Kap 13 Periodisk bevegelse

Periodisk bevegelse Planet-bevegelse Jord-rotasjon Hjerte-rytme Vann-bølger Elektromagnetiske bølger Atomære svingninger Kloss + Fjær

Periodisk bevegelse Bølger Anvendelser

Enkel harmonisk bevegelse Simple Harmonic Motion (SHM) F = -kx G=mg

Enkel harmonisk bevegelse (SHM) F = -kx Kraft mot høyre Ingen kraft Kraft mot venstre F = -kx

Enkel harmonisk bevegelse A - T - f - ω

Ultralyd Et ultralyd-apparat til bruk for medisinsk diagnose osillerer med en frekvens på 6.7MHz. Bestem tiden T til hver osillasjon (svingning) og vinkelfrekvensen .

Referanse-sirkel Den grønne partikkelen beveger seg med jevn fart rundt i sirkelen og befinner seg hele tiden rett over den rød klossen.

Referanse-sirkel Punktet P er Q’s projeksjon på x-aksen. P beveger seg om ‘likevektspunktet’ O som om P skulle være påvirket av en kraft F = -kx SHM er projeksjonen på diameteren av en uniform sirkulær bevegelse.

Ligninger for SHM Posisjon Klossens posisjon x : Projeksjonen av den grønne kulens posisjon ned på 1.-aksen

Ligninger for SHM Periode, Frekvens Perioden (eller svingetiden) T: Svingetiden for en hel periode Frekensen f : Antall svingninger pr tidsenhet

Bevegelses-ligning Matematisk utledning - Newtons 2. lov - Diff.lign.

Svingetid T - Frekvens f - Vinkelfrekvens 

Eks 13-2 - Fjærkonstant, vinkelhastighet, frekvens, periode En kraft 6.0N gir forflytning 0.030m. En masse 0.50kg plasseres med forflytning 0.020m og slippes. Bestem fjærkonstant, vinkelhastighet, frekvens og periode. F 6.0 N 0.030 m m = 0.50 kg 0.020 m

Energi i SHM

Bevegelsesligning

Posisjon - Hastighet - Akselerasjon

Eksempel 13-4 [1] k = 200 N/m Finn amplitude, fase-vinkel og total energi til bevegelsen. m = 0,50 kg Bestem ligning for posisjon, hastighet og akselerasjon. x0 = 0,050 m v0 = 3,0 m/s

Eksempel 13-4 [2] k = 200 N/m Finn amplitude, fase-vinkel og total energi til bevegelsen. m = 0,50 kg Bestem ligning for posisjon, hastighet og akselerasjon. x0 = 0,050 m v0 = 3,0 m/s

Vertikal SHM + F = -kx For vertikal SHM kan vi benytte den samme formelen F = -kx som for horisontal SHM (dvs vi kan for vertikal SHM se bort fra tyngden) når x betyr forflytning i forhold til likevektstilling for fjær pluss lodd.

Eksempel 13-5 Støtdemperne i en 1000 kg tung bil er defekte. Når en 980N tung person klatrer forsiktig inn i bilen, synker bilen 2.8 cm. Når bilen (med personen ombord) treffer en ujevnhet i veien, begynner den å oscillere (svinge) slik som beskrevet i SHM. Modeller bilen og personen som et enkelt masse-legeme på en enkel fjær slik som vist i figuren og beregn perioden og frekvensen.

Sirkulær SHM θ Kraftmomentet proporsjonal med vinkelen Kraftmomentloven θ

Matematisk pendel (Enkel pendel)

Eksempel 13-6 Bestem periode og frekvens til en enkel pendel med lengde 1.000m. g = 9.800 m/s2. L = 1.000m

Fysisk pendel Kraftmomentet pga G Kraftmomentloven

Eksempel 13-7 Anta at den fysiske pendelen vist på foregående slide er en uniform stav med lengde L = 1.000 m festet i den ene enden. Bestem perioden (svingetiden). L

Eksempel 13-8 L = 1m Mange mennesker har en naturlig ‘gå-frekvens’. Benytt eksempel 13-7 til å bestemme antall naturlige steg pr minutt med 1m lange bein. L = 1m En periode er 2 steg. Derfor: f = 2*1/1.64s=1.2Hz = 72 steg pr min I praksis viser det seg at mennesker med 1m lange bein har en naturlig ‘gå-frekvens’ på 120 steg pr minutt. Dette kan forklares ved at våre bein ikke er noen uniform stav, men har en større del av massen samlet ovenfor kneet enn nedenfor. Dette gir mindre treghetsmoment, derfor kortere svingetid og høyere frekvens.

Eksempel 13-9 Periode for fysisk pendel Treghetsmomentet til et legeme kan bestemmes ved å måle legemets svingetid for små utslag.

Svingninger Svingninger - Frie svingninger - Udempede svingninger - Overdempede svingninger - Kritisk dempede svingninger - Underdempede svingninger - Tvungne svingninger -kx -kx -bv -kx F0cosωt -bv

Frie, dempede svingninger Ved dempede svingninger har vi i tillegg til kraften -kx en kraft -bv som er rettet mot bevegelsen og som er proporsjonal med farten v. F = ma Newtons 2.lov og bremsekraft proporsjonal med hastighet -kx -bv

Frie, dempede svingninger Underdempet -kx -bv

Dempet svingning - Støtdempere Øvre sylinder-del, som er relativ stasjonær, er festet til bilkarosseriet. Nedre sylinder-del er festet til bilakselen. Sylindervesken forårsaker en dempnings-kraft som avhenger av relativ hastighet til nedre og øvre sylinder-del. Støtdemperene tar derfor av for ujevnheter i veibanen. Dempningen bør være kritisk eller svakt underdempet. Ved slitte støtdempere avtar dempningen b. Dette gir ubehag ved kjøring pluss større risiko fordi hjulene får mindre kontakt med veibanen.

Dempet svingning - Tap av mekanisk energi

Tvungne svingninger Ytre påtrykt kraft F0cosωt F = ma Newtons 2.lov Bremsekraft proporsjonal med hastighet Ytre påtrykt harmonisk kraft -kx F0cosωt -bv

Tvungne svingninger Resonans - Stor amplitude A Amplituden vokser når  nærmer seg 0

Tvungne svingninger Resonans - Bro-kollaps Bro som kollapser pga vindkast. Broen bør ikke ha en egenfrekvens som samsvarer med frekvensen til vindkastene.

END