Fra det kjente til det ukjente… Algebra Fra det kjente til det ukjente…

? Hva forbinder du med algebra? Hvilket forhold har du til algebra? I hvilke forbindelser kan det være nyttig å bruke algebra? Innenfor hvilke matematiske områder benyttes algebra?

Hva er algebra? Algebra (fra arabisk: al-jabr «forening, kombinasjon») generaliserer tallregning ved at bokstaver eller andre symboler representerer tall Å bruke symboler for variable eller ukjente størrelser Bokstavregning Algebra er en gren innen matematikken som kan beskrives som en generalisering og utvidelse av aritmetikken

Litt historikk Ordet algebra ble først brukt av den persiske matematikeren al-Khwarismi (ca. år 800 eKr), som brukte ordet for å beskrive den handlingen han gjorde når han forenklet en ligning Algebra har sin opprinnelse i kalkulasjon for det praktiske liv (bankvirksomhet og navigasjon) Først tidlig på 1600-tallet var det enighet mellom matematikerne om symbolbruken På Newtons tid var algebra vel etablert som en gren av matematikken (slutten av 1600-tallet) Algebra har sin opprinnelse i kalkulasjon for det praktiske liv, for eksempel innafor bankvirksomhet og navigasjon, særlig i renessansens Italia. Tidligere hadde matematikken stort sett blitt uttrykt verbalt. Det var araberne som utviklet den greske matematikken i retning av en formelbasert stil. På 1400- og 1500-tallet var det liten grad av enighet mellom matematikere om symbolbruken. Likhetstegnet ble første gang brukt i England, mens «+» og «–» stammer fra Tyskland. På Descartes' tid var algebraen imidlertid etablert med en notasjon som likner mye på dagens, og på Newtons tid kan en si at algebra var vel etablert som en egen gren av matematikken. De gamle pytagoreerne i Hellas hadde et religiøst forhold til tall. Det var forbundet med mystikk og hadde betydning for livet etter døden. For dem var det hellig å si: Alt er tall. Ordet algebra kommer fra tittelen på en lærebok skrevet av den arabiske matematikeren Al-Khwarizmi. Denne boka er fra ca år 850 og viser bl a hvordan likninger skal løses. Forklaringene er med ord og han bruker ikke matematiske tegn. Boka nådde Europa på 1200-tallet. Da ble null innført og etter hvert kom likhetstegnet. Da bokstavregningen kom igang, skjøt utviklingen av matematikk for alvor fart. Matematikken ble et nyttig hjelpemiddel for vitenskapsmenn bl.a i fysikk, biologi og kjemi. I vår tid Vi bruker bokstavregning som et hjelpemiddel for å løse kompliserte beregninger. Når vi lar bokstaver bety tall som kan ha forskjellige verdier, blir det mye enklere å regne. Dette gjelder ikke bare når vi regner for hånd, men også når vi bruker digitalt verktøy. Programmene i slike verktøy er nettopp utviklet ved hjelp av algebra. Når vi bruker digitalt verktøy, må vi altså ha god greie på algebra. Bokstavregning kommer til nytte på mange områder. Ingeniører, fysikere og økonomer velger ofte å regne med bokstaver når de skal omforme kompliserte formler til de beregningene de må gjøre. Dette gjør arbeidet enklere og sparer mye tid. Først bruker de bokstaver for å komme fram til den formelen de vil ha, og deretter setter de inn tall for bokstavene. Det er nære sammenhenger mellom musikk og matematikk. Det å stemme et piano er svært vanskelig og en må ha godt øre for svingetallene i de ulike strengene. Hvis pianostemmeren kan algebra, kan hun eller han omarbeide formelen for tonehøyden i en pianostreng. På den måten finner en nøyaktig hvor stram strengen skal være ved en bestemt temperatur.

I vår tid Bokstavregning som hjelpemiddel for å løse kompliserte beregninger ”For hånd” og digitalt Programmene i digitale verktøy er utviklet ved hjelp av algebra, og for å kunne bruke dem må man også kunne algabra (eks. regneark) Vi bruker bokstavregning som et hjelpemiddel for å løse kompliserte beregninger. Når vi lar bokstaver bety tall som kan ha forskjellige verdier, blir det mye enklere å regne. Dette gjelder ikke bare når vi regner for hånd, men også når vi bruker digitalt verktøy. Programmene i slike verktøy er nettopp utviklet ved hjelp av algebra. Når vi bruker digitalt verktøy, må vi altså ha god greie på algebra. Bokstavregning kommer til nytte på mange områder. Ingeniører, fysikere og økonomer velger ofte å regne med bokstaver når de skal omforme kompliserte formler til de beregningene de må gjøre. Dette gjør arbeidet enklere og sparer mye tid. Først bruker de bokstaver for å komme fram til den formelen de vil ha, og deretter setter de inn tall for bokstavene. Det er nære sammenhenger mellom musikk og matematikk. Det å stemme et piano er svært vanskelig og en må ha godt øre for svingetallene i de ulike strengene. Hvis pianostemmeren kan algebra, kan hun eller han omarbeide formelen for tonehøyden i en pianostreng. På den måten finner en nøyaktig hvor stram strengen skal være ved en bestemt temperatur.

Hovedområdet Tall og algebra i LK06 Hovudområdet tal og algebra handlar om å utvikle talforståing og innsikt i korleis tal og talbehandling inngår i system og mønster. Med tal kan ein kvantifisere mengder og storleikar. Tal omfattar både heile tal, brøk, desimaltal og prosent. Algebra i skolen generaliserer talrekning ved at bokstavar eller andre symbol representerer tal. Det gjev høve til å beskrive og analysere mønster og samanhengar. Algebra blir òg nytta i samband med hovudområda geometri og funksjonar.

Barns møte med algebra Ved første møte; viktig at de opplever en klar sammenheng der tall er byttet ut med bokstaver eller andre symbol Må passe på at algebra ikke blir abstrakt men underbygges av meningsfulle begreper Eksempler med kort! Figurer på ark Hundreark Bør inkludere det å studere tallmønstre (eks. partallnummer (BV2 s 18) og tallhus/trekanttall) Figurtalloppg. Partallnummer: 1 2 3 4 Partall 2 4 6 8 Tegn figurer med kvadrater Pn = n ∙ 2 Trekanttall; Tn = 1 + 2 + 3 + … + n

”Bokstavregning” Hvorfor bruker vi bokstaver? Hvilke bokstaver bruker vi? Bokstaven betyr rett og slett: ”Dette vet vi ikke ennå” (x = ”foreløpig ukjent”) Enklere å skrive x enn å tegne tomme bokser Dersom det er flere ukjente, kan vi bruke en ny bokstav for hver ukjente

I geometrien Hvordan kan arealet beskrives algebraisk? høyde a b c Støtte i geometrien: se side 28 og 29 i BV2 for mer avansert bredde

A = h(a + b + c)

Likhetstegnet og ekvivalens 7 + 5 = + 3 Hva skal stå i firkanten? Hva tror dere en 2. klassing tenker? Konkretisering (eks. mengder med klosser) Oppgave 8.1 side 15 i Breiteig og Venheim Små barn viser seg å ha begrenset forståelse av ekvivalens og av likhetstegnet. Mange ser likhetstegnet som et tegn på at noe skal gjøres (regnes ut) fremfor et symbol som beskriver en relasjon. Likhetstegnet = er det samme som = ekvivalenstegn!

Balanse = Fig.1 : www.biblab.no

Hvordan finne den ukjente? Finn ut hva som må fjernes for å få x = … Fjern det som må fjernes ved å gjøre det motsatte (eks. addere er det motsatte av å subtrahere) Gjør alle operasjoner på begge sider av likhetstegnet! (likevektsprinsippet!)

x – 2 = 4 Ubalanse: Balanse x – 2 = 4 x – 2 = 4 + 2 +2 +2 + 2 +2 x – 2 = 4 +2 Påpeke overflyttingnsregelen og hvorfor den kan brukes Fig. 2.: www.rettshjelperne.no

Konkretisering Fyrstikkesker Pakkeboks

Andre regnearter Hvordan blir det med multiplikasjon og divisjon? 4x = 8

Begreper 1 Variabel: En bokstav som står for et tall i et matematisk uttrykk kalles variabel fordi det kan variere Uttrykk: En matematisk frase satt opp med variable og/eller tall og operasjoner Eksempel: 2a + 2ab – a Ledd: Elementene som er separert med pluss- og minustegn i et matematisk uttrykk (2a, 2ab og a) Koeffisient: Et tall som står foran i et ledd (eks. 2 i 2a) Konstant: Et ledd som bare har et tall. Varierer ikke, men holder seg konstant (2a + 3b – 5) Operasjon: Samlebegrep på addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon

Oppgave Skriv ned et matematisk uttrykk som inneholder tall, bokstaver og operasjoner Forklar ved hjelp av begrepene fra forrige slide hvordan uttrykket skal skrives, naboen din skriver ned det han/hun oppfatter. Sjekk deretter om det stemmer overens med det du selv hadde. Eksempel: Koeffisienten i det første leddet er 3, variabelen er a. Operasjonen som følger det første leddet er addisjon. 3a + …

Begreper 2 Identiteter/generalisert aritmetikk: omforming av uttrykk. Eks. (a + b)² = a² + 2ab + b² Retorisk algebra: En generell sammenheng uttrykt med ord (lengden ganget med høyden) Oppgave: Hvordan definerer du hva et partall er? Oppgave: Hvordan vil du forklare sidemannen hvordan man regner ut arealet og volumet av dette rommet? Aritmetikk (fra gresk αριθμός = tall/siffer) betegner vanligvis den gren av (eller forløperen for) matematikken som omhandler elementære operasjoner på tall. Blant matematikere benyttes ofte ordet som et synonym for tallteori. De vanlige aritmetiske operasjonene er addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, selv om mer avanserte operasjoner (som for eksempel prosent, kvadratrot, potenser og logaritmer) også noen ganger inkluderes i definisjonen. Aritmetikken til naturlige tall, heltall, rasjonale tall (i form av brøker) og reelle tall studeres vanligvis av skolebarn, som lærer manuelle algoritmer for aritmetikk. I de senere årene har bruken av kalkulatorer overtatt mye av denne funksjonen . Partall: n = 2m (hvor m er et heltall)

Begreper 3 Geometrisk algebra: En illustrert generell sammenheng Symbolsk algebra: uttrykk av sammenhenger ved bruk av symboler (O = 49 + 28h) Synkopert algebra: en blanding av ord og symboler (Overflate = 35 + 22 ∙ høyden)

Fire tilnærmingsmåter Barn kan inviteres inn i algebraens verden via fire inngangsporter: Aritmetikk (2 + 3= ? + 1) Formler (eks. areal og omkrets av ruteark → l ∙ b) Funksjoner Likninger

Aritmetikk (tallregning) Overgangen fra aritmetikk til å tenke algebraisk kan være problematisk for elevene I aritmetikken står bokstaver som forkortelser (eks. 10 m = 10 meter) I algebraen står bokstaver for variable (10m = 10 ∙ m)

Likninger En likning sier at to ting er like, og vil alltid ha et likhetstegn mellom disse to tingene To uttrykk satt lik hverandre x + 3 = 8 Å finne løsningen: Å bestemme det eller de tall som passer inn i likningen x = 5

Formler En formel er en spesiell type likning som viser et forhold mellom forskjellige variabler Symboler brukes i formler for å vise generelle utregningsmåter V = hlb (volum = høyde × lengde × bredde)

Funksjoner Bokstaver brukes også til å uttrykke hvordan en tallstørrelse kan avhenge av en annen Eks. y = 4x Her er y alltid fire ganger større enn x.

Noen regneregler a + b = b + a kommutativ a ∙ b = b ∙ a lov (a + b) + c = a + (b + c) assosiativ (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) lov a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c fordelingsloven Illustrer dette ved tegning

Oppgave Lag illustrasjoner, eller tenk ut konkreter som kan illustrere regnereglene på den foregående lysbildet

Noen konvensjoner 5x betyr 5 ∙ x I enkelte tilfeller utelates sifferet 1. 1 er nøytralt ved multiplikasjon (1 ∙ 2 = 2, 1 ∙ a = a)

Rekkefølge på operasjoner 7 + (6 × 5² + 3) Gjøre operasjoner i parenteser Eksponenter (”opphøyd i” og ”kvadratroten av”) Gang og del før du adderer og subtraherer Ellers, bare jobb fra venstre mot høyre

Prioriteringsregler Potensering Multiplikasjon og divisjon Addisjon og subtraksjon Betrakt: 5 + 2x og (5 + 2)x

Praktisk oppgave Slå inn skonummeret ditt – et helt tall Multipliser med 2 og adder med 5 Multipliser med 50 Adder 1758 Subtraher året du er født (fire siffer) Avslutt med å trykke = Hva ser du i svaret? Prøv å uttrykke dette algebraisk Hvilke tall er variable, og hvilke bokstaver vil du erstatte tallene med? Diskuter bevis for uttrykket (s ∙ 2 + 5) ∙ 50 + 1758 – f 100s + 2008 – f Bevis 100 s vil alltid være 100 ganger skonummeret 4100 – med to nuller til slutt 2008 – fødselsåret vil alltid være lik alder 4100 + 30 er lik skonummer og alder 31

Prøv selv Lag en oppgave i samme sjanger som den forrige Test den ut på en av dine medstudenter Tilpass oppgaven til elever uten tidligere opplæring i algebra

Oppgave Sorter ut kunnskapsmål i algebra fra læreplanen etter årstrinn Diskuter og utarbeid forslag til tilnærminger for å nå disse målene (konkreter, opplegg, forklaringer?

Hesteveddeløp Spill hesteveddeløpspillet