Trigonometriske funksjoner

Presentasjon om: "Trigonometriske funksjoner"— Utskrift av presentasjonen:

1 Trigonometriske funksjoner
y (x, y) Vinkel θ måles i radianer Θ = buen/radien = b/r r y 2π = 360o eller π = 180o θ x 2π / 360o = radiantall/gradetall eller π / 180o = radiantall/gradetall x sinθ = y/r og cosθ = x/r og tanθ = y/x = sinθ/cosθ I enhetssirkelen er r = 1 slik at sinθ=y og cosθ=x og tanθ=y/x

2 Trigonometriske funksjoner 2
Periode 2π cosθ=cos(-θ) partall funksjon Periode π -tanθ=tan(-θ) odde funksjon + Periode 2π -sinθ=sin(-θ) odde funksjon + - + - + - - - + - +

3 Trigonometriske funksjoner 2
Noen verdier for de trigonometriske funksjoner Grader 30 45 60 90 Radian π/6 π/4 π/3 Π/2 sinθ √2/2 √3/2 1 cosθ tanθ √3/3 √3 uendelig

4 Noen trigonometriske likninger
Trigonometriske likninger/ identiteter cos2x + sin2x = 1 1 + tan2x = 1/ cos2x tan(A+B) = cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB cos2x = cos2x – sin2x sin2x = 2sinx cosx tan2x = c2 = a2 + b2 -2abcosx (cos setningen)

5 Inverse trigonometriske funksjoner
Skal en funksjon ha en invers funksjon må den være en en til en funksjon. Det vil si til en verdi i definisjonsområdet skal det svare en og bare en verdi i verdiområdet og omvendt. Det stemmer ikke for de trigonometriske funksjonene. Derfor må deres definisjonsområde begrenses. π/2 1 -π/2 -1 π/2 1 -1 y= sin-1 x = arcsinx -π/2 y= sinx Definisjonsområde –π/2 til π/2 Verdiområde -1 til 1 Definisjonsområde -1 til 1 Verdiområde–π/2 til π/2

6 Inverse trigonometriske funksjoner 2
sin x sin-1x Definisjonsområde –π/2 til π/ Definisjonsområde -1 til 1 Verdiområde til Verdiområde –π/2 til π/2 De vanlige regler for inverse funksjoner gjelder som sin(sin-1x) = x eller sin-1(sinx) = x Funksjon Definisjonsområde Verdiområde y = sin-1x -1<= x <=1 -π/2 <= y <= π/2 y = cos-1x 0 <= y <= π y = tan-1x -∞ <= x <= ∞

7 Inverse trigonometriske funksjoner - verdier
sin-10 cos-10 π/2 tan-10 sin-1√3/2 π/3 cos-1√3/2 π/6 tan-1√3 sin-1√2/2 π/4 cos-1√2/2 tan-11 sin-11/2 cos-11/2 tan-1√3/3 sin-11 cos-11 sin-1-√2/2 -π/4 cos-1-√2/2 3π/4 tan-1-1 sin-1-1/2 - π/6 cos-1-1/2 2π/3 tan-1-√3/3

8 Inverse trigonometriske likninger
-sin-1x = sin-1 (-x) odde funksjon – symmetri om origo cos-1x + cos-1 (-x) = π – ingen symmetri om origo sin-1x + cos-1x = π/2 Eksempel: x = ½ cos-1 ½ + cos-1 (-½) π/3 + (π - π/3) = π