Integrasjon i vektorfelt

Vektorfelt Innledning Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i rør, blodårer, hjertekamre - Varmestrøm - Transmisjonskabler - Gravitasjon - Elektromagnetisme - Mobilkommunikasjon - Statistikk - … Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Vektorfelt Innhold Linje-integral Vektorfelt, arbeid, sirkulasjon of fluks Vei-uavhengighet, potensial-funksjon, og konservative felt Flate-integraler og flate-areal Parameteriserte flater Greens teorem Stokes teorem Divergens teorem

Vektorfelt Def Et vektorfelt er en funksjon som til hvert punkt i sitt domene (def.mengde) tilordner en vektor Værkart Væskestrøm Flyvinge Gravistasjonsfelt Skrått kast Elektrisk / Magnetisk felt Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Vektorfelt Maxwells ligninger Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Kurve-integral Def C en kurve i rommet b z C en kurve i rommet r = r(t) en glatt parameterfremstilling av kurven C f en kontinuerlig funksjon på C C a r(t) y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Hvis f er massetetthet, så beregner vi massen av kurven Hvis f er lik 1, så beregner vi lengden av kurven

Kurve-integral Eks 1 En glatt parameterisering av C z En glatt parameterisering av C (1,1,1) C y x Integrer f(x,y,z) = x – 3y2 + z over linjesegmentet C som forbinder origo med punktet (1,1,1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Kurve-integral Eks 2 Finn massen av wiren r(t) = [t,t2] t  [0,2] y C x Finn massen av wiren r(t) = [t,t2] t  [0,2] Massetettheten er (x,y) = 2x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Kurve-integral Masse - Massesenter - Treghetsmoment Første moment om koordinatplan Massesenter Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Treghetsmoment Gyrasjonsradius

Kurve-integral Massesenter - Eks Bestem massesenteret til en halvsirkel-periferi y2+z2 = 1 z  0 Massetettheten er gitt ved: (x,y,z) = 2 - z Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Innledning F s F s F ds F C dr r Konstant kraft i samme retning som rettlinjet forflytning s F Konstant kraft danner en konstant vinkel med rettlinjet forflytning s F Varierende kraft danner en varierende vinkel med rettlinjet forflytning Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. ds F C Varierende kraft danner en varierende vinkel med forflytning langs en kurve dr r

Arbeid Def F T C dr r Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Alternative former F = [ F1, F2, F3 ] T C dr r = [ x, y, z ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 1 - Alternativ 1 z En glatt parameterisering av C (1,2,3) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 1 - Alternativ 2 z En glatt parameterisering av C (1,2,3) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 1 - Alternativ 3 z En glatt parameterisering av C (1,2,3) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 2 - Alternativ 1 En glatt parameterisering av C z (1,1,1) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ] langs kurven r(t) = [ t, t2, t3 ] 0 t 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Arbeid Eks 2 - Alternativ 2 En glatt parameterisering av C z (1,1,1) C y x Bestem arbeidet utført av kraften F = [ y - x2, z - y2, x - z2 ] langs kurven r(t) = [ t, t2, t3 ] 0 t 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Strømning og Fluks 2D - Innledning C T Studier av et vektorfelt F i retning langs enhetstangentvektoren T F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks C F Studier av et vektorfelt F i retning langs enhetsnormalvektoren n n

Strømning 2D - Def F representerer et kontinuerlig vektorfelt r en glatt parameterisering av C F Strømning T C dr r Strømningen S kalles en sirkulasjon hvis kurven C er lukket Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C

Strømning 2D - Alternative former F representerer et kontinuerlig vektorfelt r en glatt parameterisering av C F Strømning T C dr r Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fluks 2D - Def F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C k C Fluks i retning n T n F Fluks beskriver feltlinjers krysning med en kurve C. Når positiv retning på C er valgt ( T ), bestemmes positiv fluks ved at feltlinjene har komponent i retning av enhetsnormalen n gitt ved: n = T x k Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fluks 2D - Alternative former F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C k C T n F Fluks beskriver feltlinjers krysning med en kurve C. Når positiv retning på C er valgt ( T ), bestemmes positiv fluks ved at feltlinjene har komponent i retning av enhetsnormalen n gitt ved: n = T x k Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks i retning n

Fluks 2D - Lukket kurve F = [ F1, F2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C C k T n F Med definisjon av fluks, ser vi at for en lukket kurve i xy-planet med positiv omløpsretning mot urviseren, vil enhetsnormalen n alltid peke ut av det omsluttede kurve-området. Dermed vil nettofluksen som krysser kurven være positiv når det går mer fluks ut enn inn av det omsluttede kurve-området. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks i retning n

Strømning - Fluks 2D - Oppsummering C T Strømning F F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks F k C T n F

Strømning Eks: Flytting av partikkel i tyngdefelt g Tyngdefelt (tyngdeakselerasjon) m Masse av partikkel som skal flyttes g T s Vektorfelt: C Arbeid utført av tyngdefeltet ved flytting av partikkelen over en strekning s av linjestykket C: g T C Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C s g g T Strømning: Arbeid utført av tyngdefeltet ved flytting av partikkelen langs kurven C

Strømning Eks: Flytting av ladning i elektrisk felt E Elektrisk felt q Ladning på partikkel som skal flyttes E T Vektorfelt: s C Arbeid utført av det elektriske feltet ved flytting av den ladde partikkelen over en strekning s av linjestykket C: E T s C Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. E ds Strømning: Arbeid utført av det elektriske feltet ved flytting av partikkelen langs kurven C T C

Fluks Eks: Vannmengde som passerer en linje / kurve C v Vannhastighet  Vanntetthet (masse pr areal) s v Vektorfelt: l = vt Vannmengde som pr tidsenhet passerer over en strekning s av linjestykket C: v C s n l = vt Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. v C n ds Fluks: Vannmengde som pr tidsenhet passerer en kurve C

Del-operator Definisjon og anvendelse Gradient Retningsderivert Divergens Fluks Curl Sirkulasjon / Rotasjon Del-operator Gradient Divergens Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Curl

Curl Sammenheng mellom curl og rotasjon Posisjon Hastighet Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Konservativt vektorfelt Vei-uavhengighet F definert i et åpent område D i rommet. B La være uavhengig av alle veier mellom A og B for alle A,B  D. A Vi sier da at integralet er vei-uavhengig. Vi sier videre at F er konservativ og at vektorfeltet er konservativt. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Potensial-funksjon F definert i et åpent område D i rommet. Hvis det finnes en skalar-funksjon f som er slik at F =  f F er gradienten til f så kalles f for en potensial-funksjon til F og vektorfeltet kalles for et gradientfelt. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Gradientfelt og vei-uavhengighet F definert i et åpent område D i rommet. Bevis del 1: Anta at det finnes en f slik at F =  f. Det finnes en f slik at F =  f vei-uavhengig Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. dvs, integralet er vei-uavhengig, kun avhengig av endepunktene.

Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver F definert i et åpent område D i rommet. Bevis: F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C2 B C1 A

Gradientfelt og curl F definert i et åpent område D i rommet. Bevis 1: F gradientfelt  curl F = 0 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Gradientfelt og eksakt differentialform F = [ F1, F2, F3] definert i et åpent område D i rommet. Uttrykket F1dx + F2dy + F3dz er en differential form. Differentialformen kalles eksakt hvis det finnes en skalar funksjon f slik at Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt F definert i et åpent område D i rommet. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Konservativt vektorfelt Eks 1 - Oppgave F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ] 1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig) 2. Bestem en potensialfunksjon til F 3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Konservativt vektorfelt Eks 1 - Løsning [1/3] F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ] 1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Konservativt vektorfelt Eks 1 - Løsning [2/3] F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ] 2. Bestem en potensialfunksjon til F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Konservativt vektorfelt Eks 1 - Løsning [3/3] F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ] 3. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Konservativt vektorfelt Eks 2 - Oppgave 1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt 2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene: A (1,1,1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. B (2,3,-1)

Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [1/4] 1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt

Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [2/4] 2. Bestemmelse av potensialfunksjon f Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [3/4] F = [ y, x, 4] 2. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1) A (1,1,1) F B (2,3,-1) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [4/4] 2. Integralet kan også løses direkte A (1,1,1) F A B (2,3,-1) B Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Divergens (Flukstetthet) Curl (Sirkulasjonstetthet) Strømning T n F Divergens Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. dA dC C A k Curl T n F

Divergens (Flukstetthet) Def - 2D [1/3] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Divergens (Flukstetthet) Def - 2D [2/3] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Divergens (Flukstetthet) Def - 2D [3/3] C A B Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Divergens (Flukstetthet) Eks 1 - Fortegn - 2D Ekspanderende gass i punktet (x0,y0) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Komprimerende gass i punktet (x0,y0)

Divergens (Flukstetthet) Eks 2 - 2D Finn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Curl (Sirkulasjonstetthet) Def - 2D [1/3] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Curl (Sirkulasjonstetthet) Def - 2D [2/3] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Curl (Sirkulasjonstetthet) Def - 2D [3/3] B Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Curl (Sirkulalsjonstetthet) Eks 1 - Fortegn - 2D Rotasjon mot klokka i punktet (x0,y0) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Rotasjon med klokka i punktet (x0,y0)

Divergens (Flukstetthet Curl (Sirkulasjonstetthet) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Curl C A T F

Curl (Sirkulasjonstetthet) Eks 2 - 2D Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Ingen rotasjons-tendens

Curl (Sirkulasjonstetthet) Eks 3 - 2D Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ -y, x ] Finn k-komponenten av curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 – y, xy – y2 ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Rotasjons-tendens

Curl (Sirkulasjonstetthet) Eks 4 - 2D Finn k-komponenten av curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x2 – y, xy – y2 ] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Curl (Sirkulasjonstetthet) Fysisk tolkning av curl - 2D Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. F curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjon rundt randen til R. curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt. curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.

Greens teorem Def - 2D Fluks - Divergens - Normalform Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.

Greens teorem Def - 2D - Fig F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Fluks - Divergens - Normalform C R n F Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C R T F

Greens teorem Def - 2D Normalform F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Fluks - Divergens - Normalform C R n F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Normalformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C, dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av divergensen til F over det indre området R av kurven C, dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.

Greens teorem Def - 2D Tangentiellform F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form C R T F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C, dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C, dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R.

Greens teorem Def - 2D - Part F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Fluks - Divergens - Normalform C R n F Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C R T F

Greens teorem Bevis-skisse - Curl / Div - 2D y III Ci,j+1 Ci+1,j+1 IV Ri,j II RP Ci,j Ri,j Ci+1,j I x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Bevis-skisse - Curl - 2D y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. III IV Ri,j II I

Greens teorem Bevis-skisse - Div - 2D C y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. III IV Ri,j II I

Greens teorem Fysisk tolkning - Uten hull Green - Fluks - Divergens - Normalform R C Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. R C

Positiv og negativ fluks Def - 2D - Fig Green - Fluks - Divergens - Normalform Flom Positiv fluks Uttapping av vann Negativ fluks Elektrisk felt Positiv fluks / Negativ fluks Elektrisk felt Null fluks Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. E

Greens teorem Eks 1 - 2D Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ] over området R begrenset av sirkelen C: r(t) = [ cost, sint] 0  t  2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Normalform Fluks Tangentialform Sirkulasjon

Greens teorem Områder med hull - 2D [1/2] C1 y R x C1 C11 y Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. R1 C21 C2 A B J2 J1 C22 R2 C12 x

Greens teorem Områder med hull - 2D [2/2] C1 C11 y R1 C21 C2 J2 1 hull J1 C22 R2 C12 x C y R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C1 C3 n hull C2 x

Greens teorem Fysisk tolkning - Med hull n hull Green - Fluks - Divergens - Normalform R C Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. R C

Greens teorem Områder med hull - Eks - 2D [1/3] y C Ca Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. x

Greens teorem Områder med hull - Eks - 2D [2/3] y C Ca x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Områder med hull - Eks - 2D [3/3] y C Ca x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Eks - 2D [1/4] Uten Greens teorem y III C 1 IV II I 1 x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Eks - 2D [2/4] Med Greens teorem (normal/tangential) I tillegg til direkte beregning, kan integralet beregnes vha Greens teorem, enten vha fluks- eller sirkulasjons-betraktninger. y III C 1 IV II I 1 x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks Sirkulasjon F = [ xy, y2 ] F = [ -y2,xy ]

Greens teorem Eks - 2D [3/4] Normalform y III C 1 IV II I 1 x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Eks - 2D [4/4] Tangentiellform y III C 1 IV II I 1 x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Eks - Kurve C [1/4] Tangentiellform Bestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planet som gir minimumsverdi av følgende integral: C2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C1 C3

Greens teorem Eks - Kurve C [2/4] Tangentialform Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Eks - Kurve C [3/4] Tangentialform Siden integranden i dobbeltintegralet over R er null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen C og negativ innenfor ellipsen C, så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdi når området R er området innenfor den gitte ellipsen C. Ellipsen C C2 R2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C1 C R1 R R3 C3

Greens teorem Eks - Kurve C [4/4] Tangentialform Ellipsen C Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C C

Greens teorem Areal som sirkel-integral - Innledning y Arealet av et område R i planet er gitt ved: R C Vi skal se hvordan vi vha Greens teorem kan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integral langs konturen av området. Det finnes uendelig mange slike formler. x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Dette betyr at det er mulig å bestemme arealet av et område ved å bevege seg rundt området når vi til enhver tid kjenner til hvor langt vi beveger oss og i hvilken retning vi beveger oss.

Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 1 Greens teorem (tangentiell form): y R Arealet av området R: C Greens teorem (tangentiell form) beregner arealet av R hvis: x Mulig løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 2 Greens teorem (tangentiell form): y R Arealet av området R: C Greens teorem (tangentiell form) beregner arealet av R hvis: x Mulig løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 3 Greens teorem (tangentiell form): y R Arealet av området R: C Greens teorem (tangentiell form) beregner arealet av R hvis: x Mulig løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 1 Beregn arealet av et rektangel med sider a og b y III C b IV II Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. I a x

Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 2 Beregn arealet av en sirkel med radius a y C a x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Flate-integral Areal - Def z S beskrevet av nivåflaten f(x,y,z) = c Planområdet R er projeksjonen av S (på figuren projeksjonen ned i xy-planet) p enhetsnormalvektor på planområdet R S p y R x Arealet av S er gitt ved: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Flate-integral Areal - Bevis [1/2] P R Q p P’ S’ A Q’ R’ PQRS parallellogram p enhetsnormalvektor på flaten A Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Flate-integral Areal - Bevis [2/2] p p f Pk S R Ak Ak Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Flate-integral Areal - Eks Finn arealet av paraboloideflaten x2 + y2 – z = 0 når paraboloiden kuttes av planet z = 4. La f(x,y,z) = x2 + y2 – z. Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0. 4 S Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.  R

Flate-integral Areal - Spesialtilfeller Flate z = f(x,y) La F(x,y,z) = z – f(x,y) S er da gitt ved nivåflate F(x,y,z) = 0 4 S  R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Flate-integral Def S Flate gitt ved f(x,y,z) = c dS S S Flate gitt ved f(x,y,z) = c g Kontinuerlig funksjon på S R Projeksjonen av S p Enhetsnormal på R p dA R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fluks 3D - Def S Flate gitt ved f(x,y,z) = c F 3-dim vektorfelt n S dS S Flate gitt ved f(x,y,z) = c F 3-dim vektorfelt R Projeksjonen av S p Enhetsnormal på R p dA R Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fluks 3D - Eks Finn fluksen av F = [ 0, yz, z2 ] ut av flaten S avkuttet fra sylinderen y2 + z2 = 1, z  0 og planene x = 0 og x = 1. z n F y Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. x

Masse, moment og massesenter til tynne skall Def Treghetsmoment Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Gyrasjonsradius

Massesenter til tynne skall Eks Finn massesenteret til et tynt halvkuleskall med radius a og konstant massetetthet . z S y R x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Parameteriserte flater Def Kurve Flate b z C a r(t) y [ ] t x z v Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. S r(u,v) u y x

Parameteriserte flater Areal v v D (u,v) u u A R A Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Parameteriserte flater Flate-integral v v D (u,v) u u A R A Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Parameteriserte flater Flate-integral - Spesialtilfeller - Def Kartesiske koordinater Sylinder-koordinater Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Kule-koordinater

Parameteriserte flater Eks 1 - Kjegle z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

Parameteriserte flater Eks 2 - Kule z S r(t) y x z Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.   y  x

Parameteriserte flater Eks 3 - Sylinder z S r(t) y x z Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. S r(t) y 3 x

Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [1/4] Beregn arealet av kjegleflaten 1 Nivåflate z 2 Spesialtilfelle 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x 3 Parameterisering

Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [2/4] 1 Nivåflate z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [3/4] 2 Spesialtilfelle z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [4/4] 3 Parameterisering z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

Parameteriserte flater Eks 5 - Flate-integral over kjegleflate Bestem integralet av G(x,y,z) = x2 over kjeglen z 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. r(t) S y  x

Greens teorem Def - 2D Green - Div Green - Curl Green - Fluks - Divergens - Normalform C R n F Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. C R T F

Gauss / Stokes teorem Def - 3D Gauss - Div Gauss / Stokes teorem Def - 3D Stokes - Curl Gauss - Divergens z S n D F y x Stokes - Curl n z Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. S C T F y x

Gauss / Stokes teorem Bevis-skisse Gauss - 3D Gauss - Div Stokes - Curl z S n D F y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. St Sb

Gauss / Stokes teorem Bevis-skisse Stokes - 3D Gauss - Div Gauss / Stokes teorem Bevis-skisse Stokes - 3D Stokes - Curl n z S C T F y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. E A D B C

Green - 2D Gauss / Stoke - 3D Green’s teorem - Stoke’s teorem 2D 3D Gauss Divergens Green - Normalform Stoke Green - Tangensialform Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Stokes Curl

Green / Gauss / Stokes Def - 2D - 3D Green - Divergens Green - Curl 3D Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Gauss - Divergens Stokes - Curl

Stokes Maksimal sirkulasjon Stokes - Curl Maksimal sirkulasjon når n er parallell med curl F Vektorfelt Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Maksimal sirkulasjon i dette planet

Stokes teorem Eks 1 - Verifisering Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data: Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ] Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9 z  0 Rand : C : x2 + y2 = 9 z S C R y F x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Stokes teorem Eks 1 - Sirkulasjon Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data: Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ] Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9 z  0 Rand : C : x2 + y2 = 9 z S C R y F x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Stokes teorem Eks 1 - Flateintegral 1 z S C R y F x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Stokes teorem Eks 1 - Flateintegral 2 Velger S2: x2 + y2  9 som ny flate. Også denne flaten har C som rand. z S S2 C R y F x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Stokes teorem Eks 2 - Sirkulasjon Finn både direkte og vha Stokes teorem sirkulasjonen av F = [ x2-y, 4z, x2 ] langs (mot klokka) kurven C fremkommet ved skjæring av planet z = 2 med kjeglen z = x2 + y2 z F C 2 y  x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Stokes teorem Eks 2 - Flateintegral 1 - S: Kjeglesideflate z 2 F n S y  x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Stokes teorem Eks 2 - Flateintegral 2 - S: Kjegletoppflate z n = [0,0,1] F S 2 y  x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Stokes teorem Eks 3 - Oppgave Bruk Stokes teorem til å beregne for F = [ xz, xy, 3xz ] hvor C er randen av den delen av planet 2x + y + z som befinner seg i første oktant og C gjennomløpes i retning mot klokka sett ovenfra. z (0,0,2) F C (0,2,0) (1,0,0) y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Stokes teorem Eks 3 - Løsning z (0,0,2) F C n (0,2,0) (1,0,0) y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Gauss teorem Eks 1 Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet) z Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet) for F = [ x, y, z ] over kula x2 + y2 + z2 = a2. F a S n y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Gauss teorem Eks 2 Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ] ut av kubus-flaten i første oktant begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1. z S F D n y x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

END