Prosjektanalyse Investering og finansiering Øyvind Bøhren og Per Ivar Gjærum Fagbokforlaget 2009

Oversikt: Kapittel 3 Sluttverdi Nåverdi Annuitet Annuitet - sammensetning av annuitetsbeløpet Annuitet – sluttverdi Forskuddsannuitet Kort og lang rente Varierende rente Kontinuerlig rente Nominell og reell rente Oppsummering

Nåverdien av penger - Tidskostnad - Inflasjonskostnad - Usikkerhetskostnad 1. Sluttverdi  X T øker med økende X 0, r og T (1+r) T kalles sluttverdifaktor. Rentetabell 1: 012 tid 

Eksempel plasseres i fem år til 7% årlig rente. Hva er beløpet vokst til etter fem år? Eksempel plasseres i år null. Hvilken rente (r) gir etter fire år? 1. Sluttverdi (forts.)

Eksempel 3 Hvor lenge (T) må forrentes for å gi når renten (r) er 7 %? 1. Sluttverdi (forts.) Alternativt: Bruk kalkulator: PV = -100’ FV = 200’ i % = 7 N = 10,24

2. Nåverdi Hvilket beløp X 0 må du investere til en rente r for å få en bestemt sluttverdi X T etter T perioder? Sluttverdi: Nåverdi: 01T…  XTXT X0X0 tid  T  …  X0X0 1 0 XTXT

2. Nåverdi (forts.) Eksempel: Du får utbetalt om sju år og ønsker å belåne dette i dag. Hvor mye kan du låne hvis renten er 8 %?

Kontantstrømmen i et prosjekt kan henføres til ulike tidspunkter. Dersom vi skal sammenligne kontantstrømselementene, må de henføres til samme tidspunkt. Eksempel  NV SV NV 10% = 70 NV 15% = 57 NV synker ved økende rente 2. Nåverdi (forts.) tid 

Eksempel: Du får utbetalt om sju år og ønsker å belåne dette i dag. Hvor mye kan du låne hvis renten er 8 %? Hva hvis utbetalingen skjer om 10 år? Hva hvis renten er 5% og T = 7 år? 2. Nåverdi (forts.) Med formelregnearket: Uten formelregnearket:

Formel for nåverdi av kontantstrøm 2. Nåverdi (forts.)

r=0% r=2% r=5% r=10% 2. Nåverdi (forts.) Ser: Nåverdien stiger når T øker; synker når r øker

3. Annuiteter  3 10  2  1 0  T … Eksempel: Du kan maksimum betale 70’ pr. år på billånet ditt over tre år. Renten er 8 %. Hvor mye kan du låne? tid Eller:

Alternativ 2: Invers annuitetsfaktor Alternativ 3: Formelregnearket Alternativ 4: Kalkulator

Kalkulator (her vist med HP) 3  N NV … PMTi %NFV  Oppgave 1: Hva er nåverdien av 1 kr. årlig i fem år med en rente på 0 %? Oppgave 2: Hva er nåverdien av mottatt hvert år i fem år; rente 10 %? Oppgave 3: Hva er nåverdien av 1 kr. mottatt hvert år i fem år; rente 3 %? Oppgave 4: Hva er nåverdien av 1 kr. mottatt hvert år i 10 år; rente 10 %? Løs med kalkulator eller rentetabell: Oppgave 5: Hva er lånerenten hvis du betaler 70’ hvert år i fem år for å forrente og avdra et lån på 300’?  3. Annuiteter (forts.)  tid

3.1Uendelig levetid: Hva skjer når T øker, og alle andre variable er uendrede? 3. Annuiteter (forts.)

Brukes ofte ved taksering av eiendom (multiplikatormetoden) Eksempel: Årlig netto leie 0,5 mill. etter alle driftskostnader; realrente 5 %. Men forutsetter 1.Konstant kontantstrøm over tid 2.Kontantstrømmen varer evig 3.1 Annuiteter – uendelig levetid (forts.) Multiplikator

Overestimering større jo - kortere T - lavere r Vær forsiktig med bruk! 12,5 6,7 3.1 Annuiteter – uendelig levetid (forts.)

Eksempel: Du har tilbud om å disponere en eiendom i 15 år. Leieinntektene neste år er 7 mill. og forventes å vokse med 3% årlig utover inflasjonen i 15 år. Hva er verdien av tilbudet når realrenten er 5 %? 3.2 Annuitet med konstant vekst (v) og endelig levetid (T)

Hva hvis v=0? v=0 gir ordinær annuitet (rentetabell 3 og tabell 3.5) 3.2 Annuitet med konstant vekst og endelig levetid, forts.

3.4 Uendelig annuitet med konstant vekst Eksempel: Leieinntektene neste år er 7 mill. og forventes å vokse med 3 % årlig utover inflasjonen i overskuelig framtid. Realrenten er 5 %. Hva er nåverdien av kontantstrømmen? multiplikator

Eksempel: Du låner over 3 år til 10 % rente. Gir annuitet på NB: Alle beløp er nominelle 4. Annuitet – sammensetning av annuitetsbeløpet

5. Sluttverdi av annuitet Eksempel: Du vil spare hvert år i fem år, første gang om ett år. Hvor mye har du etter fem år med 7 % rente? Se rentetabell 5 Rentetabell 5: SVA= ,7507, dvs Alternativt: Bruk formelregnark eller kalkulator 012 XX SVA  tid 

6. Forskuddsannuitet Etterskuddsannuitet 0 X X X X Forskuddsannuitet X X X X 0 Eksempel 1: Du skal betale forskuddsvis leie på årlig i 10 år. Du har penger på konto og ønsker å vite hvor mye av disse du må sette av. Rente: 5 %. 012T…   T-1  tid

6. Forskuddsannuitet (forts.) Alternativt: Kalkulator: Begin mode, r =5 %, N = 10 år, PMT = 80’. 10 …   … 0

6. Forskuddsannuitet (forts.) Eksempel 2: Hvor mye årlig leie kan du maksimalt betale forskuddsvis over 10 år hvis du har på konto? Rente 5 %. Med kalkulator: Begin mode, N=10, r=5, NV=500

Eksempel 3: Leien i eksempel 1 reduseres fra 80’ til 60’. Hvor mye mer er det på konto etter ni år? Med kalkulator: End mode: N = 9, r = 5 %, PMT = 20’: FV = 220,6’ N = 9, r = 5 %, PV = 20’: FV = 31’ Sum: 31’ + 220,6’ = 251,6’ Bringer X 0 fram til T - 1 Bringer (X 1, X 2,..., X T-1 ) fram til T Forskuddsannuitet (forts.) ’ 0    …  tid

Er halvårsrenten 5 % dersom årsrenten er 10 %? X T =X 0. (1+r) T Du kan velge mellom å investere med rente (r) tillagt på slutten av året (31.12) eller med rente (r 2 ) hvert halvår (30.06 og 31.12). For å få samme sluttverdi etter ett år må: (1+r) være lik (1+r 2 ). (1+r 2 ), som er (1+r 2 ) 2 Altså er betingelsen: r = (1+r 2 ) 2 – 1 NeiEr det bedre å betale den enn 500 den og 500 den ? Ja 7. Kort og lang rente  tid 

For å finne kortrenten r 2 fra årsrenten r: Generelt: Jo flere terminer b; jo høyere effektiv årsrente r hvis r b settes lik r/b 7. Kort og lang rente (forts.) 2 % rente pr. måned gir ikke % = 24 % årlig, men: 1,02 12 –1 = 26,8%

Årlig Terminbeløp (kalkulator): PV = 400, N = 8, r = 7 %: PMT = Halvårlig Rente: Terminbeløp fra kalkulator: PV = 400 N=16 r = 3,441 %: PMT = Kort og lang rente (forts.) Eksempel: Du tar opp et lån på over åtte år til 7 % årlig rente. Kan velge mellom årlig, halvårlig eller månedlig betaling. Hva blir terminrente og terminbeløp i de tre tilfellene hvis du skal ha samme effektive rente? Månedlig Rente: Terminbeløp (kalkulator): PV = 400, N = 96, r = 0,5655: PMT = Derfor: Rentes-rente effekter innenfor året neglisjeres hvis kortrenten r b settes lik r/b.

Oppgave 1: Du tar opp et lån med 8 % nominell årsrente, kvartalsvise terminer og 2 % rente pr. kvartal. Hva blir effektiv årlig rente? Oppgave 2: Du tar opp et lån med 12 % nominell årsrente og månedlige terminer. Hva blir effektiv årlig rente dersom månedsrenten er 1 %? 7. Kort og lang rente - oppgaver

  10 r = 5%r = 10%r = 7% 8. Varierende rente  tid

i ii iii iv v Antall Årlig Kortrente Sluttverdi Årlig perioder nom. pr. etter effektiv pr. år rente periode ett år rente r eff 1 6% 6% 1,06 6,000% 2 6% 3% 1,03 2 = 1,0609 6,090% 4 6% 1.5% 1,015 4 = 1, ,136% 12 6% 0.5% 1, = 1, ,168% 52 6% % 1, = 1, ,180% 365 6% % 1, = 1, ,183% 9. Kontinuerlig rente Ad. ii: Dersom korrekt kortrente ble brukt, ville årlig effektiv rente r eff i kolonne v blitt lik 6% i alle tilfeller.

Hva skjer med årlig effektiv rente r eff når antall perioder går mot uendelig? Med kontinuerlig forrentning til 6 % blir effektiv rente r eff =e 0,06 –1, dvs. 6,184 % Med kontinuerlig rente = rk og antall perioder = T Sluttverdifaktor: 9. Kontinuerlig rente (forts.)

Eksempel: Du har kr. 100 i dag. Hva er verdi om 2 år når a) kontinuerlig rente er 5 %? b) årlig rente er 5 %? Svar: a) SV: 100. e 0,05. 2 = ,1052, dvs. 110,52 b) SV:100. 1,05 2 = ,1025, dvs. 110,25 Eksempel: Du mottar kr. 200 på slutten av år 2. Hva er nåverdien av dette beløpet neddiskontert med 5 % kontinuerlig rente? Svar: NV= 200/e 0,05. 2, dvs /1,1052 =180,97 9. Kontinuerlig rente (forts.)

10. Nominell og reell rente Eksempel Investering, Nominell rente på investeringen:10 % Beløp etter 1 år: ,1 = Prisstigning i løpet av året 3 % Dermed er reellt beløp (realverdi) i 2010: /1,03 = 106, Med 1 kr. investert:1,10/1,03 = 1,068 (1 + r N )/(1 + j) = (1 + r R ) r R = (1 + r N )/(1 + j) – 1 r R = [(1 + r N ) - (1 + j)]/(1 + j) r R = (r N - j)/(1 + j)

11. Oppsummering Sluttverdi: Nåverdi av endelig annuitet X: Nåverdi av endelig annuitet med startnivå X 1 og konstant vekst v: Nåverdi av uendelig annuitet X: Nåverdi:

Fra kort rente (r b ) til lang (r): Diskonteringsfaktor ved kontinuerlig rente (rk): Nåverdi av uendelig annuitet med konstant vekst: 11. Oppsummering (forts.) Fra lang rente (r) til kort (r b ): Fra nominell rente (r N ) og inflasjon (j) til reell rente (r R ): Fra reell rente (r R ) og inflasjon (j) til nominell rente (r N ):