Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Repetisjon kap 6,7,8. Betingelse for at en kvadratisk matrise A  0 har en invers er at | A |  0 A er en n*n matrise, A  0 X er den inverse til A hvis.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Repetisjon kap 6,7,8. Betingelse for at en kvadratisk matrise A  0 har en invers er at | A |  0 A er en n*n matrise, A  0 X er den inverse til A hvis."— Utskrift av presentasjonen:

1 Repetisjon kap 6,7,8

2 Betingelse for at en kvadratisk matrise A  0 har en invers er at | A |  0 A er en n*n matrise, A  0 X er den inverse til A hvis XA = AX = I n Den inverse til A skrives A -1 Den inverse

3 Anta AX = I n  | A | = 0  | AX | = | A | · | X | = | I n | = 1 Ligningen | A | · | X | = 1 har løsning  | A |  0 Kontrapositivt bevis

4 A = a b c d |A| = a b = ad – bc c d A -1 = 1 d -b ad - bc -c a 2D matriser Den inverse Må huskes! Determinant Matrise

5 LØSE LIGNINGER VHA DEN INVERSE A X = Bpremultipliserer med A -1  A -1 A X = A -1 B  X = A -1 B

6 1 3 3 : : : Svaret kan sjekkes ved å vise at AA -1 = I 1. Danne «dobbelt»-matrisen [ A : I n ] n*2n 2.Vha elementære operasjoner overføre denne til [ I n : B ] 2.B = A -1 Eksempel Fremgangsmåte til å finne den inverse

7 Finne den inverse av en matrise vha kofaktormetoden Den inverse til A kan skrives som en transponert kofaktormatrise Den inverse kan altså se slik ut Hvor C 11 er kofaktor til a 11 osv

8 Generelt ligningsystem a 11 x 1 + a 12 x 2 + …… + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + …… + a 2n x n = b 2 …………………………… a m1 x 1 + a m2 x 2 + …… + a mn x n = b m a 11 a 12 ……. a 1n A =a 21 a 22 ……. a 2n ……………………. a m1 a m2 …….. a mn Koeffisientmatrise a 11 a 12 ……. a 1n b 1 A b =a 21 a 22 ……. a 2n b 2 …………………………… a m1 a m2 …….. a mn b m Systemets utvidede matrise

9 GENERELT LIGNINGSYSTEM a 11 x 1 + a 12 x 2 + …… + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + …… + a 2n x n = b 2 ……………………………………… a m1 x 1 + a m2 x 2 + …… + a mn x n = b m x 1 a 1 + x 2 a 2 + …….. + x n a n = b b 1 b = b 2. b m Vektorform a 1i ai = a 2i  i  1 … n.. a mi

10 x 1 a 1 + x 2 a 2 + …….. + x n a n = b a 1 ……a n Lineært uavhengig  en løsning Lineært avhengig  flere løsninger Lineært avhengig  minst en a i kan skrives som en lineærkombinasjon av de andre a i Lineært uavhengig  Det er ikke mulig å skrive noen a i som lineærkombinasjon av de andre a i

11 a a n  R n a 11 a 12 ……. a 1n A =a 21 a 22 ……. a 2n ……………………. a n1 a n2 …….. a nn VEKTORENES KOLONNEMATRISE a a n  R n er lineært uavhengige  | A |  0

12 To vektorer er lineært avhengige  de er parallelle a 1  a 2  a 1 = k a 2 de definerer en rett linje To vektorer er lineært uavhengige  de er ikke parallelle a 1  a 2  a 1  k a 2  a 1 og a 2 definerer et plan alle vektorer i dette planet kan skrives som lineærkombinasjoner av a 1 og a 2 dvs alle vektorer i planet kan skrives slik a = c 1 a 1 + c 2 a 2

13 100 e 1 = 0 e 2 = 1 e 3 =0 001 Enhetsvektorer i R 3 Enhetsvektorene er lineært uavhengige:  Gjelder generelt i R n

14 HOMOGENT LIGNINGSYSTEM a 11 x 1 + a 12 x 2 + …… + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + …… + a 2n x n = b 2 ……………………………………… a m1 x 1 + a m2 x 2 + …… + a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x 2 + …… + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + …… + a 2n x n = 0 ……………………………………… a m1 x 1 + a m2 x 2 + …… + a mn x n = 0 ALLE bi = 0

15 MatriseformAX = B  B = 0 Vektorformx 1 a 1 + x 2 a x n a n = 0 Triviell løsning X = 0 dvs x i = 0  i  1 … n Et homogent ligningssystem har ikke - trivielle løsninger  | A | = 0 HOMOGENE LIGNINGSSYSTEM

16 n vektorer i R m er alltid lineært avhengige hvis n > m  Et homogent ligningssystem med flere ukjente enn ligninger har alltid uendelig mange løsninger. x 1 + x 2 – 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 0 2x 1 – x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 0 3x 1 + 5x x 3 - 3x 4 - 9x 5 = 0 Eksempel på system som har minst 2 parametre

17 x i = | A i |  i | A | Homogent ligningssett  B = 0  | A i | = 0  i Hvis | A |  0  x i = 0 = 0  i | A | Gjelder bare |A|  0 Cramers formler

18 En delmengde V av vektorer i R m er et underrom av R m  a 1 + a 2  V  a 1 a 2  V ca  V  a  V &  c  R 1  Enhver lineærkombinasjon av to vektorer i V ligger også i V c 1 a 1 + c 2 a 2  V  a 1 a 2  V &  c 1 c 2  R 1 Underrom

19 V = Sp [a a n ]  V er rommet utspent/generert av vektorene a a n dvs V inneholder alle lineærkombinasjoner av a a n  v  V  v = c 1 a 1 + …….. + c n a n ( NB! alle vektorer i V kan skrives slik )  Ligningssystemet x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b har løsning  b  Sp [a a n ]

20 Homogent ligningssystem x 1 a 1 + x 2 a 2 + ………. + x n a n = 0 a a n  R m Løsning: (x 1 x x n )  R n Løsningene danner et underrom av R n En løsning er en slik vektor (x 1 x x n ) dvs et punkt En lineærkombinasjon av en vektor er en rett linje gjennom origo Da har vi en parameter. En lineærkombinasjon av to vektorer som ikke er parallelle, danner et plan gjennom origo. Da har vi to parametre.

21 a 1 a 2 a 3  R 3  a 1 a 2 a 3 er lineært uavhengige  Sp [a 1 a 2 a 3 ] = R 3 a 1 a 2. …….. a n  R n  a 1 a 2 ……. a n er lineært uavhengige  Sp [a 1 a 2 ….. a n ] = R n

22 BASIS V er et underrom av R m & V = Sp [ a 1 …….. a n ] vektorene a a n er en basis for V hvis de er er lineært uavhengige Enhver vektor i V kan da skrives som en lineærkombinasjon av a a n Det kan finnes uendelig mange basiser til et underrom Basiser til samme underrom har like mange elementer

23 Dimensjon Underrommets dimensjon er lik antall elementer i basis Skrives dim V Anta dim V = n  enhver samling av n lineært uavhengige vektorer i V danner en basis for V. U  R m  V  R m  U  V  dim U = dim V  U = V

24 Eksempel U = Sp [ u, v, w ] u, v, w  R n  alle vektorer i U kan skrives slik u = c 1 u + c 2 v + c 3 w Hvis u, v og w er lineært uavhengige danner de en basis for V Fordi det er 3 elementer i basis, er dim V = 3

25 RANG A er en m*n matrise. A kan da oppfattes som bestående av n kolonnevektorer av dimensjon m. Definisjon av rang Rangen til A, skrives r (A) er det maksimale antall lineært uavhengige kolonnevektorer i matrisen A. Hvis A = 0  r(A) = 0 a 11 a 12 ……. a 1n A =a 21 a 22 ……. a 2n ……………………. a m1 a m2 …….. a mn

26 Undermatrise av A Vi tar vekk noen linjer og kolonner Underdeterminanter Determinanter av kvadratiske undermatriser Max rangEn matrise av dimensjon mxn kan ikke ha større rang enn den minste av m og n A = m = 4, n =

27 Rangen til en matrise A r(A) er lik dimensjonen til den største underdeterminant som ikke er lik 0 Det kan være gunstig å utføre elementære operasjoner på matrisen for å finne rangen 111 2–12=

28 Konsistens Betingelse for løsning Ligningssystemet har minst en løsning hvis og bare hvis rangen til koeffisientmatrisen er lik rangen til systemets utvidede matrise Systemet er konsistent  r ( A ) = r ( A b ) r ( A )  r ( A b )  ingen løsning a 11 a 12 ……. a 1n A =a 21 a 22 ……. a 2n ……………………. a m1 a m2 …….. a mn a 11 a 12 ……. a 1n b 1 A b =a 21 a 22 ……. a 2n b 2 …………………………… a m1 a m2 …….. a mn b m

29 Generelt er r ( A b )  r ( A ) rangen kan maksimalt være lik den minste av m og n n  m  r ( A ) kan maksimalt bli lik m og da er r ( A ) = r ( A b ) = m hvis r ( A ) < max rang kan r ( A b ) være maksimalt r( A )+ 1 fordi A b har en kolonne mer enn A

30 a 11 x 1 + a 12 x 2 + …… + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + …… + a 2n x n = 0 ……………………………………… a m1 x 1 + a m2 x 2 + …… + a mn x n = 0 x 1 = x 2 = = x n = 0 Homogent ligningssystem Triviell løsning dim V = n - r ( A ) Et homogent ligningssystem har ikke-trivielle løsninger hvis og bare hvis rangen til systemets matrise er mindre enn antall ukjente n > r( A )


Laste ned ppt "Repetisjon kap 6,7,8. Betingelse for at en kvadratisk matrise A  0 har en invers er at | A |  0 A er en n*n matrise, A  0 X er den inverse til A hvis."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google