Peskin artikkel Filosofi: Hjerteveggen kan modelleres som en sammensetning av inkompressibel væske, med samme viskøsitet og massetetthet som blod og en bærende struktur av uendelig tynne kontraktile/ elastske fibrer. No-slip betingelsen på fibrene gir at væsken imellom fiberlagene har samme hastighet som fibrene. Begrunnelse: Hjertemuskelen og vevet er nøytralt flytende i blod. Hjertemuskelen er inkompressibel.

Navier-Stokes ligninger: ¶ u r ( + u × Ñ u ) + Ñ p = m Ñ 2 u + F ¶ t Ñ × u =

Krafttetthet fra fibrene på væsken ¶ f = ( T τ ) ¶ s ¶ X T = s ( ; q , r , s , t ) ¶ s ¶ X ¶ s τ = ¶ X ¶ s

Sammenheng mellom kartesiske og kurvelineære koordinater òòò F ( x , t ) = f ( q , r , s , t ) d ( x - X ( q , r , s , t ) ) dq dr ds ¶ X ( q , r , s , t ) = u ( X ( q , r , s , t ), t ) ¶ t ò = d - u ( x , t ) ( x X ( q , r , s , t )) d x

Numerikk Starter med fiberkonfigurasjon X og hastighetsfelt u kjent. 1) Finner f ved finite difference metode. 2) Diskretisering av f gir F. 3) Numerisk integrasjon av Navier-Stokes gir oppdatering av u. 4) Diskretisering av u gir oppdatering av X. Diskusjon: Fibertetthet 8 per volumelement. Numerisk sjekk på at massen er bevart i hjertemuskelen.

Torus Ifølge Streeter et al. består det kontraherende element i hjerteveggen i venstre ventrikkel av en samling toruser inni hverandre som muskel fibrene er spunnet rundt. Modellering: 1) Torus med elastiske fibrer. 2) Torus med elastiske og periodevis kontraktile fibrer. 3) Fibergeomtri av aorta klaffen / hjertevegg. 4) Diskusjon av metoden i sin helhet.

Torus med elastiske fibrer Aksial symmetrisk sirkulær torus. Fibrene går da en gang rundt hovedaksen og 3 ganger rundt lilleaksen. 2 lag med fiber som går i forskjellige retninger. Volumet inne i torusen er satt under et visst trykk slik at fibrene er under spenning. Det viser seg at det finnes en likevekt for torusen som gir en bestemt lille radius og en store radius. En forstyrrelse blir påført sylinderen initielt og det oppstår oscillasjoner som følge av elastitet i fibrene.

Hastighetsfelt i 3 koordinatplan. 643 grid og 2-8 tidsintervall. Trykkfelt i 3 koordinatplan. 643 grid og 2-8 tidsintervall.

Numerisk sjekk Volum tap gjennom hver av veggene 0.5 %. Sammenligner en 323 (2-7 tidsintervall ) grid med 643 (2-8 tidsintervall) grid og 643 grid med et 1283 (2-9 tidsintervall) grid. Avtagende differanse tyder på konvergens.

Torus med elastiske og periodevis kontraktile fibrer Samme fiberkonfigurasjon som i tilfellet over. s ( q , t ) = S ( t )( q D s - R ( t )), r ³ R ( t ) k k k k = , r £ R ( t ) k X - X q = k + 1 k D s R ( t ) = R ( 1 - a ( t - q c ) b ( t )) k k k a ( t ) = a *, < t < T S a ( t ) = , T < t < T = T + T S S D

Resultater *=0.25 *=0.625 Trykkfelt Hastighetsfelt

Innfører et roterende koordinatsystem som følger bølgen. Hastighetsfelt Partikkel baner Streaklines = streamlines

Partikkel bevegelse på 4 stasjoner lokalisert 90º i fra hverandre. Strømning på 4 stasjoner lokalisert 90º i fra hverandre.

Aortaklaffen For å få en mest mulig realistisk modell er fibrene i størst mulig grad bestemt av en trykk og spenningsbalanse (+ randbetingelser). Aorta klaffen 3 segl som dekker 120º av blodåren. Formen på disse seglene ligner en brystlomme. Vevet er et lag av fiber med konstant tykkelse. Fibrene går fra 3 knutepunkter lokalisert hvor de frie rendene på seglene møtes.

Matematisk formulering q s 2 2 ¶ ¶ æ X ö æ ¶ X ¶ X ö òò + ´ ç T ÷ p ç ÷ ds dq = ¶ s è ¶ ø s ¶ s ¶ è q ø q s 1 1 ¶ ¶ X æ ¶ X ¶ æ ö X ö + ´ = ç T ÷ p ç ÷ ¶ s è ¶ s ø ¶ è s ¶ q ø

Konsekvenser T = T(q) Fibrene er geodesiske på seglene. Kurvene s = konstant og kurvene q = konstant former et ortogonalt nettverk.

Numerisk integrasjon Basert på Buttke metode. Singularitet i midten Leder til fraktal mønster. Kabelmønster. Kablene ligger på aorta siden av seglet. Meget god tilnærming av virkelighet.

Fiberkonfigurasjon Generelt bygd på Thomas og Streeter et al. Fibrene er modellert som geodesiske kurver på flater som reprensenterer muskelfiberlagene. Fibrene i aorta- og pulmonalklaffen er bestemt av trykk og spenningsbalanse (+ rand betingelser). Sources og sinks: De store blodårene i modellen. Referanse trykk på utsiden av hjertet.

Modellen Modellen er ”anatomisk komplett”: Venstre og høyre ventrikkel, venstre og høyre forkammer, mitral-, aorta-, tricuspidal- og pulmonalklaffen, superior og inferior vena cavae, 4 pulmonal vener, aorta og pulmonal arterien.

Fysiologiske parametre til hjertet Alle fysikalske parametre er fysiske bortsett fra viskositet. Viskositeten er multiplisert med en faktor 25. Reynolds nummeret er redusert med en faktor 25. Griddet er enda ikke finkornet nok (1995) til å ta i betraktning de turbulente strømningene som forekommer i hjertet.

Resultater Snitt gjennom midten på venstre ventrikkel ved 3 tidspunkt. Aortaklaff til høyre og mitralklaff til venstre.

Aortaklaffen

Animasjoner Muskelfibrene i hjertemuskelen. Lilla: Mitralklaffen Gul: Aortaklaffen Rød: Blodstrøm gjennom aorta klaffen (venstre) og mitralklaffen (høyre). Blå: Tilsvarende.