Interest Rates Chapter 4

Ulike renter Kapitlet gir en oversikt over ulike beregningsmetoder for renter. Vi skal bruke dette flere ganger senere. Ulike rentebetegnelser Treasury (sentralbank) renter LIBOR renter Repo renter

Renteregning Fra grunnkurset i finans er de enkle renteregningsmetodene vel kjent Hvis et beløp A plasseres i n år til rente R, er sluttverdi A(1 + R)n Hvis rente beregnes og godskrives m ganger årlig, blir sluttverdien

Kontinuerlig forrentning (Page 83) Hvis antall perioder m går mot uendelig har vi kontinuerlig forrentning. I læreboka brukes gjennomgående kontinuerlig rente. Et beløp A som plasseres i n år til rente R vokser til: AeRn $100 vokser til $100eRT hvis rente R opptjenes kontinuerlig i løpet av T år, for eksempel 100e0.1 = 110.52 i løpet av 1 år $100 mottatt på tidspunkt T er verdt (nåverdi) $100e-RT på tid 0

Formler (Page 83) Definisjoner: Rc : kontinuerlig beregnet rente Rm: samme rente med renteberegning m ganger årlig

Eksempel Anta en årsrente på 10 % med halvårlig renteberegning, dvs. m = 2 og Rm = 0.1 Tilsvarende rente kontinuerlig beregnet er Anta at en långiver opplyser at renten er 8 % kontinuerlig beregnet, mens betaling skjer 4 ganger årlig, dvs. m = 4 og Rc = 0.08. Samme rente med kvartalsvis beregning blir 4(e0.08/4 – 1) = 0.0808 eller 8.08 %

Spotrenter eller Zero Rates En spotrente (zero rate) er en rente som løper fra tidspunkt 0 (nå) og som varer i n år. Beløpet (eventuelt renter og avdrag) betales i år n og det er ingen betalinger i mellomtiden. Rente fra nå av og for eksempel 5 år fram kalles spotrenten for 5 år Vi skal senere se på såkalte terminrenter, som starter et bestemt tidspunkt i fremtiden og som løper et bestemt antall perioder framover, for eksempel rente mellom år 2 og 3.

Obligasjoner En obligasjon er et verdipapir (lån) hvor renten (kupong) betales på bestemte tidspunkt i løpet av lånets løpetid mens lånesummen (pålydende eller face value) betales i sin helhet i siste periode Renten er fast i hele løpetiden, og betales som regel årlig i Norge og halvårlig i USA Det er ingen kredittrisiko på statsobligasjoner og renten på nye lån kan være et godt mål på risikofri rente

http://www. oslobors. no/markedsaktivitet/bondList. newt__menuCtx=1 http://www.oslobors.no/markedsaktivitet/bondList?newt__menuCtx=1.2&menu2show=1.1.3.

Eksempel på statsobligasjonsrente (Table 4.2, page 85)

Verdsetting av obligasjoner La oss anta at en obligasjon med pålydende 100 og kupong 6 % betaler rente halvårlig og at gjenværende løpetid 2 år. Vi finner obligasjonens markedsverdi (kursen) ved å diskontere kontantstrømmen med den aktuelle spotrenten, og vi antar kontinuerlig renteregning:

Bond Yield Bond yield (YTM eller effektiv rente/internrente) er den rente som gjør nåverdien av kontantstrømmen blir identisk med kursen. Vi fikk at kursen var 98.39. Hva blir YTM (kontinuerlig beregnet)? Bond yield finnes ved følgende uttrykk: som gir y = 0.0676 eller 6.76%.

Par Yield Par yield er den kupongrentenen som gir at obligasjonskursen blir lik pålydende (100): I vårt eksempel får vi

Par Yield, forts. Hvis m er antall betalinger pr. år (2), d er nåverdi av 1 når lånet skal innfris (maturity) og A er nåverdi av en annuitet på 1:

Bootstrapping Vi kan finne spotrentene ved å se på kursene på ulike statsobligasjoner. Den mest kjente metoden kalles bootstrapping Vi tar utgangspunkt i et eksempel med 5 ulike statsobligasjoner

Eksempel (Table 4.3, page 86) Bond Time to Annual Bond Principal Maturity Coupon Price (dollars) (years) (dollars) (dollars) 100 0.25 97.5 100 0.50 94.9 100 1.00 90.0 100 1.50 8 96.0 100 2.00 12 101.6

Bootstrap metoden Den første obligasjonen gir en avkastning på 2.5 på en plassering på 97.5 i løpet av 3 mnd. Dette tilsvarer en 3mnd rente som på årsbasis blir (4 x 2.5)/97.5 eller 10.256% Dette tilsvarer 4 ln(1 + 0,10256/4) = 10.127% kontinuerlig beregnet På samme måte blir 6 mnd og 1 års rente 10.469% og 10.536% med kontinuerlig forrentning

Bootstrap, forts. Vi finner 1.5 års rente ved å ta utgangspunkt i obligasjonen med gjenværende løpetid 1.5 år og kupong 8%: som gir R = 0.10681 eller 10.681% På samme måte blir 2-årsrente 10.808%

Beregnede spotrenter (rentekurve) Zero Rate (%) 10.808 10.681 10.469 10.536 10.127 Maturity (yrs)

Terminrenter Terminrenter (forward rate) er renter som starter i fremtiden og som løper i et bestemt antall perioder. Terminrentene ikke observeres direkte, men de kan beregnes ut fra spotrentene, som er kjent

Beregning av terminrenter Table 4.5, page 89 Zero Rate for Forward Rate an n -year Investment for n th Year Year ( n ) (% per annum) (% per annum) 1 3.0 2 4.0 5.0 3 4.6 5.8 4 5.0 6.2 5 5.3 6.5

Beregning av terminrenter Anta at spotrentene for periodene T1 og T2 er R1 og R2 begge kontinuerlig beregnet Terminrenten RF for perioden mellom T1 og T2 er da:

Fremtidig renteavtale (FRA) En fremtidig renteavtale (forward rate agreement – FRA) er en avtale som låser fast renten på et fremtidig lån eller plassering. Som låntaker kan man for eksempel ønske å forsikre seg mot en økning i rentenivået

FRA - Nordea

FRA – definisjoner og eksempel En bedrift X låner penger til bedrift Y for perioden mellom T1 og T2. Vi definerer: RK: Avtalt rente i FRA RF: Terminrente (LIBOR) mellom T1 og T2, beregnet i dag RM: Faktisk rente mellom T1 og T2, observert på tidspunkt T1 L: Beløp i avtalen

FRA – definisjoner Normalt vil X oppnå RM på lånet, men med FRA oppnås den avtalte renten RK Økt (eller redusert) rente pga FRA er RK – RM, som for perioden beløper seg til L(RK – RM)(T2 – T1), som er det samme som at X mottar rente RK og betaler rente RM. For Y blir det motsatt: L(RM – RK)(T2 – T1) Vanligvis skjer oppgjør på T1 og ikke T2, slik at beløpet må diskonteres

FRA pay off For bedrift X er payoff på T1: Og for bedrift Y er payoff det samme med omvendt fortegn

FRA – eksempel 1 Anta at en bedrift kjøper en FRA som gir en fast rente på 4 % i 3 mnd. på en plassering på 100 millioner, med start om 3 år. Da perioden starter, er den flytende renten 4,5 %. Bedriften mottar avtalt rente RK og betaler rente RM som beløper seg til 100 000 000 ● (0.04 – 0.045) ● 0,25 = - 125 000. Siden beløpet betales på forskudd etter 3 år finner vi nåverdi som er – 125 000/(1 + 0,045/4) = – 123 609 Kontantstrømmen til motparten er den samme men med motsatt fortegn

Verdsetting av FRA Hvis RK = RF blir FRA verdiløs Anta at en FRA er satt opp slik at renten man mottar er lik RK og renten man betaler er lik RF , blir verdien av FRA: VFRA = L(RK – RF)(T2 – T1)e-R2T2 Dersom RK er renten man betaler og RF er renten man mottar, blir verdien av FRA: VFRA = L(RF – RK)(T2 – T1)e-R2T2 Legg merke til at RK ,RF og RM uttrykkes med renteberegning tilsvarende T2 – T1 mens R2 uttrykkes med kontinuerlig forrentning

FRA – eksempel 4.3 En bedrift skal motta 6 %, årlig renteregnet, på 100 mill mellom år 1 og 2. Terminrente mellom år 1 og 2 er 5 %, kontinuerlig e0.05 -1 = 0.0512711 og 2-års rente (R2) kontinuerlig beregnet er 4 %. Verdien av FRA blir:

Teorier om rentens terminstruktur Forventningsteori: terminrenter tilsvarer fremtidige spotrenter Markedssegmentering: korte, medium og lange renter bestemmes uavhengig av hverandre Likviditetspreferanse: terminrenter er høyere enn fremtidige spotrenter

Rentekurve Oslo 16 september 10