Kombinatorikk og sannsynlighet Mye av innholdet er hentet fra ”Grunnleggende matematikk i skoleperspektiv” av Arne Hole

Kombinatorikk Dreier seg om å telle kombinasjonsmuligheter Eks. Anta at du har Tre forskjellige bukser: En svart, en blå og en oransje Fire forskjellige skjorter: En hvit, en gul, en lilla og en rød Hvor mange ulike antrekk kan du da sette sammen?

Valgtre Vi kan illustrere mulighetene man har, ved et valgtre Starter med buksene For hver bukse er det 4 muligheter med skjorter 4 + 4 + 4 = 3 · 4 = 12 Tenk at du i tillegg har hvite og sorte sokker og velge mellom Hvor mange kombinasjoner har du da? 3 · 4 · 2 = 24 Konklusjon: Når du skal gjøre et valg som består av flere ”trinn”, så finner du antall mulige valg ved å gange sammen antall valg du har i hvert av trinnene

Oppgave Du skal sette sammen et antrekk som består av en genser, et skjerf, en lue og en bukse. Du kan velge blant 2 gensere, 3 skjerf, 2 luer og 7 bukser. Hvor mange kombinasjonsmuligheter har du?

Oppgave På hvor mange måter kan 3 mennesker stille seg i kø etter hverandre?

Anne, Berit og Charlotte (A,B,C) Hvor mange rekkefølger kan man skrive opp disse bokstavene? 3 · 2 · 1 = 6 Tenke slik: Den som skal stå forrest i køen, kan velges på 3 måter. Etter at det er gjort, kan nestemann velges på 2 måter (vi har brukt opp en allerede). Den siste kan kun velges på en måte.

Oppgaver På hvor mange måter kan 5 mennesker stille seg i kø? Hvor mange ord kan du lage med bokstavene ABCDEFG? (Ordene behøver ikke bety noe)

Fakultet! En egen notasjon for å uttrykke antall rekkefølger et visst antall objekter kan plasseres i 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 n! = n(n - 1)(n – 2) · · · 3 · 2 ·1

Antall ordnede utvalg Når rekkefølgen spiller en rolle Eks. En klasse på 20 har skirenn. Det skal deles ut 3 medaljer: gull, sølv og bronse. Hvor mange ulike medaljefordelinger kan de få? Tenke slik: Først velger vi gullvinneren (20 måter) Så velger vi sølvvinneren (19 måter) Til slutt velger vi bronsevinneren (18 måter) Totalt ant. kombinasjoner: 20·19·18 = 6840

Antall uordene utvalg Når rekkefølgen ikke spiller noen rolle Eks. Samme klassen med 20 elever skal velge ut 3 til å delta i en konkurranse. Det skal ikke være noen leder eller noe slikt. Rekkefølgen de blir valgt ut i spiller altså ikke noen rolle. Hvor mange slike utvalg finnes det?

Løsning La oss tenke oss at elevene som velges ut heter Per, Tone og Line Vi begynner med å tenke som med medaljene. Første elev kan velges ut på 20 måter, andre på 19 måter og tredje på 18 måter. 20·19·18 kombinasjoner. Men dette blir for høyt, for kombinasjonene PTL, PLT, LTP, LPT, TLP og TPL er alle de samme elevene! Disse seks kombinasjonene skal regnes som ETT og SAMME utvalg Spørsmålet er altså hvor mange ganger Per, Tone og Line regnes om igjen i antallet 20·19·18? Jo, det svarer til hvor mange rekkefølger vi kan plassere de i! Altså 3·2·1 = 6 Antallet uordnede utvalg blir

Sannsynligheter Eksperimentell sannsynlighet Teoretisk sannsynlighet Relativ frekvens Eks. kaste terning 100 ganger. Får fire 14 ganger: 14/100 = 0,14 = 14 % Teoretisk sannsynlighet

Sannsynligheter Aktuelt å bruke der det foregår en prosess som kan resultere i flere ulike utvalg, og der vi på forhånd ikke greier å si hva utfallet vil bli Regnes som tall mellom 0 og 1, der sannsynligheten 0 betyr at utfallet ikke vil forekomme, og sannsynlighet 1 at utfallet helt sikkert vil forekomme 0,5 = 50% sannsynlighet

Sannsynligheten til et utfall u skrives p(u) p = probability

Oppgave Kast av terning. 6 mulige utfall. p(1) = p(2) =…= p(6) = 1/6 Alle de 6 utfallene har altså sannsynligheten 1/6 Merk at summen av alle de mulige utfallene av prosessen må være 1:

Begivenhet Begivenhet = en hendelse med mer enn ett enkeltutfall Eks. Hva er sannsynligheten for å få ”enten 5 eller 6”? Begivenhet skrives A Vi finner sannsynligheten til begivenhet A (skrives P(A) – bruker stor bokstav for å skille mellom begivenheter og enkeltutvalg) ved å summere sannsynlighetene til alle utfallene som medfører begivenheten A A = {5,6} P(A) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Beregning av sannsynligheter Metoden med ”gunstige på mulige” Trinnvis utregning av sannsynligheter

”Gunstige på mulige” Kan kun brukes i de situasjonene hvor alle enkeltutfallene har samme sannsynlighet Kan da finne sannsynligheten for P(A) for en begivenhet A ved formelen:

Trinnvis utregning av sannsynligheter Kan benyttes når prosessen vi ser på, består av flere ”trinn” Vi finner da sannsynligheten for begivenheten vår ved å gange sammen sannsynlighetene for hvert trinn vi må gå gjennom for å komme frem til begivenheten Denne metoden kan også kalles den kombinatoriske metoden

Oppgave Kast med rettferdig terning Finn sannsynligheten for følgende begivenheter: Vi får fire eller høyere Vi får verken 5 eller 6

Union Antall utfall som er med i A eller B

Disjunkte hendelser Ingen ”overlappende utfall” A

Uavhengige hendelser Et utfall påvirker ikke et annet Eks. skal kaste en terning to ganger Hva er sannsynligheten for å få 6 to ganger på rad Produktsetningen for uavhengige hendelser (1/6 · 1/6 = 1/36)