Laste ned presentasjonen
1
KOMPLEKSE TALL Laila
2
Komplekse tall 2.gradsligning: ax2 + bx + c = 0
Har løsning b2 – 4ac 0 N Z Q R C x2 + 1 = x2 = -1 Def av den imaginære enhet: j2 = -1
3
Mengden C De komplekse tall Geometrisk representasjon
Imaginær akse Generell skrivemåte: z = a + bj Kalles rektangulær form Realdel: Re(z) = a Imaginærdel: Im(z) = b z = Re(z) + Im(z)j (a b) b z a Reell akse z = a + bj Alle reelle tall kan skrives: x + 0j R C
4
Kompleks konjugert z = a + bj z = a - bj Imaginær akse 2 + 3j
Reell akse Imaginær akse
5
Regning med komplekse tall
z1 = a1 + b1j z2 = a2 + b2 j z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) j z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2) j z1 = a1 + b1j z2 = a2 + b2 j z1 z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) j Eksempel på multiplikasjon Vanlige parentesregler gjelder (Husk at j2 = -1 ) (3 + 2j) (2 – 5j) = 6 – 15 j + 4 j – 10j2 = 16 – 11j
6
Konjugatsetningen z = a + bj z = a – bj z z = (a + bj ) (a – bj )= a2 - b2j2 = a2 + b2 Modulus z = a + bj z = a – bj |z | = |a + bj | = a2 + b2 |z | = |z | Omforme brøk -- eksempel 3 + 4j (3 + 4j) (2 – 3j) – j j (2 + 3j) (2 – 3j) = = = - j Den kompleks konjugerte til nevner Rektangulær form
7
Re(z) = a = r cos = |z| cos Im(z) = b = r sin = |z| sin
Polarkoordinater a = r cos b = r sin r = |z| = a2 + b2 Imaginær akse (a b) b r a Reell akse Re(z) = a = r cos = |z| cos Im(z) = b = r sin = |z| sin z = a + bj z = |z| (cos +j sin )
8
Eksempel z = 1 + j argument r = |z| = 12 + 12 modulus r = 2
Imaginær akse r = |z| = modulus (a b) r = 2 b r z = |z| (cos +j sin ) a Reell akse z = 2 (cos j sin ) z = 2 (cos j sin )
9
Fra rektangulær form til polar z = a + bj r = |z | = a2 + b2
z = |z| (cos + j sin ) tan = b/a Fra polar til rektangulær form z = 4 (cos j sin ) = 4 ½ 3 + j 4 ½ = 2 3 + 2j 6 6
10
= (cos (1 - 2) + j sin (1 - 2))
Produkt z1 = r1 (cos 1 + j sin 1) z2 = r2 (cos 2 + j sin 2) z1 z2 = r1 r2 (cos (1 + 2) + j sin (1 + 2)) Divisjon z1 = r1 (cos 1 + j sin 1) z2 = r2 (cos 2 + j sin 2) = (cos (1 - 2) + j sin (1 - 2)) z1 z2 r1 r2
11
Potenser z = r (cos + j sin ) z2 = r2 (cos 2 + j sin 2) z3 = r3 (cos 3 + j sin 3) ……… zn = rn (cos n + j sin n) zn = r (cos n + j sin n) Gjelder for alle n Q
12
Spesielle vinkler skrevet som brøker av
90= Spesielle vinkler skrevet som brøker av 135= 45 = 180= 0= 0 360= 2 315= 225= 270= 120= 60 = 150= 30= 330= Vi skriver vinkler som brøker av når vi kan. Ellers gis radianer som desimaltall. 210= 300= 240=
13
Eksempel z1 = 1 + j z2 = 3 + j |z1| = 2 arg(z1 ) =
w Eksempel z1 = 1 + j z2 = 3 + j |z1| = 2 arg(z1 ) = |z2| = 2 arg(z2 ) = 4 6 z1 5 12 z2 4 6 w = z1 z2 |w| = |z1||z2| = 22 arg(w) = 4 6 5 12 + =
14
Eksempel z3 = r3 (cos 3 + j sin 3) = 1(cos 0 + j sin 0) r3 = 1 r = 1 3 = 0 + 2k = k = 0,1,2 Finne z når z3 = 1 z = r (cos + j sin ) 1 = 1(cos 0 + j sin 0) 2 3 z1 k = 0 = 0 z = 1(cos 0 + j sin 0 ) = 1 k = 1 = z = 1 (cos j sin ) = - ½ + ½ j 3 2 3 2 3 k = 2 = z = 1(cos j sin ) = - ½ – ½ j 3 4 3 4 3 2 3 z0 2 3 2 3 z2
15
Vinkelmål: radianer cos sin tan = 180 -1 2 = 90 1 3 = 60 ½ 3 3 4 = 45 ½ 2 ½ 2 1 6 ½ 3 = 30 1/ 3
Liknende presentasjoner
© 2024 SlidePlayer.no Inc.
All rights reserved.