Vektorfunksjoner og rombevegelse

Presentasjon om: "Vektorfunksjoner og rombevegelse"— Utskrift av presentasjonen:

1 Vektorfunksjoner og rombevegelse

2 Parameterisering av en linje
P (x,y,z) P0 (x0,y0,z0)

3 Parameterisering av en kurve
P (x,y,z) O De ulike punktene på kurven fremkommer ved ulike verdier av parameteren t

4 Parameterisering av en kurve Eks - Helix

5 Grense av vektorfunksjon Def
M r(t) L

6 Grense av vektorfunksjon Eks

7 Kontinuerlig vektorfunksjon Def
M r(t) L En vektorfunksjon kalles kontinuerlig i et punkt t = t0 hvis: En vektorfunksjon kalles kontinuerlig hvis den er kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.

8 Kontinuerlig vektorfunksjon Eks
Kontinuerlig: Diskontinuerlig:

9 Derivasjon av vektorfunksjon Def
r(t) r(t) r(t+t) r’(t) En vektorfunksjon kalles deriverbar hvis den deriverte eksisterer i hvert punkt i sitt domene. En kurve beskrevet ved r kalles glatt hvis dr/dt er kontinuerlig og aldri 0.

10 Derivasjon av vektorfunksjon Eks
r(t) r’(t) r’(π/4) r’(π/4)

11 Derivasjonsregler for vektorfunksjon
r(t)

12 Vektorfunksjoner med konstant lengde
r(t) Den deriverte av enhetsvektoren T står alltid normalt på T. T En vektorfunksjon som har konstant lengde står normalt på sin egen derivert.

13 Integrasjon av vektorfunksjon Def
r(t)

14 Integrasjon av vektorfunksjon Eks
r(t) Integral [r(t)]

15 Hastighetsvektor B r A M rA r rB v

16 Akselerasjonsvektor vB v vB B a vA A vA M r v

17 Hastighetsvektor - Akselerasjonsvektor Eks: Hangglider

18 Buelengde av en glatt kurve Def
ds b a L

19 Buelengde av en glatt kurve Eks - Hangglider

20 Enhetstangentvektor Def

21 Enhetstangentvektor Def - Detaljer
T-vektor definert som den deriverte av r-vektor mht buen s, gir en parameter-uavhengig definisjon. Den deriverte av r-vektor mht buen s, gir en enhetsvektor tangentielt til banen. s r rA rB

22 Enhetstangentvektor Eks

23 Krumning Def T T

24 Krumning Eks Rett linje En rett linje har krumning lik 0,
dvs ingen krumning. T Sirkel T En sirkel har krumning lik den inverse av radien dvs jo mindre radius, jo større krumning.

25 Enhetsnormalvektor Def

26 Enhetsnormalvektor Eks - Sirkel med radius a

27 Akselerasjon Lineær kombinasjon av T og N [1/2]
Akselerasjonen er en lineær kombinasjon av enhetstangentvektoren T og enhetsnormalvektoren N og ligger derfor i planet utspent av T og N.

28 Akselerasjon Lineær kombinasjon av T og N [2/2]
Akselerasjonens tangentiellkomponent er fartsendringen tangentielt: T a N Akselerasjonens normalkomponentkomponent er krumningen multiplisert med farten kvadrert: Spesialtilfelle: Sirkelbevegelse med konstant banefart Akselerasjonen er en lineær kombinasjon av enhetstangentvektoren T og enhetsnormalvektoren N og ligger derfor i planet utspent av T og N.

29 Binormalvektor Def B B står normalt på både T og N. N
B er en enhetsvektor (lengde 1) siden både T og N er enhetsvektorer. Endringen av B (dvs retningsendring av B) blir et mål for hvordan a vris ut av TN-planet. Det er derfor av interesse å studere endring av B. N T

30 Binormalvektor Torsjon

31 Binormalvektor Krumning - Torsjon

32 Krumning - Torsjon Helix

33 Enhetsvektorer Oppsummering
Enhetstangentvektor Enhetsnormalvektor r Enhetsbinormalvektor Krumning Posisjon Hastighet Akselerasjon Torsjon

34 END