Kap 04 Sannsynlighetsregning

Presentasjon om: "Kap 04 Sannsynlighetsregning"— Utskrift av presentasjonen:

1 Kap 04 Sannsynlighetsregning
I dette kapitlet skal vi se nærmere på definisjon av utfallsrom, utfall og sannsynlighet. Vi skal se på en aksiomatisk oppbygging av sannsynlighetsbegrepet.

2 Utfallsrom Def: Mengden av alle mulige utfall av et eksperiment
kalles utfallsrommet for eksperimentet. Vi tenker oss et eksperiment. Vi tenker oss videre alle mulige utfall (resultater) av dette eksperimentet. Mengden av alle disse mulige utfallene kalles for utfallsrommet (betegnes med stor omega) for dette eksperimentet Utfall eller resultater av et eksperiment er selvfølgelig avhengig av hva vi ønsker å måle i eksperimentet. Derfor er det vel ikke så overraskende at utfallsrommet knyttet til et eksperiment kan anta ulike former.

3 Stokastisk forsøk Enkeltutfall Utfallsrom Stokastisk forsøk:
1. Resultatet av hvert enkelt forsøk kan ikke forutsies 2. En mengde av mulige resultater kan angis 3. Forsøket kan gjentas Ved en god del eksperimenter er det ikke mulig å forutsi eventuelle resultater. Hvis vi kaster en stein, kan vi forutsi hvor steinen vil lande hvis vi har alle opplysninger om startfart, utgangsvinkel, luftmotstand osv. Modeller som benyttes til å beskrive slike eksperimenter hvor vi kan forutsi utfallet, kaller vi for deterministiske modeller. Hvis vi derimot kaster en terning, vil vi ikke kunne forutsi hvilken side av terningen som vil vende opp (antall øyne) etter at terningen har landet. Grunnen er at i det siste tilfellet vil det være svært vanskelig (eller umulig) å skaffe tilveie alle nødvendige opplysninger som skal til for nøyaktig å beregne terningens bevegelse ned til minste detalj. Slike eksperimenter hvor vi ikke kan forhåndsberegne utfallet med sikkerhet finnes det svært mange av i virkeligheten. Modeller som benyttes til å beskrive slike eksperimenter hvor vi ikke med sikkerhet kan forutsi utfallet, kaller vi for stokastiske modeller. Mer presist sier vi at et forsøk (eksperiment) er stokastisk hvis følgende tre betingelser er oppfylt: 1. Resultatet av hvert enkelt forsøk kan ikke forutsies En mengde av mulige resultater kan angis Forsøket kan gjentas Mengden av alle mulige resultater (pkt 2) kalles for utfallsrommet (betegnelse stor omega) til eksperimentet. Hvert element i utfallsrommet kalles for et enkeltutfall. Enkeltutfall Utfallsrom

4 Sannsynlighet Vi gjennomfører forsøket mange ganger.
I hvert forsøk observerer vi om enkeltutfallet u forekommer eller ikke. Etter n forsøk har u forekommet nu ganger. Den relative hyppigheten er da nu/n. Sannsynligheten for u er grenseverdien for den relative hyppigheten nu/n når antall forsøk n vokser over alle grenser. Sannsynligheten for u betegnes p(u). På forrige side bemerket vi (pkt 3) at ved et stokastisk forsøk må forsøket kunne gjentas. La oss nå tenke oss at vi utfører et stokastisk forsøk flere (n) ganger. For hver gang merker vi oss hvorvidt et enkeltutfall u forekommer eller ikke. Forholdet (hvis det eksisterer) mellom antall ganger u har forekommet og totalt antall forsøk n når n går mot uendelig, definerer vi som sannsynligheten til u. Denne sannsynligheten betegnes p(u). Etter definisjonen av p(u) er det klart at dette må være et reelt tall i intervallet [0,1].

5 Sannsynlighetsmodell
Enkeltutfall Utfallsrom Sannsynlighet Etter at vi på forrige side definerte sannsynlighet, skal vi nå definere hva vi mener med en sannsynlighetsmodell. En sannsynlighetsmodell består av et utfallsrom med tilhørende enkeltutfall hvor hvert enkeltutfall u er tilordnet en sannsynlighet p(u) slik at p(u) for hver u ligger i intervallet [0,1] og slik at summen av alle p(u) tilsammen er lik 1.

6 Utfall / Hendelse / Begivenhet
Def: En delmengde av utfallsrommet  kalles for et utfall (hendelse, begivenhet). Med et utfall (eller hendelse eller begivenhet) mener vi en delmengde av utfallsrommet. u2 u4 u1 u3

7 Eksempler på utfall - To myntkast
 = Utfallsrom = {KK,KM,MK,MM} = {u1,u2,u3,u4} A = Kron i først kast = {KK,KM} = {u1,u2} B = Minst en kron = {KK,KM,MK} = {u1,u2,u3} C = Likt resultat i begge kast = {KK,MM} = {u1,u4} A = Mynt i først kast = {MK,MM} = {u3,u4} B = Ingen kron = {MM} = {u4} AB = Kron i første kast eller minst en kron = {KK,KM,MK} = {u1,u2,u3} = B AB = Kron i først kast og ingen kron = Ø Vi skal her se på noen eksempler på utfall (delmengder av utfallsrommet). Vi tenker oss kast med to mynter. Ett (av flere) mulig utfallsrom er {KK,KM,MK,MM} og vi skal konsentrere oss om dette utfallsrommet. Her betyr de 4 enkeltutfallene følgende: KK : Første kast kron, andre kast kron. KM : Første kast kron, andre kast mynt. MK : Første kast mynt, andre kast kron. MM : Første kast mynt, andre kast mynt La oss forsøke å skrive opp den delmengden A av utfallsrommet som svarer til kron i første kast. A er da et utfall (hendelse, begivenhet) som kan skrives som A = {KK,KM}. De to andre enkeltutfallene fra det opprinnelige utfallsrommet oppfyller ikke betingelsen om kron i første kast. Videre vises følgende utfall: Minst en kron, dvs kron i begge kast, kron i første kast (men ikke andre) eller kron i andre kast (men ikke første). Likt resultat i begge kast, dvs enten begge kron eller begge mynt. Mynt i første kast, dvs enten mynt i første kast og kron i andre kast eller mynt i begge kast. Legg merke til at dette utfallet er komplementet til A (hvor vi hadde kron i første kast). Ingen kron, dvs begge kast gir mynt. Legg merke til at dette er komplementet til B. Kron i første kast eller minst en kron. Legg merke til at bruk av eller her svarer til union (her mellom A og B). Legg videre merke til at i dette tilfellet vil unionen av A og B være lik B. Kron i første kast og ingen kron. Legg merke til at bruk av og her svarer til snitt (her mellom A og komplementet til B>. Siden A og komplementet til B ikke har noen elementer felles, vil dette utfallet være den tomme mengde Ø. Vi kan ikke samtidig få oppfylt at vi skal ha kron i første kast samtidig som vi ikke skal ha noen kron.

8 Eksempler på utfall - Helsevesen
A = Smittet av hepatitt B B = Syk (hepatitt B, hBsyk) Ci = Ingen smitteoverføring ved blodoverføring nr i A = Ikke smittet av hepatitt B AB = Smittet av hepatitt B, men ikke hBsyk AB = Ikke smittet av hepatitt B, men hBsyk = Umulig = Ø Ci = Smitteoverføring ved blodoverføring nr i C1 C2 C = Ikke smittet ved de tre første blodoverføringene C1 C2 C3 = C1 C2  C3 = Smittet i minst en av de tre første Her vises noen eksempler på utfall knyttet til smittet eller syk av sykdommen hepatitt B. Uten at vi her eksplisitt har nevnt utfallsrommet, kan vi enkelt tenke oss situasjoner hvor følgende mengder vil kunne være utfall: A = Smittet av hepatitt B. B = Syk (her underforstått syk av hepatitt B, forkortet til hBsyk). Ci = Ingen smitteoverføring ved blodoverføring nr i La oss nå ut fra disse nevnte utfallene se på andre relaterte utfall. Siden A er utfallet 'Smittet av hepatitt B', så vil komplementet til A være utfallet 'Ikke smittet av hepatitt B'. Utfallet 'Smittet av hepatitt B, men (foreløpig) ikke syk av hepatitt B', vil være utfallet A-B og dette kan skrives som A snittet med komplementet til B (se oppgave 01_03). Utfallet 'Ikke smittet av hepatitt B, men samtidig syk av hepatitt B' (hvilket er umulig og derfor gir den tomme mengde) kan i første omgang skrives som komplementet til A minus B, men kan også skrives som komplementet til A snittet med B (se oppgave 01_03). Komplementet til Ci vil være utfallet 'Smittet av hepatitt B ved blodoverføring nr i'. Snittet mellom C1, C2 og C3 vil være: 'Ikke smittet ved blodoverføring nr 1 og ikke smittet ved blodoverføring nr 2 og ikke smittet ved blodoverføring nr 3', eller sagt på en enklere måte: 'Ikke smittet i løpet av de tre første blodoverføringene'. Komplementet til det sistnevnte utfallet, dvs komplementet til snittet av C1, C2 og C3 vil nå være utfallet: 'Smittet i minst en av de tre første blodoverføringene'.

9 Sannsynlighets-aksiomer
I 1933 påbegynte Kolmogorov en aksiomatisk oppbygging av sannsynlighetsregningen. En aksiomatisk oppbygging vil si at vi starter med noen få fundamentale grunnsetninger, såkalte aksiomer. Disse aksiomene skal på ingen måte bevises, de skal være såkalte 'opplagte grunnsetninger'. Her vises 4 slike aksiomer. Vi starter med et utfallsrom omega. Aksiom 1: Her sies at for ethvert utfall (hendelse, begivenhet), dvs delmengde av omega, så skal sannsynligheten P(A) for dette utfallet være et reelt tall større enn eller lik 0. Vi sier at et utfall A har inntruffet hvis et av enkeltutfallene i A har inntruffet. Legg merke til at siden A er et vilkårlig utfall, og derfor også kan være lik et enkeltutfall, så vil sannsynligheten til hvert enkeltutfall også være et reelt tall større enn eller lik 0. Legg videre merke til at aksiomet sier at sannsynligheten er større enn eller lik 0, istedet for at sannsynligheten ligger i intervallet [0,1] som vi kanskje skulle forvente. Her skal kort kommenteres at aksiomene skal være så korte som overhodet mulig og vi skal seinere se at vi ut fra disse aksiomene kan bevise at sannsynligheten også må være mindre enn eller lik 1. Aksiom 2: Sannsynligheten til utfallet som består av hele utfallsrommet er lik 1. Dette bør også være opplagt siden hele utfallsrommet består av alle mulige enkeltutfall, dvs for hvert forsøk må ett av enkeltutfallene i utfallsrommet inntreffe. Aksiom 3: Hvis to utfall A og B er disjunkte (har ingen elementer felles), så vil sannsynligheten for A union B være lik sannsynligheten til A pluss sannsynligheten til B. Aksiom 4: Dette aksiomet er en utvidelse av aksiom 3 til å gjelde en uendelig sekvens av disjunkte utfall A1, A2, A3, ... .

10 Sannsynlighets-teoremer
Her vises 7 av de viktigste såkalte teoremer, dvs setninger som kan utledes fra aksiomene på forrige side. Beviset for hver av disse teoremene er vist på de neste sidene Teorem 1: Sannsynligheten til komplementet til A er lik 1 minus sannsynligheten til A. Teorem 2: Sannsynligheten til den tomme mengde er lik 0. Teorem 3: Hvis A er en delmengde av B, så er sannsynligheten til A mindre enn eller lik sannsynligheten til B. Teorem 4: Sannsynligheten til ethvert utfall A er alltid mindre enn eller lik Teorem 5: Hvis A1, A2, ..., An er en endelig sekvens av disjunkte utfall, så vil sannsynligheten til unionen av disse være lik summen av sannsynlighetene til hvert av utfallene. Teorem 6: Sannsynligheten til unionen av to mengder A og B vil være sannsynligheten til A pluss sannsynligheten til B minus sannsynligheten til snittet av A og B. Dette gjelder for generelle utfall A og B også når disse ikke er disjunkte (her elementer felles). Hvis A og B er disjunkte, ser vi at dette teoremet stemmer overens med aksiom 3. Teorem 7: Sannsynligheten til A minus B (og derfor til A snittet med komplemenet til B) er lik sannsynligheten til A minus sannsynligheten til snittet av A og B.

11 Sannsynlighets-teoremer - Bevis I
Bevis: Teorem 1: Fra aksiom 2 har vi at sannsynligheten til hele utfallsrommet er lik 1. Videre kan hele utfallsrommet skrives som unionen av A og komplementet til A. Siden A og komplementet til A er disjunkte, så følger av aksiom 3 at sannsynligehten til unionen av A og komplementet til A er sannsynligheten til A pluss sannsynligheten til komplementet til A. Herav følger at sannsynligheten til komplementet til A er lik 1 minus sannsynligheten til A. Teorem 2: Sannsynligheten til den tomme mengde er lik sannsynligheten til komplementet til hele utfallsrommet siden komplementet til hele utfallsrommet er lik den tomme mengde. Fra teorem 1 får vi videre at sannsynligheten til komplementet til hele utfallsrommet er lik 1 minus sannsynligheten til hele utfallsrommet hvilket blir 1-1 = 0. Teorem 3: La A være en delmengde av B. Da vil B kunne skrives som unionen av A og B snittet med komplemtet til A dette vil enkelt kunne vises vha et Venndiagram. Videre har vi at A og B snittet med komplementet til A er disjunkte (kan enkelt sees av samme Venndiagram). Fra aksiom 3 har vi da at sannsynligheten til B kan skrives som summen av sannsynligheten til A og sannsynligheten til B snittet med komplementet til A. Siden enhver sannsynlighet er ikke-negativ (og derfor også sannsynligheten til B snittet med komplementet til A) vil denne sistnevnte summen måtte være større enn eller lik sannsynligheten til A. Derav følger at sannsynligheten til B må være større enn eller lik sannsynligheten til A.

12 Sannsynlighets-teoremer - Bevis II
Bevis: Teorem 4: Siden ethvert utfall A er en delmengde av hele utfallsrommet omega, så vil iflg teorem 3 sannsynligheten til A være mindre enn eller lik sannsynligheten til utfallsrommet omega og den sistnevnte sannsynligheten er iflg aksiom 2 lik 1. Teorem 5: Bevises vha induksjonsbevis ved å ta utgangspunkt i aksiom 3, dvs teorem 5 stemmer for n = 2. Deretter antas at teorem 5 stemmer for n = k. Det gjenstår deretter å vise at teoremet stemmer for n = k+1. Lemma 5: Lemma betyr at dette er en setning (regel) som følger umiddelbart (uten særlig bevis) av et teorem (her teorem 5). Siden utfallene i teorem 5 er vilkårlige, kan hver av dem selvfølgelig være lik enkeltutfall. Siden enkeltutfall selvfølgelig er disjunkte utfall, følger lemma 5 direkte av teorem 5.

13 Sannsynlighets-teoremer - Bevis III
Bevis: Teorem 6: Et utfall A kan skrives som unionen av de to disjunkte mengdene A snittet med komplemenetet av B og A snittet med B. Fra aksiom 3 har vi da den første linjen i beviset. Tilsvarende betraktninger kan gjøres for et utfall B, herav linje nr 2 i beviset. Teorem 6 følger da ved å summere hver av sidene i disse to nevnte linjene.

14 Sannsynlighets-teoremer - Bevis IV
Bevis: Teorem 7: Siden et utfall A kan skrives som unionen av de to disjunkte utfallene A minus B og A snitt B følger de to første linjene i beviset fra aksiom 3. Teorem 7 følger da ved å løse den ligningen som fremkommer mht P(A-B).

15 END