Sentralt gitt skriftlig eksamen i matematikk Digitale verktøy Gregorios Brogstad Seniorrådgiver Utdanningsdirektoratet Fagseminar om matematikk CappelenDamm , Oslo

1980-tallet Grunnskolen Enkel kalkulator Videregående opplæring ”Scientific calculator”

1990-tallet Grunnskolen Enkel kalkulator Videregående opplæring Grafisk kalkulator

Grunnskolen Enkel kalkulator Videregående opplæring Grafisk kalkulator

2010 ”Lommeregner” PocketCAS for iPhone og iPad 1983

En annen type matematikk? ”En type matematikk blir viktigere fordi teknologien krever det. En type matematikk blir mindre viktig fordi teknologien erstatter den. En annen type matematikk blir mulig fordi teknologien tillater det.” Waits, B.K. Instead of an introduction ACDCA Proceedings Portoroz.

Matematikken er blitt nummerisk! Grafisk kalkulator R94

Symbolsk algebra og algebraiske ferdigheter fortsatt viktig i en CAS-verden CAS Styrking av symbolsk algebra? CAS krever forståelse av algebra Tolking av ”CAS outcome” Tolke algebraiske uttrykk og bruke et algebraisk språk for å beskrive virkeligheten og matematiske verdener Ikke om å bruke CAS, men når man bør bruke CAS? Algebraiske mønstre Ekvivalente algebraiske former Resonnere om symbolske uttrykk, ikke bare endre deres form?

Matematikk: Todelt eksamen og hjelpemidler Del 1 (2 timer) Del 2 (3 timer)

Fra vår 2008 En oppgave i Del 2 kom med: –Alternativ I –Alternativ II Tradisjonell oppgave eller IKT-oppgave Enten samme hovedområde eller forskjellig hovedområde.

Fra våren 2011: Alle oppgavene i Del 2 skal kunne løses ved hjelp av den ”klassiske” grafiske kalkulatoren (fra R94). Forutsetning for innføring av todelt modell. MEN: Alle digitale verktøyer tillatt å bruke, inkludert f.eks. CAS og dynamisk geometriprogram Alternativ I og alternativ II-oppgavene fjernes. Alle elevene skal besvare alle oppgavene Vanskegrad, arbeidsmengde, tema, tidsaspekt og valg av alternativ. Problematisk oppgaveformat.

Digitale verktøy … R94: LK06:

Aktuelle digitale verktøy ved sentralt gitt skriftlig eksamen i videregående opplæring Grafisk kalkulator Dynamisk geometriprogram Graftegner Regneark CAS Statistikk Word MathType

Dynamisk geometriprogram GeoGebra Geonext CabriGeometer´Sketchpad

CAS TI-Nspire (Texas)Classpad (Casio) wxMaxima WolframAlpha algebra.help Calc101 Wolfram Integrator + mange flere

Én plattform – mange applikasjoner Tre eksempler ”GeoGebra” CAS Regneark Statistikk Dynamisk geometriprogram Graftegner ”TI-Nspire” CAS Regneark Statistikk Dynamisk geometriprogram Graftegner ”Classpad” CAS Regneark Statistikk Dynamisk geometriprogram Graftegner

”Classpad” CAS Regneark Statistikk Dynamisk geometriprogram Graftegner ”TI-Nspire” CAS Regneark Statistikk Dynamisk geometriprogram Graftegner ”GeoGebra” CAS Regneark Statistikk Dynamisk geometriprogram Graftegner eller

CAS og det matematiske språket

Skal vi bevise vha dynamiske løsninger og ”glidere” eller vha matematisk resonnement?

Matematiske ferdigheter og CAS Før elevene lærer å gjøre slik i CAS … bør de først klare oppgaven uten CAS:

Før elevene lærer dette i CAS… diff(4/sqr(3x-4),x) -6/(3x-4)^(3/2) bør de mestre dette først:

TIMSS 2008 Advanced

Bruk av grafisk kalkulator Formuleringa ”finn” inneber valfri framgangsmåte. I denne oppgåva er det tilstrekkeleg med skisse og forklaring på kva ein har gjort på grafisk kalkulator. Eg teiknar grafen til på kalkulatoren ved å bruke GRAPH, leggje inn uttrykket og velje DRAW. Eg bruker G-SOLV og MAX og finn at grafen har eit toppunkt i Skisse av grafen: Talet på personbilar auka raskast i slutten av Auken var då på ca bilar per år.

Bruk av formeleditor Eg bruker cosinussetninga for å rekne ut vinkelen.

Bruk av CAS Eg set først opp ei forholdslikning for å finne ut kor mange euro 1 liter (1000 mL) kostar. Eg løyser så likninga ved hjelp av digitalt verktøy. Ein liter kostar 12,5 euro. Eg bruker cosinussetninga for å rekne ut vinkelen. Eg set opp ei likning som eg løyser ved hjelp av digitalt verktøy. Vinkelen mellom AB og AC er ca. 25,7°.

Bruk av CAS Bil A har akkurat stoppet ved muren. Avstanden fra der bilene bremser og fram til muren er derfor 13 meter. Bil B har da ca. 5,7 meter igjen før den ville stoppet. Jeg bruker samme likning igjen og regner ut farten når Dette viser at bil B vil ha en fart på ca. 33 km/t når den treffer muren.

Bruk av CAS på Del 2 (”Bestem ved regning”)

Bruk av CAS på Del 2 (”Finn ved regning”) NB! Matematisk notasjon er viktig!

Bruk av Geogebra Først teiknar eg figuren i eit dynamisk geometriprogram. Eg definerer punktet C som eit punkt på BE og punktet D som eit punkt på AE. Så trekkjer eg linjene AC og BD og prøver meg litt fram. Eg flyttar punktet C frå E mot B, samtidlig som eg måler avstanden AC. Sjå ”spor endringar” med raudt. Eg flyttar punktet D frå E mot A og måler BD på same måte. Sjå ”spor endringer” med blått. Eg ser då at AC blir den lengste rette linja når C har komme så nær B at linja AC går gjennom F. Denne linja blir då ca. 7,8 m. Den lengste linja som kan trekkjast, er ca. 7,8 m.

Bruk av Geogebra

Bruk av Geogebra (konstruksjon) Geogebra sidestilles med passer og linjal i konstruksjon Det som synes i klassisk konstruksjon skal også synes i Geogebra (for eksempel må hjelpelinjer og sirkler synes ved konstruksjon av en normal) Vi skiller mellom ”tegning” og ”konstruksjon”

Bruk av Geogebra Her er det krav til utskrift av graf med forklaring. Husk navn på aksene. Jeg bruker graftegner og finner stigningstallet til den rette linja mellom punktene (0, ) og (35, ). Stigningstallet er

Bruk av regneark

Digitale verktøy Tross alt begrenset verktøy En krykke – dersom vi ikke kan regne ut noe selv. Hvordan kan vi vurdere svarene som digitale verktøy gir oss? En stige – regne tidkrevende oppgaver slik at vi kommer oss videre Pedagogisk verktøy Presentasjonsverktøy

Digitale verktøy Digitale verktøy kan ikke lese eller forstå et matematisk problem for deg Digitale verktøy kan gjøre utreginger, men bare under kyndig hjelp Digitale verktøy kan ikke lage hjelpe- skisser, men fine tegninger til slutt Digitale verktøy er fine tjenere, men elendige herrer

Lese en matematisk tekst Formelmanipulasjon og regneferdighet Kunne følge et matematisk argument Begrepsforståelse Modelleringskompetanse Kunne lage og tolke hjelpefigurer og skisser

Matematisk ferdigheter Grunnleggende tallregning og algebra Formelapparat Kunne derivere sammensatte uttrykk Gjenkjenne standardtemaer Se sammenhengen mellom figur og formel

Begrepsforståelse Formell definisjon og intuitiv idé Tolke begrepet i praktiske situasjoner Samspill med andre begreper Forstå og eksperimentere med nye begreper Forståelsen av et begrep blir stadig utvidet av nye erfaringer

Forstå og lage modeller Lage gode og informative skisser Tolke begreper i konkret sammenheng Kunne stille opp likninger Kunne gjenkjenne en modell som et matematisk objekt Kunne tolke svaret i modellen

Forståelse Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Vår 2010 Du får vite følgende om en trekant ABC:  Vinkel B er 90 .  Tangens til vinkel A er 1. Lag en figur og forklar hvordan denne trekanten kan se ut. Eksempeloppgave til MAT1013 Matematikk 1T 2009

Bruk av CAS på Del 2 (”Regn ut …”)

Bruk av CAS på Del 2 (”Bestem ved regning”)

Bruk av CAS på Del 2 (”Finn ved regning”) NB! Matematisk notasjon er viktig!

Problemløsning

Løsning vha. CAS: MEN: Uten forståelse av begrepene og av hva problemet går ut på, er CAS til liten hjelp.

Vurderingsveiledningen Modell Innhold – Del 1 og Del 2 Formelle krav Om digitale verktøy Vurderingsprinsipper Kjennetegn på måloppnåelse Fra våren 2011: Ingen alternative oppgaver på Del 2 Standarder for måleenheter og annen notasjon

Dokumenter i vurderingen

Læreplanen i faget St.meld. 30 ( ) Grunnlag: Beskriver kvaliteten på elevens mestring på tre nivåer i 14 fagkoder i matematikk Gi ikke alle svar, men skal hjelpe sensor i den avsluttende vurderingen

Generelle og internasjonalt anerkjente prinsipper for å beskrive matematikk- kompetanse (Mogens Niss) Bakteppe: Knowledge & Understanding Reasoning & Applications Overordnede mestringsbeskrivelser av denne typen vanlig internasjonalt: Eks.: PISA, TIMSS, Danmark, Sverige

Vurderingsveiledningen for matematikk Kjennetegn på måloppnåelse (”vurderingsmatrisen”) ”Denne hjelper meget godt i en helhetsvurdering av eksamensbesvarelsen” Sensor våren 2010

Veiledninger Mål: Konsistent vurdering i alle dokumenter og ved sensuren. Rettferdig sensur

Takk for oppmerksomheten!