-bruksområder og egenskaper Funksjoner -bruksområder og egenskaper

Sentralt ved selve funksjonsbegrepet er at en størrelse avhenger av en eller flere andre størrelser. Hverdagseksempler: Nettsted som funksjon av adresse Klesstørrelse; buksestørrelse som funksjon av lengde og bredde Smak; som funksjon av ulikt pålegg Mobilregning: minuttpris som funksjon av abonnement Areal: areal av en gulvflate er avhengig av gulvets lengde og bredde.

Har vi brukt dem før? Gruppeeksamen; Flisleggingen skal utføres av håndverker. Håndverkeren koster 400 kr per time, og det anslås at jobben vil ta 8 timer. Dere får valget mellom to tilbud:   •  Billige hvite fliser til 99 pluss arbeid. •  Eksklusive sorte fliser til 500, og velger du disse tilbyr nå leverandøren at en lærling gjør arbeidet gratis. Hvilket tilbud lønner seg for akkurat deres hyttebad ? Hvor stort/lite må et bad være for at det ene eller andre tilbudet skal lønne seg? Besøkssenteret: volum og areal

Vi ender opp med å dele inn i 4 bruksområder for bokstavene: Identiteter: To algebraiske uttrykk kan være like; dvs at de får samme verdi hvis vi setter inn en verdi for bokstavene. (omgjøringer av uttrykk) Likninger og ulikheter: Bokstaver brukes som symbol for ukjente størrelser. Formler: Bokstaver brukes som symbol for variable størrelser. Formlene beskriver lovmessighet og struktur i naturen. Funksjonsuttrykk: Bokstaver brukes i regneuttrykk som viser funksjonssammenhenger Eks: y er en funksjon av x her: y = 4x

L06: Kompetansekrav etter 10.klasse Funksjoner: Mål for opplæringen er at elven skal kunne lage, på papiret og digitalt, funksjoner som beskriver numeriske sammenhenger og praktiske situasjoner, tolke disse og oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner. Identifisere og utnytte egenskapene til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og enkle kvadratiske funksjoner, og kjenne disse funksjonenes tilknytning til praktiske situasjoner.

Grunnlaget legges på småskole- og mellomtrinn ”Det var 5 mennesker på en buss. Så kom det på 2 (3, 4, 5....) til. Hvor mange var det nå på bussen?” f(x) = 5 + x (kontinuitet) Funksjonsmaskiner; husker du roboten?

Modellering = å lage en matematisk modell av en virkelig situasjon Bordfunksjonen

De 8 kompetansene som testes på de nasjonale prøvene: Tankegangskompetanse/ Resonnementskompetanse Kommunikasjonskompetanse Modelleringskompetanse Problembehandlingskompetanse Hjelpemiddelkompetanse Representasjonskompetanse/Symbol- og formalismekompetanse Mogens Niss, Danmark Se mer på Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

Hva betyr det å ha modelleringskompetanse? Å kunne matematisere en situasjon; dvs. å kunne oversette situasjonen til et matematisk språk med matematiske problemstillinger, med nødvendige symboler og matematiske uttrykk. Deretter må man kunne behandle funksjonsuttrykket, avklare hvilke forutsetninger som gjelder for at modellen skal kunne brukes og være gyldig Kunne diskutere modellen med andre og sammenlikne med andre modeller Altså krever denne kompetansen at man klarer å analysere modellen på en kritisk måte . Kilde: Mona Røsseland ”Hva er matem. Kompetanse?” Tangenten 2/2005

Funksjonstyper vi må kjenne: Lineære funksjoner Proporsjonale og omvendt proporsjonale funksjoner Polynomfunksjoner Eksponentielle funksjoner

Lineære funksjoner Eks. Mobilkostnader: K(m) = 2m + 0,50 (kontinuitet) f(x) = ax + b a er stigningstallet som forteller hvor mye funksjonsverdien øker for hver økning av x b er konstantleddet som er uavhengig av x-verdien.

Generelt for alle funksjoner: x er en uavhengig variabel f(x) eller y er en avhengig variabel Funksjoner kan i tillegg til variabler ha parametre (eks. a og b i lineære funksjoner) Når funksjonen er bestemt er parametrene blitt reelle tall. Eks. Volum av terning

Definisjonsmengden til funksjonen er mengden av alle verdier som den uavhengige variabelen (x) kan ta. Eks. Mobilkostnader Verdimengden: Mengden av verdier som den avhengige variabelen y (f(x)) kan ta. Funksjonsforskrift: Når x-verdi er gitt, bestemmer funksjonsforskriften (eller funksjonsuttrykket) entydig hvordan vi skal finne funksjonens verdi. Men to eller flere x-verdier kan gi samme f(x)-verdi! (pildiagram)

Hva skjer når funksjonen ikke gir en lineær graf? Humør som funksjon av tid... Tegn opp en graf som viser humøret ditt som funksjon av tid på dagen. Bytt med naboen og prøv å avtolke hverandres graf.

Proporsjonale og omvendt proporsjonale funksjoner Eks. Rekeprisen er 100 kr/kg f(x) = 100x Slik direkte proporsjonalitet er et spesialtilfelle av lineære funksjoner. Omvendt proporsjonalitet: Eks. Fart/vei/tid: t = s/v, t = 100/v Ikke definert for x=0 ! (graf: hyperbel)

Polynomfunksjoner 2.gradspolynomer: Kvadratisk vekst (areal) (parabler) 3.gradspolynomer:

Eksponentielle funksjoner Eks. Sparing i bank Setter inn 1000 kr med 5% rente. Generelt:

De ulike representasjonsformene: Situasjon Tabell Graf Funksjons-uttrykk S - T S - G S – F T - S T - G T – F G - S G - T G – F F - S F - T F - G

Misoppfatninger av funksjonenes ulike representasjoner Elevene tolker grafen billedlig (klarer ikke abstraksjonen) transparant tid/avst.hjemmefra + flaggheising+ sport Problemer med å tolke at grafen viser sammenheng mellom to variable. Transparant ringetid vs pris.

Vi tror ofte at grafer letter forståelsen – det er ikke alltid tilfelle! Lærerens hovedutfordring: Legg til rette for arbeid som involverer alle representasjonsformene, og de ulike overgangene mellom dem!