Vektorfelt

Vektorfelt Innledning Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i rør, blodårer, hjertekamre - Varmestrøm - Transmisjonskabler - Gravitasjon - Elektromagnetisme - Mobilkommunikasjon - Statistikk - … Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Vektorfelt Innhold Linje-integral Vektorfelt, arbeid, sirkulasjon of fluks Vei-uavhengighet, potensial-funksjon, og konservative felt Flate-integraler og flate-areal Parameteriserte flater Greens teorem Stokes teorem Divergens teorem

Vektorfelt Def Et vektorfelt er en funksjon som til hvert punkt i sitt domene (def.mengde) tilordner en vektor Værkart Væskestrøm Flyvinge Gravistasjonsfelt Skrått kast Elektrisk / Magnetisk felt Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Vektorfelt Maxwells ligninger Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Kurve-integral Def C en kurve i rommet b z C en kurve i rommet r = r(t) en glatt parameterfremstilling av kurven C f en kontinuerlig funksjon på C C a r(t) y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Hvis f er massetetthet, så beregner vi massen av kurven Hvis f er lik 1, så beregner vi lengden av kurven

Kurve-integral Eks 1 En glatt parameterisering av C z En glatt parameterisering av C (1,1,1) C y x Integrer f(x,y,z) = x – 3y2 + z over linjesegmentet C som forbinder origo med punktet (1,1,1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Kurve-integral Eks 2 Finn massen av wiren r(t) = [t,t2] t  [0,2] y C x Finn massen av wiren r(t) = [t,t2] t  [0,2] Massetettheten er (x,y) = 2x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Kurve-integral Masse - Massesenter - Treghetsmoment Første moment om koordinatplan Massesenter Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Treghetsmoment Gyrasjonsradius

Kurve-integral Massesenter - Eks Bestem massesenteret til en halvsirkel-periferi y2+z2 = 1 z  0 Massetettheten er gitt ved: (x,y,z) = 2 - z Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Innledning F s F s F ds F C dr r Konstant kraft i samme retning som rettlinjet forflytning s F Konstant kraft danner en konstant vinkel med rettlinjet forflytning s F Varierende kraft danner en varierende vinkel med rettlinjet forflytning Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. ds F C Varierende kraft danner en varierende vinkel med forflytning langs en kurve dr r

Arbeid Def F T C dr r Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Alternative former F = [ F1, F2, F3 ] T C dr r = [ x, y, z ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 1 - Alternativ 1 z En glatt parameterisering av C (1,2,3) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 1 - Alternativ 2 z En glatt parameterisering av C (1,2,3) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 1 - Alternativ 3 z En glatt parameterisering av C (1,2,3) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 2 - Alternativ 1 En glatt parameterisering av C z (1,1,1) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ] langs kurven r(t) = [ t, t2, t3 ] 0 t 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 2 - Alternativ 2 En glatt parameterisering av C z (1,1,1) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ] langs kurven r(t) = [ t, t2, t3 ] 0 t 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Strømning og Fluks 2D - Innledning C T Studier av et vektorfelt F i retning langs enhetstangentvektoren T F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks C F Studier av et vektorfelt F i retning langs enhetsnormalvektoren n n

Strømning 2D - Def F representerer et kontinuerlig vektorfelt r en glatt parameterisering av C F Strømning T C dr r Strømningen S kalles en sirkulasjon hvis kurven C er lukket Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C

Strømning 2D - Alternative former F representerer et kontinuerlig vektorfelt r en glatt parameterisering av C F Strømning T C dr r Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fluks 2D - Def F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C k C Fluks i retning n T n F Fluks beskriver feltlinjers krysning med en kurve C. Når positiv retning på C er valgt ( T ), bestemmes positiv fluks ved at feltlinjene har komponent i retning av enhetsnormalen n gitt ved: n = T x k Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fluks 2D - Alternative former F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C k C T n F Fluks beskriver feltlinjers krysning med en kurve C. Når positiv retning på C er valgt ( T ), bestemmes positiv fluks ved at feltlinjene har komponent i retning av enhetsnormalen n gitt ved: n = T x k Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks i retning n

Fluks 2D - Lukket kurve F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C C k T n F Med definisjon av fluks, ser vi at for en lukket kurve i xy-planet med positiv omløpsretning mot urviseren, vil enhetsnormalen n alltid peke ut av det omsluttede kurve-området. Dermed vil nettofluksen som krysser kurven være positiv når det går mer fluks ut enn inn av det omsluttede kurve-området. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks i retning n

Strømning - Fluks 2D - Oppsummering C T Strømning F F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks F k C T n F

Strømning Eks: Flytting av partikkel i tyngdefelt g Tyngdefelt (tyngdeakselerasjon) m Masse av partikkel som skal flyttes g T s Vektorfelt: C Arbeid utført av tyngdefeltet ved flytting av partikkelen over en strekning s av linjestykket C: g T C Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C s g g T Strømning: Arbeid utført av tyngdefeltet ved flytting av partikkelen langs kurven C

Strømning Eks: Flytting av ladning i elektrisk felt E Elektrisk felt q Ladning på partikkel som skal flyttes E T Vektorfelt: s C Arbeid utført av det elektriske feltet ved flytting av den ladde partikkelen over en strekning s av linjestykket C: E T s C Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. E ds Strømning: Arbeid utført av det elektriske feltet ved flytting av partikkelen langs kurven C T C

Fluks Eks: Vannmengde som passerer en linje / kurve C v Vannhastighet  Vanntetthet (masse pr areal) s v Vektorfelt: l = vt Vannmengde som pr tidsenhet passerer over en strekning s av linjestykket C: v C s n l = vt Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. v C n ds Fluks: Vannmengde som pr tidsenhet passerer en kurve C

END