Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Grunnleggende matematikk

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Grunnleggende matematikk"— Utskrift av presentasjonen:

1 Grunnleggende matematikk
Første bolk SOS3003/JFRYE

2 ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt
SOS3003/JFRYE

3 ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt
Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har SOS3003/JFRYE

4 ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt
Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har Matematisk 1: inntekt = 'grunnbeløp i kr.' + (økning i kr. per år utdanning * antall år) SOS3003/JFRYE

5 ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt
Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har Matematisk 1: inntekt = 'grunnbeløp i kr.' + (økning i kr. per år utdanning * antall år) Matematisk 2: y = a + (b * x) der y = inntekt der a = 'grunnbeløpet' der b = økning i kroner per år utdanning (effekten av utdanning) der x = antall år utdanning SOS3003/JFRYE

6 y = a + (b * x) 100.000 = a + (b * 0) 100.000 = a a = 100.000
y (inntekt) x (utdanning) 2 4 6 y = a + (b * x) = a + (b * 0) = a a = = a + (b * 0) = (b * 2) – = (b * 2) = b * 2 / 2 = b b = = a + (b * 0) = (b * 4) – = (b * 4) = b * 4 / 4 = b b = SOS3003/JFRYE

7 Dermed: y = ( * x) SOS3003/JFRYE

8 Matematikk er et analytisk verktøy
Gjør det mulig å ’presist’ (kvantitativt) beskrive fenomener beregne relasjonen mellom fenomener Gjør det mulig å presentere fortettet informasjon Utfordringen er å ’oversette’ mellom fagspråk og matematisk språk SOS3003/JFRYE

9 NB: Matematikk er ikke vanskelig!
Erling Berge uttrykte det slik:  lett å lære å lese  litt vanskeligere å forstå det man leser  enda litt vanskeligere å skrive selv Ulike dialekter: vi bruker 'regresjonsdialekten' SOS3003/JFRYE

10  Algebra  Funksjoner  Likninger SOS3003/JFRYE

11 Algebra Regning med 'bokstaver' (der bokstavene representerer vilkårlige tallstørrelser) SOS3003/JFRYE

12 Algebra – regneregler I
 addisjon: a + b = b + a  subtraksjon: a – b = -b + a  multiplikasjon: a * b = b * a  divisjon a / b = a * (1/b) SOS3003/JFRYE

13 Algebra – regneregler II
Algebraiske uttrykk kan settes opp i parenteser. Det som står inne i parentesen, skal behandles som ett tall  a * (b + c) = (a * b) + (a * c)  (a + b) * (c + d) = a * (c + d) + b * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * c NB: Stryker gangetegnene av praktiske årsaker: = ac + ad + bc + bd SOS3003/JFRYE

14 Algebra – regneregler III
 ax  a * a * a * a * a = a5  a * a = a2 a2 * a = a3 NB: a = a1  a * a * a * a *.... a(n ganger) = an SOS3003/JFRYE

15 Algebra – regneregler IV
 -22 = -(22)  √22 = 2  a0,5 = √a  a0 = 1  a–2 = 1/a2  a1/n = n√a SOS3003/JFRYE

16 Funksjoner En funksjon er en regel som angir relasjonen mellom to (sett av) algebraiske uttrykk y = a + bx hvordan endrer y seg når x endres? f(x) = a + bx NB: y = f(x) SOS3003/JFRYE

17 y = a + ( * x) SOS3003/JFRYE

18 f(x) = 2x x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 8 10 12 14 SOS3003/JFRYE

19 f(x) = x2 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 9 16 25 36 49 SOS3003/JFRYE

20 Ligninger En ligning er en påstand om at to algebraiske uttrykk (eller også to funksjoner, eller et algebraisk uttrykk og en funksjon) er like. NB: En funksjon er derfor bestandig en ligning! SOS3003/JFRYE

21 Ligninger  a = b  y = x  y = f(x)
 y = a + bx (ligningen for en rett linje)  f(x) = a + bx + cx2 (andregradsligningen) y = a + bx + cw + e (regresjonsligningen med x-variabler) SOS3003/JFRYE

22 Ligninger Man kan addere eller subtrahere med samme tall på begge sider av likhetstegning: y = x tilsvarer y + 1 = x + 1 y = x tilsvarer y – 1 = x – 1 Man kan multiplisere eller dividere med samme tall på begge sider av likhetstegning: y = x tilsvarer y * 10 = x * 10 y = x tilsvarer y / 10 = x / 10 Hensikten er som regel å få y alene på venstresiden av likhetstegnet, ettersom dette letter det videre arbeidet SOS3003/JFRYE

23 Konvensjoner Parametre/konstanter: Uttrykk i funksjonen som er lik for alle enheter Parameter: verdien for populasjonen Konstant (parameter-estimat): verdien for utvalget Variabler: Uttrykk i funksjonen som varierer for alle enheter SOS3003/JFRYE

24 Ulike typer bokstaver til ulike typer uttrykk
konstanter (parameter-estimat) (romerske bokstaver) a, b, c, d, e, p, q, r, s, t,...  variabler (romerske bokstaver): x, y, z regresjonskonstanter b0 b1 b2.... regresjonsvariabler x1, x2, x3…  parametre for populasjon (greske bokstaver) α (alfa) β (beta) µ (my) γ (ypsilon) ε (epsilon) regresjonsparametre (for populasjonen): β0 β1 β2 β3  indekser for variabler nytter gjerne i, j, k, l, m, n...  funksjoner vil ofte bli gitt symbolene f(), g(), .... SOS3003/JFRYE

25  Både tall og bokstavtall: f1, fa
Indeksering  Brukes til å skille uttrykk av samme type, for eksempel funksjoner: fi, f2...  Vanligvis som subskrift etter uttrykket, men kan også settes over eller foran, spesielt når det trengs flere presiseringer: 1f2, eller 1f1  Både tall og bokstavtall: f1, fa  Brukes også til å beskrive enkelte enheter (case), parametrer eller variabler a1, a2, a3, x1, x2, x3, b1, b2, b3, β1, β2, β3,  Hvis man skal si noe om alle casene, parametrene eller variablene bruker man gjerne i, j, k. ai, xi, bi, βi  Noen ganger stryker man (alle eller noen av) indeksene når det er 'åpenbart' hva symbolene betyr SOS3003/JFRYE

26 Matematiske operatorer Summasjon: Σ a1 + a2 + a3 + a4 .... + an = Σiai
Multiplikasjon: Π a1 * a2 * a3 * a an = Πiai SOS3003/JFRYE

27 Tre avsluttende ’tester’
yi = β0 + β1x1i + εi yi = β0 + β1x1i + β2x2i + β3x3i + β4x4i βnxni + εi yi = β0 + Σk(βkxki) + εi SOS3003/JFRYE


Laste ned ppt "Grunnleggende matematikk"

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google