Kapittel 12: Finansiell risiko Hovedmomenter i kapitlet: Introduksjon til finansiell risiko Beregning av forventet avkastning og standardavvik for risikoutsatte investeringer Investering i aksjemarkedet Markedseffisiens Forventet avkastning og standardavvik for porteføljer Value at Risk

Finansiell risiko Finansiell risiko er knyttet til usikre bevegelser i rentenivå, valutakurser, råvarepriser og verdien på egenkapitalinstrumenter (aksjer)

Risiko og usikkerhet Risiko er situasjoner hvor et utfall ikke er kjent med sikkerhet, men hvor vi kan angi sannsynligheter for hvert utfall Usikkerhet er situasjoner hvor et utfall ikke er kjent med sikkerhet, og hvor det heller ikke er mulig å angi sannsynligheter for hvert utfall Siden sannsynlighetsfordelingen anses kjent, kan risikoen kvantifiseres

Forventet avkastning Du eier to aksjer, aksje A og B, som er anskaffet for henholdsvis kr 200 og kr 150 I neste periode kan kursene enten gå opp eller ned. Sannsynligheten for kursoppgang er 0,55, og sannsynligheten for kursfall er 1 – 0,55 = 0,45 Aksje A: Kursen kan øke til 240 eller falle til 190 Aksje B: Kursen kan øke til 195 eller falle til 135 Forventet kurs aksje A: Kr 240 • 0,55 + kr 190 • 0,45 = kr 217,50 Forventet kurs aksje B: Kr 195 • 0,55 + kr 135 • 0,45 = kr 168,00 Forventet avkastning aksje A: 17,50/200 = 0,0875 eller 8,75 %. Forventet avkastning aksje B: 18,00/150 = 0,0120 eller 12,00 %

Forventet avkastning For aksje A, er følgende avkastningsutfall mulige: Kurs øker til 240: 40/200 = 20 % Kurs faller til 190: -10/200 = - 5 % For aksje B, er følgende avkastningsutfall mulige Kurs øker til 190: 45/150 = 30 % Kurs faller til 135: - 15/150 = - 10 % Forventet avkastning:

Varians og standardavvik Risikoen til en plassering kan beskrives med avkastningens varians eller standardavvik:

Aksje A og B – oppsummert

Investeringer i aksjemarkedet Kan investorer konsekvent ”plukke vinnere” eller oppnå høyere avkastning enn markedet generelt? Viktig begrep – markedseffisiens: Markedet er svakt effisient hvis prisene (kursene) reflekterer alle historiske prisbevegelser. Investorene kan da ikke oppnå høyere avkastning enn markedet generelt ved å analysere historiske kurser (teknisk aksjeanalyse). Halvsterk effisiens innebærer at i tillegg til historiske data, reflekterer kursene også all tilgjengelig offentlig informasjon. Sterk effisiens utvider informasjonsinnholdet ut over det som kreves for halvsterk effisiens ved at prisene reflekterer all informasjon, enten den er offentlig eller privat.

Frontline – positiv trend?

Norsk Hydro – aksjekurs februar 2005

Norsk Hydro – daglige kursendringer februar 2005

Hvordan måle avkastning? Avkastning må alltid uttrykkes relativt (%) Oftest brukes aritmetisk avkastning, men det blir mer vanlig å bruke logaritmisk avkastning (logavkastning) Kursen på Norsk Hydro aksjen økte fra kr 493 (Pt = 493) til 496 den 2. februar 2005 (Pt+1 = 496) Aritmetisk avkastning:

Hvordan måle avkastning? Anta at du kjøper en aksje for kr 100, og de påfølgende dager endres kursen til 110 og tilbake til 100 Avkastning første dag: 10/100 = 10 % Avkastning andre dag: - 10/110 = - 9,09 % Avkastningene summerer seg ikke til 0, selv om avkastningen åpenbart er 0 Et alternativ er å beregne logavkastning, som er definert som:

Logavkastning Viktige egenskaper ved logavkastningen Logavkastningen er additiv, det vil si at vi kan addere for eksempel daglig avkastning for å finne total avkastning Logavkastning er noe lavere enn aritmetisk avkastning, fordi det er forutsatt kontinuerlig forrentning

Empirisk varians og standardavvik For å illustrere risiko ved investering i aksjemarkedet, beregner vi empirisk varians og standardavvik

Empirisk varians og standardavvik Standardavvik rapporteres ofte for en periode på ett år, men beregnes ofte over en kortere tidsperiode For å komme fra standardavvik fra en kortere periode til årlig standardavvik, bruker vi kvadratrotsloven som sier at standardavviket øker med kvadratroten av tiden:

Norsk Hydro februar 2005 Total logavkastning 8,7 % Gjennomsnittlig daglig logavkastning 0,46 % Empirisk varians var 0,0002125 Empirisk standardavvik var 0,00021250,5 = 0,0145772 eller ca. 1,46 %. Estimat på årlig empirisk standardavvik blir 0,0145772 · 2520,5 = 0,2314 eller 23,14 %.

Norsk Hydro 5 år mars 2000 - 2005 Gjennomsnittlig årlig logavkastning (daglige kurser) for Norsk Hydro aksjen siste 5 år er 13,68 % og empirisk standardavvik 23,97 %

Aksjekurser og sannsynlighetsfordelinger Vanlig oppfatning er at aksjekurser endres tilfeldig fra dag til dag – de følger en såkalt ”random walk” eller ”white noice” prosess Hvilken sannsynlighetsfordeling kan illustrere kursutviklingen? Normalfordelingen ikke velegnet siden den ikke er begrenset nedad til 0, og aksjekurser kan selvsagt ikke bli negative Lognormalfordelingen er begrenset nedad til 0 og brukes ofte for å illustrere aksjekurser Hvis aksjekursen X er lognormalfordelt, er avkastningen Y = ln(X) normalfordelt ΔP/P = Φ Avkastningen følger en Brownsk bevegelse

Lognormalfordelingen

Viktige egenskaper ved normalfordelingen Det kan vises at dersom en stokastisk variabel er normalfordelt, vil 68,26 % av utfallene ligge innenfor ± 1 standardavvik fra forventningen, 95,44 % skal ligge innenfor ± 2 standardavvik fra forventningen, og 99,74 % skal ligge innenfor ± 3 standardavvik fra forventningen

Normalfordelt avkastning - Hydro

Sammenheng mellom enkeltaksjer Risikoen ved aksjeinvesteringer kan betegnes som usystematisk risiko (bedriftsrisiko) og systematisk risiko (markedsrisiko) Usystematisk risiko gjelder den enkelte bedrift, mens den systematiske risikoen påvirker alle bedriftene eller aksjemarkedet generelt Den usystematiske risikoen kan elimineres eller sterkt reduseres ved å sette sammen flere enkeltaksjer til en portefølje - diversifikasjon Markedsrisiko kan ikke elimineres ved diversifikasjon

Avkastning aksje X og Y enkeltvis

Avkastning aksje X og aksje Y sammen

Sammenheng mellom enkeltaksjer Sammenhengen mellom avkastningen til enkeltaksjer kan beskrives ved hjelp av de statistiske målene kovarians og korrelasjonskoeffisient Korrelasjonskoeffisienten er normalisert og kan anta verdier mellom – 1 og + 1 – 1 er perfekt negativ lineær korrelasjon 0 angir at det ikke er samvariasjon eller korrelasjon mellom to størrelser + 1 er perfekt positiv lineær korrelasjon Korrelasjonskoeffisienten mellom aksjekurser er ofte rundt 0,6 – 0,7

Aksje A og B – nok en gang

Kovarians og korrelasjonskoeffisient Følgende sammenhenger gjelder:

Kovarians og korrelasjonskoeffisient

Forventet avkastning for en portefølje av aksje A og B Porteføljeavkastning kan enkelt finnes som det veide gjennomsnittet av enkeltaksjenes avkastning:

Standardavvik for en portefølje av aksje A og B Hvordan kan man finne standardavviket til avkastningen for en portefølje? Kan man bare veie sammen enkeltaksjenes standardavvik? Dette vil bare unntaksvis være riktig fordi det ikke fanger opp diversifikasjonseffekten Varians og standardavvik til avkastningen til en portefølje beregnes slik:

Standardavvik for en portefølje av aksje A og B Gitt for eksempel en andel i A og B på 50 % hver, gir dette: Det kan generelt vises at variansen til en portefølje med m enkeltaksjer er:

Porteføljevarians – forenklet beregning Vi kan også beregne porteføljevariansen og standardavviket uten å gå veien om kovarians og korrelasjonskoeffisient:

Porteføljevarians ved ulike andeler Vi kan også beregne porteføljevarians og standardavvik for ulike andeler av A og B: Porteføljen som minimerer standardavviket er gitt ved at optimal andel for aksje A er:

Effisiente porteføljer

Korrelasjonskoeffisienten bestemmer graden av risikoreduksjon Vi kan se hvordan standardavviket til porteføljen påvirkes av ulike anslag på korrelasjonskoeffisienten mellom aksjekursene:

Korrelasjon og diversifikasjon

Korrelasjon 2005 - 2009

Value at Risk (VaR) En investor vil være utsatt for en rekke risikokilder og det er ikke enkelt å få oversikt over den totale risikoen man har utsatt seg for VaR er et mye brukt mål for å oppsummere samlet eksponering

Value at Risk (VaR) I praktisk risikostyring fokuseres det spesielt på muligheten for tap:

Value at Risk (VaR) Ved VaR beregning stiller vi oss spørsmålet Hva er det meste vi kan tape, med 95 % eller 99 % konfidensnivå, i løpet av den kommende uke, måned eller år? Vi beregner VaR slik: Hvor høyt er beløpet (B) som er eksponert? Hva er volatiliteten eller det årlige standardavviket σ for den aktuelle eiendelen? Hvilket konfidensintervall α skal vi bruke? Hvor lang er tidsperioden (T) hvor vi er eksponert?

Value at Risk og konfidensnivå Hvilket konfidensnivå skal vi legge til grunn? I praksis er det vanlig med 1 %, slik at tap overstiger beregnet VaR i 1 av 100 dager

Value at Risk – Stress test

Value at Risk for Norsk Hydro Anta at du har investert for kr 1 000 000 i Norsk Hydro aksjer? Hva er det meste du kan tape i løpet av 1 eller 2 måneder med 97,5 % signifikans? Standardavviket til avkastningen er 23,97 %

Value at Risk for en portefølje Vi kan beregne VaR for en portefølje etter samme modell som standardavviket for en portefølje Anta at vi investerer for kr 500 000 hver i Hydro og Kværner. Standardavviket er 23,97 % for Hydro og 45,58 % for Kværner, og korrelasjonen er 0.3773. Hva blir VaR for porteføljen? Konfidensintervall α = 1,96 (gir 97,5 %), tidshorisont 1 mnd

Value at Risk for en portefølje Vi beregner først VaR for enkeltpapirene Vi beregner så VaR for porteføljen