Helhetlig kompetanse i matematikk Sjøskogen skole, Ås 17.august 2009 Elise Klaveness Høgskolen i Vestfold

Elise Klaveness Høyskolelektor ved høyskolen i Vestfold Utdannelse fra NTNU, Berkeley, Brown University og Københavns universitet i matematikk og fysikk Jobber med utvikling av ny lærerutdanning for barnetrinnet med sterk kobling til praksisfeltet Jobber sammen med NSMO og utdanningsdirektoratet om utvikling av kurser i den grunnleggende ferdigheten å regne Spesielle interesser: Matematikk og motivasjon, elevaktiv undervisning, matematisk literacy, matematikk med mening elise.klaveness@hive.no

PLAN FOR DAGEN Hva er læring i matematikk? Oppgavetyper i matematikk Helhetlig kompetanse i matematikk Forskning og sitater Hovedpoenger og oppsummering Forslag til videre arbeid Aktiviteter LK06

Hva er læring i matematikk? Elever må være aktivt med i egen læringsprosess. De må tenke selv. Læring skjer ved deltakelse i en kultur og i samhandling med andre Lære matematikk med forståelse

Omkrets og areal – eksempel på en aktivitet Lag figurer som har omkrets lik 12. Lag rektangler med omkrets 24. Smart Board

Oppgaven om areal og omkrets Mulighet for å forstå hva omkrets er og hva areal er ved å se, ved å ta på, ved å utforske muligheter, ved å forklare, ved å skriftliggjøre Lærer i samhandling med andre, i liten gruppe og i hel klasse. Se andres løsninger. Dele resultater. Bli enige om skrivemåter.

Oppgaven om areal og omkrets Betydningen av kommunikasjon Forstå hva elevene tenker Elevene lærer av å kommunisere Elevene lærer å kommunisere

Elevaktiv undervisning Elevene må være aktivt med i arbeidsprosessen, ikke bare reprodusere. Hvilke spørsmål er lure å stille? Hvilke oppgaver inspirerer til dette?

Eksempel: 169 – 98 169 – 98=171-100 169 – 98=69+2 169 – 98=2+69 169 – 98=100-30+1 Den tomme tallinja

Eksempel Hoderegning 169 – 98 = Elevene forklarer sine strategier (hvordan de tenker) Skriver ned tankene (skriftlig hoderegning) Fremmer forståelsen av likhetstegnet

LK06: Tall og algebra Kompetansemål 4.trinn: utvikle og bruke ulike regnemetoder for addisjon og subtraksjon av flersifrede tall både i hodet og på papir

Likhetstegnet 8 + 4 =  + 5 Hvorfor gjør så mange feil på denne? Se hvor lang ”rekke” det er mulig å få 8 + 4 = 7 + 5 = 3 + 9 = 10 + 2 = ….

Likhetstegnet Cuissenairestaver Prealgebra Systematisk utforsking Forebygge misoppfatninger om likhetstegnets betydning

Gode spørsmål som får elever til å snakke om sin tenkning Hvordan løste du det problemet? Fortell meg hvordan du fikk det svaret. Hva tenkte du? Oppfølgingsspørsmål til det barnet sier, for eksempel ”Kan du fortelle meg hvordan du kom frem til det tallet?”

Oppgavetyper i matematikk Problemløsing Åpne oppgaver Utforsking

Problemløsning Et godt problem har ikke bare en metode for å løse det umiddelbart tilgjengelig. engasjerer til å sette opp og teste hypoteser. innbyr til å stille nye spørsmål. kan løses på flere måter. har mulighet for flere ulike svar. (Lampert)

Eksempel problemløsing: Hjul Du har 21 hjul Vi har kjøretøyer med forskjellig antall hjul Hvor mange kjøretøyer har du hjul til? Hvor mange ulike løsninger kan dere finne? (Se SmartBoard-oppgave) Kopi fra lærebok.

Eksempel problemløsing: Hjul Kombinatorikk, systemer, sortering, pluss, minus. Her skal jeg skrive på tavlen. Tilbake

Eksempel problemløsing Hentet fra eksamen 7.klasse Singapore: Anne og Tommy har spart 800kr til sammen. En firedel av Tommys sparepenger er 65kr mer enn en femdel av Annes sparepenger. Hvor mye mer har Tommy spart enn Anne? (Smartboard-fil)

Eksempel problemløsing Fra nasjonale prøver 5.trinn: Geir, Hans og Ingar har 90 kr til sammen. Hans har dobbelt så mye som Geir. Ingar har halvparten av det som Geir og Hans har til sammen. Hvor mye har hver av guttene? (Smartboard-fil)

Åpne oppgaver Lage oppgaver selv Start med svaret: Hvilke tall kan vi bruke for å få 5? Gjøre en lukket oppgave mer åpen: Fjerne/endre opplysninger Ikke bare et svar Eksempel: En kø. Hvor lang er en kø med 5 personer? Kopi fra lærebok.

Multi 1 Hvordan åpne denne oppgaven?

Multi, 5a Hvordan gjøre åpnere?

Abacus, 7A Hvordan åpne disse oppgavene?

Utforskende oppgaver Barna får lov til å undersøke noe og fordype seg i dette Gjerne knyttet til konkreter (materiell) eller halvkonkreter Gjerne mange forskjellige måter å forske på – finne egne metoder Oppfordrer til kreativ tankegang

Eksempel utforsking Trekk ett tall For eksempel 24 Ta 24 brikker og del dem i like store grupper. Hvor mange ulike måter finner du? Tegn alle mulighetene som kronblader på en blomst med 24 i blomsterkronen.

24 delt i like grupper

Eksempel utforsking: Wall-E på smartboard.

Hva betyr det å kunne matematikk? Kunnskapsløftet understreker en helhetlig og bred kompetanse i matematikk: samspill mellom forståelse, ferdigheter og anvendelse i kompetansemål grunnleggende ferdigheter i matematikk den grunnleggende ferdigheten ”å kunne regne” i andre fag

Kompetansemål i LK06 forståelse ferdighet anvendelse Veiledning til LK06, nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

Kompetansemål etter 2. trinn Utvikle og bruke varierte regnestrategier for addisjon og subtraksjon av tosifra tall

Ferdighet 35 + 48 =83 52 – 18 = 34 Utvikle strategier. Som vi har snakket om, behøver det ikke være standardalgoritmen. Det viltigste er at elevene klarer å forklare hvordan de tenker.

Forståelse Kunne forklare hvordan man tenker 35 + 48 =83 52 – 18 = 34 Kunne forklare hvordan man tenker Kunne vise med et materiell og forklare hvordan strategien fungerer Kunne tegne løsninger Utvikles gjennom arbeidet med å utvikle strategier, og gjennom samtaler om oppgaver som omhandler regneartene. Viktige spørsmål for å sjekke forståelse er: Forklar hvordan du tenkte! Hvorfor blir det slik?

Anvendelse Kunne knytte teorien til praktiske situasjoner. 35 + 48 =83 52 – 18 = 34 Kunne knytte teorien til praktiske situasjoner. Når har jeg bruk for addisjon og subtraksjon? Kunne tolke et praktisk problem og resonnere seg fram til hvilken regneart som er aktuell

Eksempel Hvor mye koster 1 liter melk på Meny, og hva koster den på Rimi? Hvor stor er prisforskjellen? Hva koster ett brød og en liter melk til sammen i de to butikkene? Hvor er det billigst? Hva tjener du på å handle der? Ferdighet? Forståelse? Anvendelse?

Kompetansemål LK06 forstå enkel merking av varer (4.trinn, Mat og Helse) gjøre samfunnsfaglige undersøkelser som krever telling og regning, og presentere resultata av undersøkelsene (4.trinn, Samfunnsfag) beskrive pengebruken til jenter og gutter og samtale om forhold som påverker forbruk (4.trinn, Samfunnsfag) gjenkjenne navn, tall, logoer og skilt (nivå 1, grunnleggende norsk for språklige minioriteter)

Hva, men også hvorfor og hvordan Vi spør ofte: ”Hva blir det?” og ”...og da får du?” Denne typen spørsmål underbygger ofte ferdighet Vi spør ofte om svaret og glemmer forståelsen Huske på å stille de viktige hvorfor og hvordan-spørsmålene

Kompetansemål etter 4. trinn Bruke den lille multiplikasjonstabellen og gjennomføre multiplikasjon og divisjon i praktiske situasjoner.

Ferdighet 3-6-9-12-15-18-21-24-27-30 6 * 8 = 48 32 : 4 = 8 Litt humor i ferdighetstreningen? http://www.youtube.com/watch?v=liPHRjsWKag

Forståelse Kan du tegne et eksempel på 3 * 8? Eller 72 : 8? Forklare sammenhengen i for eksempel 4-gangen. Hvordan er tabellen bygget opp? Forklar sammenhengen mellom 3*8 og 24:3.

Forståelse - Butikkaktivitet Har mange varer med forskjellige priser. Får et antall kroner. Du må bruke opp alle pengene. Du har bare lov å kjøpe helt like varer. Hvilke varer kan du få og hvor mange får du av hver? Skriv et regnestykke for hver løsning. Gjentatt addisjon. Kan også skrive som multiplikasjon. Og som divisjon. Hva skjer hvis du trekker 13? Fin måte å oppdage primtallene på. Hvilke tall har flest kronblader? ”Rike tall”.

Forståelse - aktivitet Kan kombineres med blomsten vi hadde tidligere. 3+3+3+3 4+4+4 2+2+2+2+2+2 12 Gjentatt addisjon. Kan også skrive som multiplikasjon. Og som divisjon. Hva skjer hvis du trekker 13? Fin måte å oppdage primtallene på. Hvilke tall har flest kronblader? ”Rike tall”. 6+6

Anvendelse Anders skal ha selskap. Han har bedt 8 gjester. Alle i selskapet skal få 3 boller hver. Hvor mange boller må Anders kjøpe inn? For hvem er dette en problemløsingsoppgave?

Kompetansemål LK06 planlegge og gjennomføre en fest sammen med andre forbindelse med en høytid eller en annen markering (Mat og Helse, 4.trinn)

Anvendelse - Musikkeksempel http://www.youtube.com/watch?v=uj26ZbQD61I Sangen er inndelt i mellomspill (M), pauser (P), vers (V) og refreng (R). Gruppe 1: Ansvar for å MÅLE TAKTSLAG OG ANTALL TAKTER per minutt Gruppe 2: Ansvar for å finne antall takter og antall slag i VERSENE Gruppe 3: Ansvar for å finne antall takter og antall slag i REFRENGENE Gruppe 4: Ansvar for å finne antall takter og antall slag i MELLOMSPILLENE Gruppe 5: Ansvar for å finne antall slag i PAUSENE og hvor disse befinner seg i sangens struktur. Gruppe 6: Ansvar for å finne sangens overordnede struktur i M, P, V og R.

Anvendelse - Musikkeksempel Samtale om struktur Måling Hvilken lengde har sangen? Hvor mange slag? Hvor mange takter? Hvor mange sekunder? Hvor mange minutter? En gjennomsnittslåt har tempo 60 slag per minutt eller bpm (beats per minute). Disco-låter går dobbelt så fort, 120 bpm, og techno/dance/trance 10-20 bpm raskere enn dette igjen. ”Takt + tempo er viktig matematikk, særlig i Grand Prix sammenheng. Her må nemlig låtene være på max 3 minutter. Har man en låt i 4/4 takt med 60 bpm, kan man altså max skrive 45 takter. ” http://taktogtone1.homestead.com/Takt.html

Anvendelse - Musikkeksempel Kompetansemål – LK06 leke, improvisere og eksperimentere med rim, rytme, språklyder, ord og meningsbærende elementer (Norsk, 2.trinn) samtale om hva som er særegent for et musikkstykke, og hvilke assosiasjoner det kan gi (Musikk, 2.trinn) holde en jevn puls i ulike tempi (Musikk, 4.trinn) gjenkjenne og beskrive klang, melodi, rytme, dynamikk, tempo og form (Musikk, 4.trinn)

De grunnleggende ferdigheter i matematikk Understreker at kompetanse i matematikk (i tillegg til ”å kunne regne”) innebærer å kunne lese og oppfatte skriftlig matematisk innhold å kunne kommunisere matematisk innhold skriftlig og muntlig å kunne bruke digitale hjelpemidler i matematikk

De grunnleggende ferdigheter i matematikk Er avgjørende for å skape bro mellom det teoretiske arbeidet og det praktiske. I forbindelse med enhver aktivitet i matematikk burde vi ha elementer av: lesing skriftliggjøring matematisk samtale

Problemløsing Oppgave observert ved skole i Stokke (blandet 3./4. trinn) Først leste elevene oppgaven: Urg har laget 9 kniver. Tre gutter skal dele disse. Hvor mange får de hver? Deretter fikk de beskjed om å tegne en løsning. Ulike løsninger ble tegnet på tavla med forklaring av hvordan de hadde tenkt. Denne oppgaven observerte jeg nettopp i en 3-4- (blandet)- klasse i Stokke. Læreren jobbet bevisst med strategier for å løse problemer eller grubliser. Først leste de, så spurte læreren hva spørsmålet i oppgaven var. Deretter måtte alle tegne en løsning. Ulike løsninger ble så presentert på tavla (se bildet). Før de ble bedt om å skrive et regnestykke som passet til tegningen og til oppgaveteksten (se neste bilde).

Problemløsing - kniver Ulike løsninger: Denne oppgaven observerte jeg nettopp i en 3-4- (blandet)- klasse i Stokke. Læreren jobbet bevisst med strategier for å løse problemer eller grubliser. Først leste de, så spurte læreren hva spørsmålet i oppgaven var. Deretter måtte alle tegne en løsning. Ulike løsninger ble så presentert på tavla (se bildet). Før de ble bedt om å skrive et regnestykke som passet til tegningen og til oppgaveteksten (se neste bilde).

Problemløsing- kniver Så fikk de beskjed om skriftliggjøring: Skriv et regnestykke som passer til tegningene og oppgaven. Elevene presenterte regnestykkene sine på tavla og ble for hvert regnestykke bedt om: Hvordan var det du tenkte! 3 + 3 + 3 = 9 3 * 3 = 9 9 : 3 = 3

Å kunne kommunisere og reflektere i matematikk Hvordan tenkte du da du løste denne oppgaven? Hvorfor er dette riktig? Kan du begrunne svaret? Hvorfor er det viktig å samarbeide og å snakke sammen i matematikkarbeidet? Hva har du lært i dag? Hvordan lærer du matematikk?

Betydningen av refleksjon Ureflektert ”moromatematematikk” har liten hensikt – leser fra Geir Bottens ”Om reflektert og ureflektert moromatematikk” , Tangenten, 2005

Betydningen av refleksjon Alle aktiviteter i matematikk burde knyttes til refleksjon. Eksempler på spørsmål: Hva vet du om dette fra før? Hvordan tenkte du her? Hvorfor blir det slik? Hva er det egentlig vi har jobbet med i dag? Hva har dere lært i dag? Hva er sammenhengen mellom...? Dewey: ”Learning by doing and reflection.”

Den grunnleggende ferdigheten ”å kunne regne” spesifisert kort i hver fagplan løfte frem matematikken i hvert enkelt fag ...men på fagets premisser koblet til praktisk matematikk være brobygger mellom den teoretiske og den praktiske matematikken forsøkt målt i nasjonale prøver handler også om problemløsing i koblingen mellom matematikk og andre fag

Den grunnleggende ferdigheten ”å kunne regne” Å kunne regne i samfunnsfag innebærer å behandle og sammenligne tallmateriale om faglige tema, og å bruke, tolke og lage tabeller og grafiske framstillinger. Regning i samfunnsfag handler også om å gjøre undersøkelser med telling, bruke målestokk på kart og regne med tid.

Den grunnleggende ferdigheten ”å kunne regne” Kompetansemål i Samfunnsfag, 4.trinn: gjøre samfunnsfaglige undersøkelser som krever telling og regning, og presentere resultatene av undersøkelsene

Den grunnleggende ferdigheten ”å kunne regne” Å kunne regne i mat og helse er viktig i praktisk arbeid med oppskrifter. Det er også viktig for å kunne vurdere nærings- og energiinnhold og sammenligne priser på varer.

Nasjonale prøver Nasjonale prøver i matematikk er ikke en prøve på kompetansemål i matematikk, men en prøve på hvorvidt eleven har den grunnleggende ferdigheten ”å regne”. Mer om dette kan du lese her. (Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen. Det er de som har ansvaret for prøvene.)

Mat og helse – Nasjonale prøver 5.trinn Oppgave 13 Hallvard og Magnus skal lage pizza. De bruker en oppskrift til 4 personer. Pizzadeig: Hvor mange desiliter hvetemel trenger de til 12 personer? A 3 dl B 4,5 dl C 12 dl D 13,5 dl 2 spiseskjeer olivenolje 1,5 dl lunkent vann 0,5 pakke gjær 0,5 teskjeer salt 4,5 dl hvetemel

Mat og helse – Nasjonale prøver 5.trinn Oppgave 16 Nina skal lage suppe til 14 personer. Hver person skal få 4 desiliter suppe. Hvor mange desiliter suppe må Nina lage? A 4 dl B 10 dl C 18 dl D 56 dl

Kroppsøving – Nasjonale prøver 5.trinn Oppgave 24 Et svømmebasseng er 12,5 meter langt. Turid skal svømme 100 meter. Hvor mange lengder på 12,5 meter må Turid svømme? A 4 B 5 C 8 D 10

Kroppsøving Oppgave 30 Hvilken klokke viser ti på sju? 0 6 . 5 0 0 7 . 1 0 0 7 . 5 0 1 0 . 0 7

Eksempel på matematisk problemløsing i Kunst og håndverk Vi har en rull med kantebånd. Det er 5m på rullen. Alle trenger 0,5 m til sitt arbeid. Hvor mange er det nok til? 5 : 0,5 = 10 5 : 1/2 = 10 500 : 50 = 10 0,5 * 10 = 5

Eksempel RLE gjenkjenne kunst og gjøre bruk av estetiske uttrykk knyttet til islam (Kompetansemål, 4.trinn) www.norwichmuslims.org

Eksempel Engelsk finne ord og uttrykk som er felles for morsmålet og engelsk (Kompetansemål, 2.trinn) Multiplication, circle, addition, subtraction, division ....

Morsmål Å kunne regne i morsmål innebærer å utvikle regnekompetansen på førstespråket. Dette innebærer å forstå tall og matematiske begreper. Det dreier seg også om å kunne lese grafiske framstillinger, tabeller og statistikk. Videre dreier det seg om logisk resonnement og problemløsning.

Aktivitet Aktivitet hvor man kan lage figurer i forbindelse med kunst og håndverk: To og to En tenker på en figur Den andre skal finne hvilken ved å spørre ja/nei spørsmål. Ett poeng pr spørsmål. Maks 5 spørsmål pr figur. Gjentaes. Vinner er den med færrest poeng.

Spill – småskoletrinnet Matto: matematikk-bingo (Matematikkdagen 2009, hefte fra LAMIS) Film fra skoleipraksis.no: http://www.skoleipraksis.no/matematikk1-4/pages/filmene/matto.html Hver elev (to og to lærere) lager hver sin oppgave. (Å lage oppgaver selv gir fin trening i å anvende ferdigheten.) Vi trenger 25 oppgaver her. Elevene viser også utregning og svar. Spillbrett deles ut. Oppgavene samles inn. Lærer leser opp alle svar, og elevene setter disse inn på valgfritt sted i rutenettet. Spillet starter, og lærer trekker tilfeldig en og en oppgave som leses høyt. Setter kryss på riktig svar. (Elevene kan jobbe enkeltvis eller to og to). På forhånd avtales hva som skal til for å vinne. For eksempel loddrett, vannrett eller diagonalt. Lærer kan legge inn krav til oppgavene som passer med det temaet man jobber med.

Spill – småskoletrinnet MATTO To og to Lag korte tekstoppgaver med heltallssvar. Skriv oppgaven og svaret på utdelt ark. Lever oppgaven til meg Jeg leser svarene Gruppene fyller inn tallene jeg leser i rutenettet (et tall i hver rute) Jeg leser deretter oppgavene en og en Om å gjøre å få fire (tre hvis vi spiller på 3x3-brettet) på rad først Første gruppe med fire på rad roper MATTO! Film som viser matto i praksis Hver elev (to og to lærere) lager hver sin oppgave. (Å lage oppgaver selv gir fin trening i å anvende ferdigheten.) Vi trenger 25 oppgaver her. Elevene viser også utregning og svar. Spillbrett deles ut. Oppgavene samles inn. Lærer leser opp alle svar, og elevene setter disse inn på valgfritt sted i rutenettet. Spillet starter, og lærer trekker tilfeldig en og en oppgave som leses høyt. Setter kryss på riktig svar. (Elevene kan jobbe enkeltvis eller to og to). På forhånd avtales hva som skal til for å vinne. For eksempel loddrett, vannrett eller diagonalt. Lærer kan legge inn krav til oppgavene som passer med det temaet man jobber med.

For brobygging mellom praktisk arbeid og teori og en helhetlig kompetanse i matematikk Lese Skrive Samtale Ferdigheter Forståelse Anvendelse Refleksjon Matematikk i alle fag Hjelpemidler

Forskning og sitater Lampert: Stiller vi spørsmål som vi virkelig er interessert i svaret på? Som regel er vi interessert i om elevene forstår. Likevel spør vi ofte om svaret på enkeltoppgaver. Singapore: Hva gjør de der som gir gode resultater på TIMSS?

Forskning og sitater ”Jeg forklarer nesten aldri for elevene. Jeg prøver gjennom samtale og spørsmål å lede elevene fram til deres egen oppdagelse.” (Kai Otto Jørgensen, 2007) Forskning: Dess mer tid som blir brukt på individuelt arbeid, dess mindre faglig utbytte. (The International School Effectiveness research Project, Birkemo(2003))

LK06 Vektlegger variert arbeid: Grunnleggende ferdigheter Utforskende Lekende Kreativt Problemløsende Ferdighetstrening Grunnleggende ferdigheter Elevene selv finne fremgangsmåter Kompetansebegrepet: Forståelse  ferdigheter | anvendelse

Hovedpoenger og oppsummering Elever må tenke selv for å lære (elevaktivitet) Vi trenger en verktøykasse med mer enn lukkede oppgaver (variasjon) Den matematiske samtalen er viktig (kommunikasjon)

Hovedpoenger og oppsummering Ferdighet, forståelse og anvendelse bør knyttes til alle kompetansemål Lese, skrive og samtale bør knyttes til alle arbeider i matematikk Learning by doing and reflection Elevene må hjelpes for å se sammenhengen mellom den praktiske og den teoretiske matematikken

Forslag til videre arbeid Finne frem til gode problemløsningsoppgaver Gjør om noen av oppgavene i læreboka til åpne oppgaver Tren på å stille spørsmål som åpner opp for gode samtaler med enkeltelever, smågrupper og med hele klassen Lese artikkel av Geir Botten: ”Om reflektert og ureflektert moromatematikk”, Tangenten, 2/2005 Les artikkelen ”Barns forståelse av ekvivalens” Gå i grupper på tvers av skoler. Idemyldring. Forsøk å tenk på et vi har snakket om i år.

Litteratur Breiteig, T. & Venheim, R. (2005) Matematikk for lærere 1. 4 utg. Oslo, Universitetsforl. Høines, M. J. (1997) Begynneropplæringen. Fagdidaktikk for barnetrinnets matematikkundervisning. 2 utg. Landås, Caspar Forlag. Kunnskapsdepartementet & Utdanningsdirektoratet (2006) Læreplanverket for Kunnskapsløftet.Oslo, Utdanningsdirektoratet. Lampert, M. (1990). When the problem is not the quwation and the solution is not the answer. I Tangenten 1/2008, Breiteigs artikkel. Rockström, B. (2000) Skriftlig huvudräkning : metodbok. Stockholm, Bonnier Utbildning. Skott, J., Jess, K. & Hansen, H. C. (2008) Delta: Fagdidaktik. Frederiksberg, Forlaget Samfundslitteratur. (Matematik for lærerstuderende) Solem, I. H. & Reikerås, E. K. L. (2004) Det matematiske barnet. Landås, Caspar forlag. Botten: Meningsfylt matematikk Botten: ”Om reflektert og ureflektert moromatematikk”, Tangenten, 2/2005 Filmene ligger på nettet: http://www.skoleipraksis.no/matematikk1-4/pages/filmoversikten.html