Utforsking av egenskaper til to spesielle klasser av funksjoner Ingvill Merete Stedøy

Oppgave 1.1 Nedenfor skal dere skissere grafen til funksjonen 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , der 𝑎>1 er et reelt tall. Dere skal ikke regne ut noen funksjonsverdier, men tenke over følgende: Hvilket fortegn har 𝑓? Hvordan endres funksjonsverdiene når 𝑥→±∞? Hvilken betydning har verdien av 𝑎? Tegn grafen omtrent slik den ser ut hvis dere velger en større verdi for a, og en hvis dere velger en mindre verdi for a. Alt i samme koordinatsystem. Hvordan ser grafen til 𝑓 ut hvis 𝑎=1?

Oppgave 1.2 Dere skal nå skissere grafen til 𝑓´ i samme koordinatsystem som 𝑓 oppgave 1.1. Dere skal ikke regne ut noen funksjonsverdier, men tenke over følgende: Hvilket fortegn har 𝑓´? Hvordan endres funksjonsverdiene når 𝑥→±∞? Hvilken betydning har verdien av 𝑎? Tegn en skisse av grafen til den deriverte for hver av funksjonene dere skisserte i oppgave 1.1. Når dere har skissert grafen til 𝑓´, skal dere gjøre et kvalifisert gjett på hva funksjonsuttrykket til 𝑓´ kan være. Hvordan ser grafen til 𝑓´ ut hvis 𝑎=1?

Oppgave 2.1  Nedenfor skal dere skissere grafen til funksjonen 𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑥 , der 0<𝑎<1 er et reelt tall. Dere skal ikke regne ut noen funksjonsverdier, men tenke over følgende: Hvilket fortegn har 𝑔? Hvordan endres funksjonsverdiene når 𝑥→±∞? Hvilken betydning har verdien av 𝑎?

Oppgave 2.2 Dere skal nå skissere grafen til 𝑔´ i samme koordinatsystem som 𝑔 oppgave 2.1. Dere skal ikke regne ut noen funksjonsverdier, men tenke over følgende: Hvilket fortegn har 𝑔´? Hvordan endres funksjonsverdiene når 𝑥→±∞? Hvilken betydning har verdien av 𝑎? Når dere har skissert grafen til 𝑔´, skal dere gjøre et kvalifisert gjett på hva funksjonsuttrykket til 𝑔´ kan være.

Oppgave 3 Til denne oppgaven skal dere bruke GeoGebra. Lukk igjen algebrafeltet! Tegn grafen til funksjonen 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 Tegn grafen til 𝑓´. Endre verdien på glideren og sammenlikne med oppgave 1 og 2. Kommentér! Dra forsiktig i glideren og se om det finnes en verdi av 𝑎 som gjør at 𝑓´ 𝑥 =𝑓(𝑥) for alle verdier av 𝑥. Åpne algebrafeltet og se på funksjonsuttrykket til 𝑓´(𝑥). Hvordan stemmer dette med verdien dere fant i e)?

Oppgave 4.1 Gjør oppgavene 1.1, 1.2 og 3a, b og c, men denne gangen med funksjonen 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 (Bruk kommandoen log( <b> , <x> ) med og sett a der det står <b> og x der det står <x> når dere skal gjøre siste del av oppgaven med GeoGebra)

Oppgave 4.2 Da dere tegnet den deriverte til 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 i GeoGebra, fikk dere en graf med to grener. Hva kan dere si om det? For hvilken verdi av 𝑎 er 𝑓´(𝑥) en funksjon som går gjennom punktet (1,1)?

Utledning av den deriverte til 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 Bruk definisjonen av den deriverte til å utlede at 𝑓´ 𝑥 = 1 𝑥∙𝑙𝑛𝑎 For IB-elevene: Bruk deretter implisitt derivasjon til å vise at 𝑎 𝑥 ´= 𝑎 𝑥 ∙𝑙𝑛𝑎

Hjemmearbeid Hvilken kontinuerlige og deriverbare funksjon går gjennom punktene: (1,3) (2,4) (4,5) (8,6) . (x,y)? Bestem det eksplisitte uttrykker for funksjonen og dens deriverte.