Dimensjonsanalyse og modelllover II NTNU 2005 Ø. Arntsen SIG0570 2003

Treghetskraft og andre krefter Forskjellige typer krefter virker på et væskeelement Sum av krefter = ma (treghetskraften) Treghetskraften vil alltid opptre Gjør andre krefter dimensjonsløse ved å skalere med treghetskraften Størrelsene av kraftforholdene i et gitt problem indikerer hvilke krefter som dominerer i problemet Et strømningsproblem vil alltid være knyttet til verdier av en tetthet r , en fart V og en lengde l.

Likedannethet ved modellforsøk Geometrisk likedannhet Likedannethet i dimensjoner og form Kinematisk likedannhet Likedannethet av bevegelse, strømningsmønster etc Dynamisk likedannethet Likedannethet av krefter

Typiske krefter i en væske Treghetskrefter for et lite væskevolum er knyttet til dets akselerasjon. Endringer i farten ettersom partiklene flytter seg langs en strømlinje V dV/ds  V2/l ganger med massen l3 og får treghetskraften: V2l2 Viskøse krefter Skjærspenningen : =  V/y   V/l ganges med en flate A=l2 som har med legemets dimensjoner å gjøre. Viskøse krefter:   l2   Vl

Forholdet mellom treghets- og viskøse krefter Forholdet mellom treghetskraft og viskøs kraft: (V2l2)/(  Vl) = (Vl)/  dvs. videre lik: Vl/  = Re Altså Reynolds tall, nå med lengdedimensjonen l

Forholdet mellom treghets- og vekt (tyngden) Forholdet mellom treghetskraft og vekt: (V2l2)/( gl3) = V2/ gl Vanlig å ta kvadratroten: V/ (gL)0.5= Fr Dette er Froudes tall

De forskjellige kreftene kraft parameter dimensionsløs Masse (treghet) ___r___ Viskositet ___m___ __Re____ Tyngde ___g___ __Fr____ Trykk ___Dp___ __Cp____ Overflatespenn ___s___ __We____ Elastisitet ___Ev___ __Ma____

Uttrykk for de enkelte dim.løse tall Reynolds Number Froude Number Trykkoeffisienten Weber Number Mach Number c er lydhastighet i væska

Dynamisk likedannethet Froude, Reynolds, Mach, Weber og Cp tallene må ha samme verdi i modell som i fullskala Dette viser seg umulig, vi må velge det som representer kraften som er dominerende i problemet og skaler tilsvarende. Dersom tyngden er viktigst må (Fr)m =(Fr)p bli skaleringsloven – Froude skalering.

Froude skalering Froude tall samme i modell (m) og i prototyp (p) Vanskelig å endre g Definer lengdeforholdet (vanligvis større enn 1) hastighetsskala tidsskala Vassføringsskala kraftskala

Reynolds og Froude likedannethet samtidig? Vann er eneste praktiske væske Altså kun mulig i fullskala Lr = 1

Oppsummering skaleringslover Parameter Dimension Reynolds Froude Lende Areal Volum L L2 L3 Lr (Lr)2 (Lr)3 Tid Fart Akselersajon T LT-1 LT-2 L3T-1 (Lr)-1 (Lr)-3 (Lr) (Lr)1/2 1 (Lr)5/2 Masse Kraft Trykk Impuls Energi og arbeid Effekt M MLT-2 ML-1T-2 MLT-1 ML2T-2 ML2T-3 (Lr)-2 (Lr)2 (Lr) (Lr)-1 (Lr) (Lr)7/2 (Lr)4 (Lr)7/2