23 Finn ligningen for det planet  som inneholder linja x = -1 + 3t y = 5 + 2t z = 2 – t og er vinkelrett på planet  2x – 4y + 2z = 9  normalvektor ( 2 -4 2) Punkt i planet er punktet på linja p = (-1 5 2) To løsningsmetoder. Studer dem nøye. De kan brukes i lignende oppgaver Normalvektor n = (a b c) til planet  er ortogonal til u og v  n  u = 0  n  v = 0 (a b c)  (3 2 -1) = 0  (a b c)  (2 -4 2) = 0 3a + 2b –c = 0 2a -4b + 2c = 0 (ganger 1. ligning med 2 og summerer) 8a = 0  a = 0 2b – c = 0  b = 1  c = 2 passer i ligningen  n = ( 0 1 2) Planligningen: n  x = n  p ( 0 1 2)  (x y z) = ( 0 1 2)  (-1 5 2) y + 2z = 9 To vektorer i planet: u = (3 2 -1) og v = (2 -4 2) Vektorligning for  x = p + su + t v Parameterfremstilling for  x = -1 + 3s + 2t y = 5 + 2s – 4t z = 2 – s + 2t Finner ligningen for planet ved å eliminere s og t (prøv selv) y + 2z = 9

24 Finn ligningen for det planet om går gjennom punktet (2 4 -1) og inneholder skjæringslinja mellom planene x – y – 4z = 2 og -2x + y + 2z = 3 Finne skjæringslinje mellom to plan To ligninger med 3 ukjente: velge f eks z som parameter og setter z = t x – y – 4z = 2  y = x – 2 – 4z sett inn i den andre ligningen -2x + y + 2z = 3 Da får vi denne parameterfremstillingen for linja x = -5 – 2t y = -7 – 6t z = t Da har vi en vektor og to punkter i planet. Vektoren er retningsvektoren for linja u = (-2 -6 1) Punktene er (2 4 -1) og punktet på linja (-5 -7 0) Bruker de to punktene til å finne en vektor til v = (7 11 -1) Deretter følges fremgangsmåte fra oppgave 23

Tips til de andre oppgavene Oppgave 26: En linje som er parallell med to plan er parallell med skjæringslinja mellom dem. Se oppgave 24. Oppgave 27: Et plan som er vinkelrett på to andre plan må ha normalvektor lik retningsvektor for skjæringslinja mellom planene. Finn den først, se oppgave 24. Oppgave 30: To linjer er parallelle hvis retningsvektorene er parallelle. Finn en vektor til i planet utfra punktene på linjene. For øvrig som oppgave 23. LYKKE TIL Oppgave 32: Her finner vi en vektor til i planet ved å finne skjæringslinja. Laila Oppgave 34: En linje er parallell med et plan hvis planets normalvektor og linjas retningsvektor er ortogonale. Oppgave 39: Sett inn i formel.

30 Vis at linjene L og M er parallelle og finn en ligning for det planet de bestemmer L x = 3 – 2t y = 4 + t t = 1 – t M x = 5 + 2t y = 1 - t t = 7 + t To linjer er parallelle hvis retningsvektorene er parallelle. Retningsvektorer: al = (-2 1 -1) vi ser at am = (-1)al  am || al am = (2 -1 1)  L || M Trenger en vektor || retningsvektorene Vektor mellom punktene på de to linjene: pl = (3 4 1)  pm = (5 1 7) u = pm - pl = (2 -3 6) Normalvektor for planet n || am x u = = (-3 -10 -4) Bruker n = (3 10 4) Ligning for planet: n  x = n  pl (3 10 4)  (x y z) = (3 10 4)  (3 4 1) 3x + 10y + 4z = 53 Anton

25 Vis at punktene a = (-1 -2 -3), b = (-2 0 1), c = (-4 -1 -1) og d = (2 0 1) ligger i samme plan. 3 vektorer mellom punktene: u = a – b = (1 -2 -4) v = a – c = (3 -1 2) w = a – d = (-3 -2 -4) p = u x v = = (0 -10 5) pu  p  v Hvis p  w ligger alle punktene i samme plan dvs p  w = 0 p  w = (0 -10 5)  (-3 -2 -4) = 20 – 20 = 0 VIST!

33 Finn ligningen for et plan hvor alle punkter i planet har lik avstand fra punktene P = (-1 -4 -2) og Q = (0 -2 2) Planet ligger midt mellom P og Q og vinkelrett på PQ n = PQ = (1 2 4) er normalvektor til planet Planets ligning: ax + by + cz = d P Q A d Avstandsformelen: PQ skjærer planet i A  d = PA = QA d Planet sett fra siden   |-17 – D| = | 4 – D| -17 – D = 4 – D  -17 –D = -4 + D (to muligheter fordi det er absoluttverdi)   ingen løsning D = -13/2  planets ligning: 2x + 4y + 8z = -13 

35 Vis at linjene L og M skjærer hverandre og finn skjæringspunktet L x – 3 = 4t y – 4 = t z – 1 = 0 M x + 1 = 12t y – 7 = 6t z – 5 = 3t Skriver om ligningene slik L x = 3 + 4t y = 4 + t z = 1 M x = - 1 + 12s y = 7 + 6s z = 5 + 3s Setter koordinatene lik hverandre 3 + 4t = - 1 + 12s 4t - 43s = -4  4t – 4(-4) = -4  4t = - 20  t = -5 4 + t = 7 + 6s t - 23s = 3  t – 2(-4) = 3  t = -5 1 = 5 + 3s  3s = -4 Samme verdi for t  L||M Skjæringspunkt: x = 3 + 4t = -17 y = 4 + t = -1 z = 1

36 Finn ligningen for planet som inneholder linjene i oppgave 35 Punkt Retningsvektor L x = 3 + 4t y = 4 + t z = 1 (3 4 1) u =(4 1 0) M x = - 1 + 12s y = 7 + 6s z = 5 + 3s (-1 7 5) (12 6 3) setter v = (4 2 1) Normalvektor til planet: n = u x v = = (1 -4 4) Punkt i planet: p = (-17 -10 1) Ligning for planet: n  x = n  p (1 -4 4)  (x y z) = (1 -4 4)  (-17 -1 1) x - 4y + 4z = -9

40  Finn avstanden mellom de to parallelle planene a) 3x – 4y + z = 1 og 6x – 8y + 2z = 3 b) -4x + y -3z = 0 og 8x – 2y + 6z = 0 c) 2x –y + z = 1 og 2x –y + z = -1 Avstanden mellom to parallelle plan: finn et punkt i det ene planet og sett inn i avstandsformelen for det andre planet. a) 3x – 4y + z = 1 og 6x – 8y + 2z = 3 Vi ser at f eks punktet (0 0 1) passer i det første planet. 