Tallet e Undervisningsopplegg laget av Lars Sund for Vitenfabrikken i Sandnes

En definisjon på tallet e er e = lim (1+1/n) n n 00

La oss se litt på uttrykket når n vokser: n = 1 n = 2 e = 2, n = 32, n = 52, n = 102, n = 1002, n = 10002, n = , n = ,

John Napier (1550 – 1617) ble født i Merchiston Castle nær Edinburgh. Faren, laird Archibald, døde i 1608 og da ble John laird og flyttet inn i Merchiston Castle. John Napier var opptatt av regning og lagde nye metoder som f.eks. stavene som finnes på Abelloftet, og logaritmer.

Logaritmer med e som grunntall, skrives som ln, og kalles naturlige logaritmer. Flaten under kurven y = 1/xfra 1 til x er ln x. ln 2 = 1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/ Dette er den harmoniske rekken med vekslende fortegn.

Egenskaper for kurven y = e x. Stigningstallet til tangenten er lik funksjonsverdien, fordi: For x = 0 er stigningen e o = 1. For x = 1 er stigningen e 1 = e. Integrasjon av e x er også enkelt: Tangenten vil alltid gå gjennom punktene Tangenten går gjennom (0,1) og (-1,0) Tangenten går gjennom (1,e) og (0,0) x exex (x,e x )og (x-1,0) 1

Vi hadde at flaten under kurven fra 1 til x var ln x. Vi får ved integrasjon: Et eksempel på slik integrasjon er befolkningstilvekst. Veksthastigheten eller Befolkningen øker eksponentielt. Dette gir er proporsjonal med befolkningsmengden p:

Kjedekurven er for a = 1: Dette kalles cosinus hyperbolikus, mens kalles sinus hyperbolikus. cosh x = sinh x sinh x = cosh x Her er mange sammenhenger som minner om sinus og cosinus, for eksempel: cosh 2 x – sinh 2 x = 1

Kurvene for sinh x og cosh x ser slik ut: y = cosh xy = sinh x (Kjedekurven)

Rekkeutvikling gir Dette gir en enklere måte å beregne e. Setter vi x = 1, får vi Allerede med syv ledd får vi

La oss se litt på den imaginære enheten i : osv. Vi får:

Vi bruker rekken for e x, men setter inn ix: Her setter vi inn for i 2, i 3, i 4 osv. og får: eller ordnet: Rekken i første parentes er rekken for cos x, mens den andre er sin x. ….. Det gir: e ix = cos x + i sin x (Eulers formel)

Vi har e ix = cos x + i sin x og kan få e -ix = cos x - i sin x Ved å legge disse sammen eller trekke fra, får vi de merkelige uttrykkene: sin x = cos x = En enda merkeligere sammenheng mellom irrasjonale tall får vi når vi setter x = 2

Alle reelle tall kan legges inn på en linje. Gauss utvidet dette ved å innføre det komplekse plan. Det øket mengden tall enormt e i n a b a + ib c d c + id

Et komplekst tall er z = x + iy Med litt regning får vi også slike merkelige sammenhenger: cos(iy) = cosh y og sin(iy) = i sinh y

Med hundre desimaler blir det: e = 2, Som, er også e et irrasjonalt tall.

Vi har her The Gateway Arch i St.Louis, Missouri. Det er en kjedelinje opp-ned.

På Abel-loftet kan du prøve en sykkel med firkanta hjul. ”Humpene” som du sykler på er kjedekurven snudd opp-ned.