Å jobbe med pluss, minus, gange og dele - algoritmer Matematikk/literacy 20.01.2009 Elise Klaveness

Algoritme – hva er det? Høines: Oppskrift for å løse en oppgave, metode for å løse et problem Wikipedia: en beskrivelse av de operasjonene som skal til for å løse en gitt oppgave matematikk.net: en stegvis prosedyre Fra al-Kwaritzmi, Bagdad 820 eKr. Sammensatt av flere operasjoner.

Standardalgoritmene Algoritmebegrepet i matematikken er ofte knyttet til standardalgoritmene for de fire regningsartene. Eksempler på tavla.

LK06 sier: I Prinsipper for opplæringen: .. stimulere elevene ( ) til å utvikle egne læringsstrategier og evne til kritisk tenkning I Formål med faget: …muligheter for å arbeide både praktisk og teoretisk. Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.

LK06 sier: Kompetansemål, 2. trinn, tall: utvikle og bruke varierte regnestrategier for addisjon og subtraksjon av tosifrede tall. doble og halvere.

LK06 sier: Kompetansemål, 4. trinn, tall: Anslå og bestemme antall ved hoderegning, bruk av tellemateriell og skriftlige notater Utvikle og bruke ulike regnemetoder for addisjon og subtraksjon Bruke den lille multiplikasjonstabellen og gjennomføre multiplikasjon og divisjon knyttet til ulike praktiske situasjoner

LK06 sier: Kompetansemål etter 7. trinn: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne utvikle og bruke metoder for hoderegning, overslagsregning og skriftlig regning stille opp og forklare beregninger og framgangsmåter

Elevers egne algoritmer Nært knyttet til problemløsing Utvikles gjerne gjennom utforsking av materiell Bygger på forståelse av den aktuelle regnearten Elevene presenterer sine algoritmer og diskuterer ulike måter På tavla: 16*35 Hva betyr det? Kan dere gi eksempler på situasjoner der vi trenger dette regnestykket? Slike diskusjoner bør komme før algoritmene for å finne svaret.

Eksempel på addisjon 67 + 38 = 90 + 15 =105 = 65 + 40 = 105 = 70 + 40 – 5 = 110 – 5 = 105 Studentene tenker selv først. Diskuterer med sidemannen.

Skriftlig hoderegning Birgitta Rockström Så elever som regnet mekanisk, kopierte algoritmer. Slet med å huske reglene. Liten forståelse for hvordan regneartene hang sammen. Fikk elevene med på å tenke ut lure regnemåter.

Eksempel 17 * 6 = 10 * 6 + 7 * 6 = 60 + 42 = 102 = 60 + 42 = 102 = 20 * 6 – 3* 6 = 120 – 18 = 102 Studentene prøver igjen selv først.

Skriftlig hoderegning Skriver ned mellomregning, men regner ellers i hodet. Ser på hele tallene, isteden for å jobbe kun med enere. Gjør numeriske oppgaver enklere ved at mellomregningen skrives ned. Sammenlikn med standardalgoritmene. Vis gjerne på tavla.

Eksempel 584 – 267 = 300 + 20 – 3 = 317 = 320 – 3 = 317 = 587 – 270 = 317 = 3 + 14 + 300 = 317 Studentene først

Skriftlig hoderegning Styrker og utvikler elvenes talloppfatning og tabellkunnskap, gir forståelse for posisjonssystemet og klargjør likhetstegnets betydning. Tar vare på elevenes fantasi, stimulerer og trener kreativ, fleksibel og logisk tenkning.

Skriftlig hoderegning Gir trening i å uttrykke seg matematisk riktig, både muntlig og skriftlig. Gir tro på egne muligheter og lyst til å prøve egne tenkesett på stadig vanskeligere oppgaver

Eksempel 30,5 – 15,65 =15 – 0,1 – 0,05 = 14,85 =15 – 0,15 = 14,85 =15,5 – 0,65 = 14,85 =30,85 – 16 = 14,85 =34,85 – 20 = 14,85 =30 – 15,15 = 14,85 =0,05 + 0,3 + 4 + 10,5 = 14,85 =0,35 + 14,50 = 14,85 =4,35 + 10,5 = 14,85 Studentene først

Skriftlig hoderegning Utvikler elevenes evne til å se sammenhengen mellom regneartene, utnytte regneregler og dra egne slutninger. Ser på hele tallet istedenfor å behandle alle posisjoner som enere

Mellomleddets betydning Forenkler utregningen Tvinger fram tankevirksomhet og logikk Gjør likhetstegnets betydning tydelig Gir mulighet for å se og reflektere over egne tanker

Mellomleddets betydning Kan se forskjellig ut, avhengig av oppgaven og elevens kreativitet Innbyr til resonnement om ulike tenkemåter Er en støtte for minnet som gir sikkerhet, men kan noen ganger utelates Mulighet for lærer til å se hvordan elevene tenker

Viktige forkunnskaper Likhetstegnet. Posisjonssystemet. Tabellkunnskap

Addisjon Noen eksempler 67 + 38 = 90 +15 = 105 (regne hver størrelse for seg) 699 + 247 = 700 + 246 = 946 (flytte over for å få et rundt tall) 54 + 77 + 35 = 80 + 80 +6 = 166 (Flere ledd åpner for mange muligheter. Viktig at elevene selv finner ut ”lure” måter.) 99 + 199 + 299 = 600 – 3 = 597 (legge til hjelpetall som seinere trekkes fra)

Subtraksjon Noen eksempler Hver størrelse for seg: 87 – 32 = 50 + 5 = 55 93 – 48 = 50 – 5 = 45 Øke hvert ledd med samme tall: 93 – 48 = 95 – 50 = 45 1065 – 196 = 1069 – 200 = 869 Fylle på: 93 – 48 = 2 + 43 = 45

Multiplikasjon Noen eksempler 2 * 37 = 30 + 30 + 7 + 7 = 60 + 14 =74 (Gjentatt addisjon) 2 * 37 = 2 * 30 + 2* 7 = 60 + 14 = 74 (Distributive lov) 6 * 295 = 6*300 – 6*5 = 1800 – 30 = 1770 (Multiplisere med enklere tall og addere / subtrahere avviket) 4 * 350 = 2 * 2 * 350 = 2 * 700 = 1400 5 * 624 = 5 * 2 * 312 = 10*312=3120 (Tillempe assosiative lov eller halvere – doble, doble – halvere)

Mer multiplikajson Fra Høines, ”Begynneropplæringen”: Hvordan har denne eleven tenkt? 324*123 100 32400 10 3240 10 3240 3 324 324 324 39852

Enda mer multiplikasjon Eksempel fra Rockström: 3,6*0,75 =1,8*1,5=0,9*3=2,7 =1,8+0,9=2,7 =3,6-0,9=2,7 =0,9*3=2,7 =(3*3,6):4=3*0,9=2,7 Studentene først

Enda mer multiplikasjon Liknende oppgave ga denne løsningen fra elev i ungdomsskolen: 4,44*1,75=7+0,7+0,07=7,77 Hvordan har eleven tenkt?

Eksempler divisjon Telleren deles opp i tall som passer med tabellen for nevneren: eller:

Eksempler divisjon Enklest med ensifret nevner eller 10 som nevner. Kan ordnes ved forkorting eller utviding: eller

Eksempler divisjon ”Kortdivisjon”: Gjør divisjonene i hodet. Fører små minnetall på riktig sted:

Mer divisjon: Hvordan har denne eleven tenkt? 2464:4= 100 400 2064 500 2000 64 10 40 24 6 616

Rockström: ”Få elever tycker att algoritmeräkning är interessant eller rolig. Det mekaniska räknandet – där man inte behöver tänka själv – passar dåligt för barn som av naturen är logiska, kreative och vill tänka själva. Följden blir att matematikk upplevs som både tråkig och fantasilös.”

Eksempel fra Rockström: Gymnasieelev som slet med å finne 17% av 8000, ble vist følgende utregning: 0,17 * 8000 = 17 * 80 = 800 + 560 = 1360 ”Det där var ju skitenkelt, varför har jag aldrig fått lära meg det?”

Talllinjen Den tomme talllinje kan også være en grei måte å jobbe med regneartene på. Film: Den tomme talllinje Forsøk selv med: 246 – 98 = 54 +87 = 54*16 = 0,16 *12 = 264 : 4 =

Hva? Hvorfor? Hvordan? Hva?: Algoritmer Hvorfor?: Operasjoner med regneartene er viktig for tallforståelse Også viktig i mange andre deler av matematikken Viktig poeng å tenke over hvorfor man holder på med regneartene. Innlæring av automatiske prosedyrer er i vår digitale hverdag ikke så viktig. Hvordan?: ”Forelesning”, film, oppgaver.

Litteratur Høines: Begynneropplæringen, kap 5 Breiteig og Venheim 1, kap 3 Rockström: Skriftlig huvudräkning Falkner, Levi, Carpenter: Barns forståelse av ekvivalens (denne får dere utdelt senere av Beate når dere skal jobbe med algebra)