Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Hvis en partikkel beveger seg fra (x 1,y 1 ) til (x 2,y 2 ) er endringen Δx = x 2 -x.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Hvis en partikkel beveger seg fra (x 1,y 1 ) til (x 2,y 2 ) er endringen Δx = x 2 -x."— Utskrift av presentasjonen:

1 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Hvis en partikkel beveger seg fra (x 1,y 1 ) til (x 2,y 2 ) er endringen Δx = x 2 -x 1 og Δy = y 2 -y 1 x2x2 x1x1 y2y2 y1y1 ΔyΔy ΔxΔx φ Linjer Stigningstallet m =

2 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA2 Linjer Stigningstallet til ei linje Er hvor mye linja stiger pr enhet i lengderetningen eller Hvor mye y-verdien endrer seg pr enhet i x-retningen

3 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA3 Linjer - Stigningstall Stigningstallet er positivt når linja peker oppover mot høyre m>0 Stigningstallet er negativt når linja peker oppover mot venstre m<0 Stigningstallet er null når linja er vannrett Stigningstallet er uendelig når linja er loddrett m=0

4 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA4 Linjer - 4 Parallelle linjer har samme stigningstall Når to linjer med stigningstall m 1 og m 2 står normalt eller vinkelrett på hverandre er m 1 *m 2 =-1 eller m 1 =-1/m 2

5 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA5 Linjer – likning for ei rett linje 1. Vertikal linje x y (a,b) x=a 2. Horisontal linje x (a,b) y=b y

6 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA6 Linjer – likning for ei rett linje 2 Andre linjer x y (x 2,y 2 ) (x 1,y 1 ) b y=mx+b eller y-y 1 =m(x-x 1 ) hvor Generell likning Ax + By = C

7 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA7 Linjer - eksempel Eksempel 6 Skriv likningen for linjen gjennom punktet (-1,2) som er parallell til linjen y = 3x-4 Likningen er på formen: y-y 1 = m(x-x 1 ) For den oppgitte likningen er m = 3. Når vår linje er parallell, betyr det at m = 3. y-y 1 = m(x-x 1 )  y-2 = 3(x-(-1))  y-2 = 3(x+1)  y-2 = 3x+3 Y = 3x +5 Likningen for linjen normalt på den oppgitte linje blir: m 1 *m 2 =-1  3m 2 = -1  m 2 =-1/3 Likningen: y-2 = -1/3(x-(-1))  y-2 = -1/3(x+1) Y-2 = -1/3x-1/3  y = -1/3x +2-1/3=-1/3x+6/3-1/3 Y=-1/3x+5/3

8 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA8 Linjer - likning Ex 8. Finn en formel for overgangen mellom Fahrenheit og Celsius grader som er lineær. Hva er 90 o F og -5 o C Formelen er på formen: F = m*C + b Vi vet:Frysepunkt for vann: F = 32 og C = 0 Kokepunkt for vann er F = 212 og C = 100 I: 32 = m*0 + b  b = 32 II: 212 = m*100 + b  212 = m* m = = 180  m=180/100 = 9/5 F = (9/5) C + 32 eller (9/5) C = F- 32  C = 5/9(F-32) 90 o F er i Celsius: C = 5/9(90-32) = 32,2 o -5 o C er i Fahrenheit: F = 9/5(-5)+32 = 23 o

9 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA9 Funksjoner og grafer En funksjon er en boks som omgjør en verdi fra definisjonsområdet til en ny verdi i verdiområdet Definisjonsområdet Uavhengig variabel f Verdiområdet Avhengig variabel x er uavhengig variabel for y = f(x) y er avhengig variabel Definisjonsområdet til en funksjon er mengden av alle x-verdier hvor funksjonen har mening. Arealet av en sirkel er en funksjon av radien. A = f(r) Definisjonsområde: r > 0. Verdiområde: A > 0 A(2) = πr 2 = π2 2 = 4π

10 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA10 Funksjoner og grafer FunksjonDefinisjonsområdeVerdiområde y=x 2 (-∞, +∞)[0, ∞ > y=1/x U y =√x[0, ∞> y = √(1-x 2 )[-1, 1][0, 1] Symmetri even functions, partall funksjoner f(-x) = f(x) symmetri om y-aksen odd functions, odde funksjoner f(-x) = -f(x) symmetri om origo

11 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA11 Sammensatte funksjoner Absoluttverdi: |x| = x når x > 0 og |x| = -x når x < 0 |-2| = -(-2) = 2 Sammensatte funsjoner: y = f(x) når y er en funksjon av x Til hver x-verdi fås en y-verdi f(g(x)) betyr at g(x) er en funksjon av x og at f er en funksjon av denne funksjonen. Til hver x-verdi fås en verdi g(x). Denne verdien settes inn i funksjonsuttrykket til f x g g(x) f f(g(x)) = f•g Finn f(g(x)) når g(x) = x 2 og f(x) = x-7 Den ytre funksjonen er f(x). f(x) = x-7 f(g(x)) betyr at x i f(x) skal erstattes med funksjonen g(x) f(g(x)) = g(x)-7 = x f(g(2)) = g(2)-7 = = -3

12 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA12 Sammensatte funksjoner Oppgave 38 f(x) = x-1 og g(x) = 1/(x+1) f(g(1/2)) = g(f(1/2)) = f(g(x)) = g(f(x)) = f(f(x)) =

13 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA13 Inverse funksjoner En en til en funksjon er en funksjon som for en verdi i definisjons- området angir en og bare en verdi i verdiområdet eller omvendt det vil si f(a) er forskjellig fra f(b) når a og b er forskjellige tall. En til en funksjon y=x 2 y=√x En en til en funksjon vil skjære en horisontal linje bare en gang. Dersom den skjærer en horisontal linje mer enn en gang er den ikke en en til en funksjon.

14 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA14 Inverse funksjoner 2 En en til en funksjon har en verdi for hver verdi i definisjonsområdet. Dette vil si at for hver verdi i verdiområdet finnes kun et punkt i definisjonsområdet. For en en til en funksjon kan det lages en funksjon hvor verdiområdet til f blir definisjonsområdet til funksjonen g – og at definisjonsområdet til f blir verdiområdet til g. g kalles da den inverse funksjonen til f og benevnes g=f -1 Ved å lage en sammensatt funksjon av de to f og g fås x det vil si f•g = f(g(x)) = g(f(x)) = x Test: f(x) = 3x og g(x) = x/3  f(g(x)) = 3*x/3 = x og g(f(x))=3x/3=x Men: f(x) = x og g(x) = 1/x  f(g(x)) = 1/x forskjellig fra x

15 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA15 Inverse funksjoner 3 Grafen til to inverse funksjoner er symmetrisk om linja y = x eller har vi en graf vil grafen til den inverse funksjonen bli speilet om linja y = x. Regel for å finne den inverse funksjonen 1. Løs likningen y = f(x) med hensyn på x 2. Bytt om y og x Eksempel: y = ½x + 1 2y = x + 2  x = 2y - 2Løs med hensyn på x y = 2x – 2  f -1 (x) = 2x - 2Bytt om y og x Sjekk: f -1 (f(x)) = 2( ½ x +1) – 2 = x + 2 – 2 = X

16 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA16 Inverse funksjoner 4 y = x 2 er ikke en en til en funksjon fordi det til samme y-verdi passer 2 x-verdier. Den har ikke en invers funksjon. Begrenses definisjonsområdet til x >= 0 blir bare høyre del av kurven med. y = x 2 har da en invers funksjon. y=x 2  √y = √x 2 = |x| = x for x >= 0 √y = x Bytter om y = √x f(x) = x 2 og f -1 (x) = √x for x >= 0 y=x x2x2 √x


Laste ned ppt "HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Hvis en partikkel beveger seg fra (x 1,y 1 ) til (x 2,y 2 ) er endringen Δx = x 2 -x."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google