Grenseverdiregler La L, M, c og k være reelle tall og limxcf(x) = L og limxc g(x) = M. Sum regel limxc(f(x) + g(x)) = L + M Differanse limxc(f(x) - g(x)) = L- M Produkt limxc(f(x)*g(x)) = L*M Konstantledd limxc(k*f(x)) = k*L Brøk limxc(f(x)/g(x)) = L/M (M forskjellig fra 0) Potens limxc(f(x))r/s = Lr/s

Grenseverdier Teorem 2 Grenser for polynomer Hvis P(x) = anxn + an-1xn-1 + ….. + a0 så er lim xcP(x) = P(c)= ancn +an-1cn-1 +……+ a0 Terem 3 Grenser for brøk dersom nevner er forskjellig fra null. La P(x) og Q(x) være polynomer og Q(c) ikke lik null

Grenseverdier h Sandwich teoremet Anta at g(x)<=f(x)<=h(x) for alle x i et åpent intervall som inneholder x=c. Anta at: limxcg(x)= limxch(x)=L Da må limxcf(x)=L f L g c Ensidige grenseverdier For at en funksjon skal ha en grense L når x nærmer seg x = a , må funksjonen f(x) være definert på begge sider av a og den må ha samme grenseverdi L fra begge sider. Har ikke funksjonen det, vil den ha ensidige grenseverdier.

Grenseverdier Hvis f(x) er definert i intervallet (a,b) hvor a < b. Hvis f(x) nærmer seg verdien L, når x nærmer seg a, er det en høgresidig grenseverdi limxa+f(x) = L L Høyresidig Hvis f(x) er definert i intervallet (c,a) hvor c < a. Hvis f(x) nærmer seg verdien M, når x nærmer seg a, er det en venstresidig grenseverdi Limxa-f(x) = M a b Venstresidig M c a

Grenseverdier Teorem 5 Total grenseverdi En funksjon har en grenseverdi når x c hvis og bare hvis den venstresidige grenseverdien og den høgresidige grenseverdien er den samme. limxcf(x) = L hvis limxc-f(x) = L og limxc+f(x) = L Teorem 6 Nyttig grenseverdi c c a a

Grenseverdier Teorem 7- Grenseverdiregler når x+- ∞ La L, M og k være reelle tall og limx∞f(x) = L og limx ∞g(x) = M. 1 Sum regel limx∞(f(x) + g(x)) = L+M 2 Differanse limx∞(f(x) - g(x)) = L-M 3 Produkt limx∞(f(x) * g(x)) = L*M 4 Konstantledd limx∞(k * f(x)) = k*L 5 Brøk limx∞(f(x)/(x)) = L/M 6 Potens limx∞(f(x))r/s= Lr/s

Grenseverdier Grenseverdien i en brøk når x går mot uendelig Graden av x i teller > Graden av x i nevner grenseverdien er uendelig Graden av x i teller < Graden av x i nevner grenseverdien er 0 Graden av x i teller = Graden av x i nevner Grenseverdien er en verdi - et tall Regnemessig: Divider teller og nevner med største x-potens i nevner

Asymptoter Horisontale asymptoter Y=b Linja y = b er en horisontal asymptote til funksjonen y = f(x) hvis limx∞f(x) = b eller limx-∞f(x)=b Y=b Vertikal asymptoter Linja x = a er en vertikal asymptote til funksjonen y = f(x) hvis limxa-f(x) = +-∞ eller limxa+f(x) = +-∞ x=a

Kontinuitet i et punkt Kontinuitet f(a) f(b) Indre punkt: Funksjonen f(x) er kontinuerlig i et indre punkt c i sitt definisjonsområde hvis limxcf(x) = f(c) f(c) a c b Endepunkt Funksjonen f(x) er kontinuerlig i venstre endepunkt a eller i høyre endepunkt b i sitt definisjonsområde hvis limxa+f(x) = f(a) eller limxb-f(x) = f(b)) Hvis funksjonen f(x) ikke er kontinuerlig i punktet c, er f(x) diskontinuerlig i punktet c

Kontinuitet f(x) er høyre kontinuerlig i et punkt c hvis limxc+f(x) = f(c) og f(x) er venstre kontinuerlig i et punkt c hvis limxc-f(x) = f(c) MEN f(x) må være både høyre og venstre kontinuerlig i et indre punkt c for at f(x) skal være kontinuerlig i f(c)

Kontinuitet Kontinuitets test Funksjonen f(x) er kontinuerlig i punktet x=d hvis og bare hvis følgende tre krav er oppfylt. 1. f(d) eksisterer og d er i definisjonsområdet 2. limxdf(x) eksisterer {f(x) har en grenseverdi} 3. limxdf(x)= f(d) {grenseverdien er lik funksjonsverdien} f(d) c d

Kontinuitet 1 Sum f + g 2 Differanse f - g 3 Produkt f*g 4 Konstanter Teorem 8 Egenskaper til kontinuerlige funksjoner. Hvis funksjonen f og g er kontinuerlige ved x=c, så er følgende kombinasjoner kontinuerlige 1 Sum f + g 2 Differanse f - g 3 Produkt f*g 4 Konstanter k*f (k er konstant) 5 Brøk f / g når g(c) er ulik 0 Teorem 9 Sammensatte funksjoner Hvis f(x) er kontinuerlig i c og g er kontinuerlig i f(c) da er den sammensatte funksjonen g(f(c)) kontinuerlig i c

Kontinuitet Teorem 10, Mellomverdi teoremet En funksjonen f(x) som er kontinuerlig på et lukket intervall [a,b] inneholder alle verdier mellom f(a) og f(b). Hvis y0 er en verdi mellom f(a) og f(b), så er y0 = f(c) for en x-verdi x = c i [a, b ] f(b) En kontinuerlig funksjon vil være sammenhengende f(c)=y0 f(a) c a b

Tangentlinjer Sekanten fra P til Q har stigningstallet Q y1=f(x0+h) Δy Når punktet Q beveger seg mot P nærmer sekanten seg til en tangent til kurven i punktet P. x0 x1 Da nærmer Δy/ Δx seg til stigningstallet til tangenten i punktet P La x1=x0+h eller h=x1-x0 =Δx og y1=f(x0+h) og y0=f(x0) Stigningstallet til tangenten blir da: Kalles den deriverte av f(x) i x=x0 det vil si hvor raskt funksjonen endrer seg i punktet x0