Perturbation Theory for the Singular Value Decomposition
Problem Hvordan blir SVD påvirket av støy?
Notasjon
Perturbasjonsgrense – Øvre grense for feil Perturbation expansion – Estimat av feil Første ordens pertubation expansion
Normer
Pertubasjonsgrenser
Rang degenerering
Det er andre metoder basert på QR dekomposisjon, som er mindre arbeidskrevende for å finne degenererte matriser
Perturbation expansion Krever –Simple singulærverdier –Liten nok feil
Ser på grensen gitt ved Mirsky Anta at elementene i E er uavhengige med forventning 0 og standardavvik ε
Små singulære verdier
Singulære vektorer Små feil kan gi store utslag for singulærvektorene
Ofte blir singulærvektorene bare brukt som transformasjoner, dermed fører ikke dette til problem. Dersom en er interessert i singulærvektorene i seg selv, kan en se på singulærrom tilhørende lignende singulærverdier.
Kanoniske vinkler Trenger avstandsbegrep for underrom For endimensjonale underrom kan en bruke vinkelen mellom rommene Utvider for høyere dimensjoner
Ønsker å sammenligne U 1 og V 1 med tilsvarende matriser fra ligning med feil
Teorem (Wedin)
Det er tilfeller der en ikke kan bruke Wedin direkte der V 1 er stabil fordi U 1 er ustabil. Kan unngå problemet med å vise at V 2 er stabil, og siden V 2 og V 1 er ortogonale må også V 1 være stabil.