Tema 1& 2 : Lineær Bølgeteori & Bølgekrefter Slanke konstruksjoner Storvolum konstruksjoner https://www.youtube.com/watch?v=lfaBqMzJ9sc https://www.youtube.com/watch?v=5LRH1JiLfWM

Tema 1& 2 : Lineær Bølgeteori & Bølgekrefter Regulær & Irregulær sjø H ξa ξ ~ Beskrive / matematisk modell for en regulær bølge basert på lineær bølgeteori. Lineærbølgeteori: proporsjonalitet i bølgehøyde/bølge amplitude Senere –> irregulær bølgeteori

Tema 1& 2 : Lineær Bølgeteori & Bølgekrefter Regulær & Irregulær sjø λ H ξa ~ Beskrive / matematisk modell for en regulær bølge basert på lineær bølgeteori. Lineærbølgeteori: proporsjonalitet i bølgehøyde/bølge amplitude Senere –> irregulær bølgeteori

https://www.youtube.com/watch?v=NShUBfJQEHk

Repetisjon – Fluid mekanikk (eller forskuttering)

Regulære bølger – «observasjoner» Overflateheving varierer i tid(s) og rom(m) Vannpartiklene beveger seg i lukkete baner Bevegelsen avtar med dypet Dypt nok – bevegelsen dør ut Ikke dypt nok – bevegelsen flater ut og -> horisontalbevegelse ved bunn. Partikkelbevegelse i lukkete baner -> ingen massetransport Vi har en bølgeforplantning/bevegelse -> energitransport Ikke brytende bølger -> Smax = H/λ < 1/7 Antar lave bølger

Partikkelbaner – variasjon i tid og rom Variasjon i rom Variasjon i tid

2-dimenjonale bølger - Definisjoner

Hyperbel funksjoner y=x y=1 eller:

2-dimenjonale bølger - Definisjoner

Hastighetspotensialet – Ø så langt: og i tillegg:

Hastighetspotensialet - Ø Fra dynamisk betingelse ved overflaten (3) – løsning: Grensebetingelsen på bunnen – krav 2): Bernoulli gir (3): Kinematisk betingelse (4): Der overflatehevingen er gitt ved : Dispersjonsrelasjonen

Dypt vann Bruker uttrykkene for hyperbelfunksjonene: -> 1 for store kh = 1,56 * T2

Hastighetspotensialet Ф – avledete størrelser (om vi har et uttrykk for Ф)

Eksempel 1 og 2

Partikkelbevegelsen b a

Vannpartiklenes baner z x r = ζaekz Og: k=2π/λ Lange bølger (λ-> stor) merkes dypere enn kortere bølger (λ-> stor) Når z -> λ/2 går r -> 0 λ-> liten λ-> stor

Partikkelbevegelsen Frem og tilbake langs bunnen Ellipse Sirkler

Partikkelbaner – lukkete baner (sirkler – ellipse) Dypvannsbølge Endelig vanndyp h > 0,5 Lw 0,05 Lw < h < 0,5 Lw https://www.youtube.com/watch?v=NShUBfJQEHk

Hastighetspotensialet Ф – avledete størrelser (om har vi har et uttrykk for Ф)

Formler - hittil:

Variasjon i størrelser av interesse Overflateheving ζ: cos(*) Dynamisk trykk pd: cos(*) Horr. part. hast. u: cos(*) Vert. part. hast. w: sin(*) Horr. part. aks. ax: sin(*) Vert. part. aks. az: -cos(*)

Variasjon i størrelser av interesse - observasjoner Horisontal partikkelbevegelse positiv under bølgetopp dvs partiklene i en bølgetopp beveger seg i samme retning som bølgens forplantningshastighet. Max. horisontal partikkelhastighet under bølgetopp / bølgedal Max. horisontal partikkelakselerasjon opptrer når bølgen er i stillevannsnivå

Gruppehastighet Overlagrer to bølger med nesten samme bølgetall og sirkelfrekvens.

Trykket under dypvannsbølger Eulers trykkligning: Lave bølger Statisk trykk Statisk trykk Dynamisk trykk

Formler - hittil: Lineær Bølgeteori – proporsjonalitet med ξa

Eksempel 1 og 2 S λ, Cw

Overflate Midtdyp ~ Bunn Vanndyp

Variasjon i størrelser av interesse – resulterende partikkelhastighet Overflateheving ζ: cos(*) Dynamisk trykk pd: cos(*) Horr. part. hast. u: cos(*) Vert. part. hast. w: sin(*) Horr. part. aks. ax: sin(*) Vert. part. aks. az: -cos(*)

Energitranport i bølger Euler Bølgeenergien vandrer med gruppehastigheten Dynamiske trykket Energistrøm gjennom veggen

Eksempel 6 Bølgetog av regulære bølger: T=12s, H=8m Hva blir energitransporten /Effekten mot en strand med bredde 1km?

Eksempel 7 – Lekter. Bøyemoment som følge av dynamisk trykk En kasseformet lekter har lengde L=100m, bredde B=25m og dypgang d=5m. Lekteren ligger i en sinusbølge med bølgehøyde H=8m og bølgelengde lik lekterens lengde. Bergen bøyemomentet midtskips fra det dynamisk trykket Løs eksakt og vha numerisk integrasjon (Simpson & MATLAB) Bølge H: 8m Lekter Bredde B: 25m Lekter Lengde L: 100m Lekter dypgang d: 5m Bølgelengde λ = L L

Bølgekrefter T=15s

Bølgekrefter Froude-Kriloff trykket: Bølgehevning: Totale trykket: Velger 2 tidspunkt, t=0 og t=T/4=3.75s Totale trykket: Hvor p0 er atmosfæretrykket

Lineær bølgeteori - gyldighet H/gT2 Bølgebratthet : H/gT2 & Gruntvannstall: h/gT2 Ayri teori -> usymmetri i bølgene -> grundtvannsbølger (havvind) Vanndyp: 17-22m Diameter i vannsøylen: 4-5m Tårn 60m, totalhøyde 80m Pelet 23-37m ned i grunnen Utmatting en hovedutfordring.

Eksempel 7 - løsning

Drag- og Massekraft dominans Antar konstant CM og CD i dyp Hhv 2.0 og 1.0

Morisons Ligning dFD = Viskøs kraft hvor u= ax Viskøs kraft hvor u= I tillegg får vi trykkrefter: dFD = D Totalkraften:

Morisons ligning

Eksempel 8 – Morisons ligning Beregning av krefter på en vertikal pel: Beregne og besvar følgende: a) Amplitudene for akselerasjon og hastighet på aktuelt punkt på pelen b) Amplitudene for drag krafta og volumkrafta c) Tegn opp tidsfunksjonene, og bestem største totale kraft

Drag- og Massekraft dominans

Hydrodynamisk Last /1/ Morisons Ligning – grunt vann H/gT2 Bølgebratthet : H/gT2 & Gruntvannstall: h/gT2 Ayri teori -> usymmetri i bølgene -> grundtvannsbølger (havvind) Vanndyp: 17-22m Diameter i vannsøylen: 4-5m Tårn 60m, totalhøyde 80m Pelet 23-37m ned i grunnen Utmatting en hovedutfordring.

Eksempel – krefter på en pel. H/D og L/D?

Eksempel 1 – Enkel søyle /3/ Gjelder Morisons ligning? L/D=50 (>5) H/D=3 (<10) Z(m) u(z,t) a(z,t) 3,14 1,97 -2 2,90 1,81 -4 2,68 1,68 -6 2,47 1,55 -8 2,28 1,43 -10 2,10 1,32 -12 1,94 1,22 L/H= 1.57*10*10/2*5=52 (>> 5), dvs Morison gjelder. H/D= 2*5/3=3,3 (< 10) dvs volumkraftdominert Morison

Eksempel 2– teoretisk beregning av en jacket Eksempel 2– teoretisk beregning av en jacket. Kansellering & Drag bidrag /5/ Ren teori – ingen ting om godhet mot virkeligheten! W=2*pi/T -> T(s)=2*pi/w Hoveddiameter: 2m, Stagdiameter: 1.2 – 1.4m L=1.57*T*T Vanndyp 110m, 27m x 54m ved dekk. W=1.6 -> L=25m W=0.8 -> L=100m W=0.3 -> L=400m