Operasjonsanalytiske emner Prognosemodeller basert på Tidsserieanalyse Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER1 Del 23Forecasting 1 - Mønster

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER En tidsserie er en samling av observasjoner for en kvantifiserbar variabel registrert i kronologisk tidsrekkefølge. Eksempel Børsindekser Historiske data over salg, lager, antall kundebesøk, rentesatser, kostnader, etc. Bedrifter er ofte interessert i å predikere tidsserie-variabler. Ofte finnes ikke uavhengige variabler (X) som kan benyttes i en regresjonsmodell for en tidsserievariabel (Y). I tidsserieanalyser analyserer vi den historiske utviklingen til en variabel (Y) for å kunne predikere dens framtidige utvikling. Introduksjon til tidsserieanalyser 2

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER3 Som å kjøre en bil ved å se på veien via speilet bakover: Vi ser hvor veien har svingt tidligere, og forsøker å styre bilen deretter! Prediksjoner basert på tidsserieanalyse

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER4 Stasjonære data Stasjonære data – en tidsserievariabel som ikke viser noen signifikant trend opp eller ned over tid. Ikke-stasjonære data Ikke-stasjonære data – en tidsserievariabel som viser en tydelig trend opp eller ned over tid. Sesong data Sesong data – en tidsserievariabel som viser et repeterende mønster med jevne intervall over tid. Noen tidsserieuttrykk

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER5 Horisontal Når observasjonene varierer rundt et konstant nivå eller gjennomsnitt. Det er ingen konsistente vedvarende økninger eller reduksjoner over tid. En slik tidsserie har et stasjonært gjennomsnitt. Typer mønster i tidsseriedata

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER6 Trend Når observasjonene øker eller faller vedvarende over en lengre tidsperiode. Trend er lang-tids komponenten som representerer en vedvarende endring over tid. Typer mønster i tidsseriedata Trendlinje Syklus topp Syklus bunn Tid Observert verdi

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER7 Sykluser Når observasjonene inneholder økninger og reduksjoner uten fast lengde, tyder det på sykliske variasjoner. Sykluser er bølgelignende endringer rundt en trendlinje, eller et ellers stabilt gjennomsnitt. Sykluser er som regel et resultat av generelle økonomiske variasjoner. Typer mønster i tidsseriedata

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER8 Sesonger Sesongvariasjoner er vedvarende repeterende mønster, vanligvis over ett år. Sesonglengden kan være kvartal, måned, etc. Årsaken kan være årstiden/været, helgedager(jul), skolestart, etc. Det kan være sesongvariasjoner rundt et stabilt nivå (horisontalt), eller rundt en trendlinje. Typer mønster i tidsseriedata

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER9 Sesongvariasjoner

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 10 Når en variabel måles over tid, vil ofte observasjoner fra forskjellige perioder korrelere med hverandre. Autokorrelasjon er korrelasjoner mellom observasjoner fra samme tidsserie, men forskjøvet i tid. Mønster som trend og sesongvariasjoner kan ofte avsløres via autokorrelasjonsanalyse. Utforske datamønster med autokorrelasjonsanalyse

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 11 Autokorrelasjonskoeffisienten r k for”lag k” måler autokorrelasjonen mellom Y t og Y t-k Autokorrelasjonsanalyse

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 12 Correlogram

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 13 Autokorrelasjonsanalyse (Ex. 3-1)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 14 Hvis en serie er ”random”, så er r k for enhver k nær null. Påfølgende verdier i tidsserien er ikke korrelerte. Hvis en serie har trend, så vil Y t og Y t-1 være sterkt korrelert, og autokorrelasjonskoeffisienten er typisk signifikant forskjellig fra 0 for de første k ”lags”, og reduseres gradvis mot 0 når k øker. Autokorrelasjonsanalyse

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER15 Hvis en serie har sesong, så vil Y t og Y t-p være sterkt korrelert, der p angir antall sesonger pr. syklus. For kvartalsdata vil r 4, r 8, etc. ha signifikante verdier. For månedsdata vil korrelasjonskoeffisienter som er multiplum av 12 ha høye verdier, osv. Autokorrelasjonsanalyse

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER16 Variansen til autokorrelasjonskoeffisienten har ingen funnet et eksakt uttrykk for. Hvis tidsserien er helt tilfeldig (”random”) er r k normalfordelt med: Signifikanstest av autokorrelasjon

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER17 Om en antar at før lag k (k>1) er alle r k ≠ 0 og etter lag k er alle r k = 0, da kan følgende formel benyttes: Signifikanstest av autokorrelasjon

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER18 Konfidensintervall for autokorrelasjon For alle k, forkast H 0 hvis |t| > t  /2;df=n-k Konfidensintervall: Aksepter H 0 hvis: r k = observert korrelasjon ρ k = «sann» korrelasjon

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER19 I steden for å teste alle r k verdiene en og en, kan en komplementær metode være å teste et helt sett av r k verdier, f.eks. teste om de 10 første er signifikant forskjellig fra et sett der alle 10 er null. En vanlig portmanteau test (Ljung & Box): Signifikanstest av autokorrelasjon

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER20 Q m har en chi-kvadrat fordeling med m (antall ”lags”) frihetsgrader. Hvis Q anvendes på autokorrelasjonene i residualene av en prediksjonsmetode, er antall frihetsgrader lik m minus antall parameter i metoden som er estimert basert på dataene. CHIINV(α;df) brukes for å finne kritisk øvre verdi. Signifikant Q

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER21 En tallserie på 40 data er genert tilfeldig. Autokorrelasjonskoeffisientene bør da teoretisk være null. Hvert tilfeldig utvalg av alle mulige utvalg på 40 vil produsere forskjellige autokorrelasjoner. De fleste utvalg vil ha r k ≈ 0, men noen kan tilfeldigvis produsere store r k. Tilfeldig datamønster? (Ex. 3-3)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER22 Tilfeldig datamønster? (Ex. 3-3)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER23 En stasjonær dataserie har stabilt/konstant gjennomsnitt og varians over tid. Stasjonære data

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER24 En stasjonær dataserie varierer rundt et konstant nivå, uten vedvarende endringer. En serie som inneholder trend er ikke-stasjonær. For ikke-stasjonære data vil autokorrelasjonen være høy for flere perioder/lags. Differanser brukes for å fjerne trend fra en ikke- stasjonær dataserie. Har datene trend?

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER25 Fjerne trend vha. differanser

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER26 Data med trend (Ex. 3-4)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER27 Data med trend (Ex. 3-4) Forts. ACFUpperLowerLBQQ

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER28 Differansedata (Ex. 3-4) Forts

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER29 ACFUpperLowerLBQQ Differansedata (Ex. 3-4) Forts

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER30 Hvis en dataserie inneholder sesongvariasjoner, vil et mønster av svingninger repeteres med jevne mellomrom (vanligvis hvert år). Observasjoner for tilsvarende periode i forskjellige år vil være korrelerte. Autokorrelasjonskoeffisientene for k=p, 2p, etc. vil være signifikant forskjellig fra null. (p=4 for kvartal, 12 for mnd.) Er det sesongvariasjoner?

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER31 Data med sesonger (Ex. 3-5)

Rasmus RasmussenBØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER32 ACFUpperLowerLBQQ Data med sesonger (Ex. 3-5) Forts.