje når p = 2.25 ? p = 1 ? BED 1 HIH 2010

Tidlig utøvelse Det kan være optimalt å utøve en amerikansk opsjon før bortfall Unntaket er amerikanskje kjøpsopsjoner som ikke betaler dividende, hvor det aldri er optimalt å utøve før bortfall Anta aksjekursen er 50 og at innløsningskurs til kjøpsopsjon er 40 og at det er 1 mnd til bortfall? Bør opsjonen utøves? BED 1 HIH 2010

En ekstrem situasjon Anta at vi har en American call: S0 = 100; T = 0.25; K = 60; D = 0 Bør vi utøve tidlig? Hva gjør du hvis Du ønsker å eie aksjen 3 mnd til? Du ønsker ikke å eie aksjen BED 1 HIH 2010

Dividende og laveste verdi (Equations 9.5 and 9.6, pages 214-215) BED 1 HIH 2010

Utvidelse av salg-kjøp paritet American options; D = 0 S0 - K < C - P < S0 - Ke -rT (Equation 9.4, p. 211) European options; D > 0 c + D + Ke -rT = p + S0 (Equation 9.7, p. 215) American options; D > 0 S0 - D - K < C - P < S0 - Ke -rT (Equation 9.8, p. 215) BED 1 HIH 2010