Vektorfunksjoner og rombevegelse
Parameterisering av en linje P (x,y,z) P0 (x0,y0,z0)
Parameterisering av en kurve P (x,y,z) O De ulike punktene på kurven fremkommer ved ulike verdier av parameteren t
Parameterisering av en kurve Eks - Helix
Grense av vektorfunksjon Def M r(t) L
Grense av vektorfunksjon Eks
Kontinuerlig vektorfunksjon Def M r(t) L En vektorfunksjon kalles kontinuerlig i et punkt t = t0 hvis: En vektorfunksjon kalles kontinuerlig hvis den er kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.
Kontinuerlig vektorfunksjon Eks Kontinuerlig: Diskontinuerlig:
Derivasjon av vektorfunksjon Def r(t) r(t) r(t+t) r’(t) En vektorfunksjon kalles deriverbar hvis den deriverte eksisterer i hvert punkt i sitt domene. En kurve beskrevet ved r kalles glatt hvis dr/dt er kontinuerlig og aldri 0.
Derivasjon av vektorfunksjon Eks r(t) r’(t) r’(π/4) r’(π/4)
Derivasjonsregler for vektorfunksjon r(t)
Vektorfunksjoner med konstant lengde r(t) Den deriverte av enhetsvektoren T står alltid normalt på T. T En vektorfunksjon som har konstant lengde står normalt på sin egen derivert.
Integrasjon av vektorfunksjon Def r(t)
Integrasjon av vektorfunksjon Eks r(t) Integral [r(t)]
Hastighetsvektor B r A M rA r rB v
Akselerasjonsvektor vB v vB B a vA A vA M r v
Hastighetsvektor - Akselerasjonsvektor Eks: Hangglider
Buelengde av en glatt kurve Def ds b a L
Buelengde av en glatt kurve Eks - Hangglider
Enhetstangentvektor Def
Enhetstangentvektor Def - Detaljer T-vektor definert som den deriverte av r-vektor mht buen s, gir en parameter-uavhengig definisjon. Den deriverte av r-vektor mht buen s, gir en enhetsvektor tangentielt til banen. s r rA rB
Enhetstangentvektor Eks
Krumning Def T T
Krumning Eks Rett linje En rett linje har krumning lik 0, dvs ingen krumning. T Sirkel T En sirkel har krumning lik den inverse av radien dvs jo mindre radius, jo større krumning.
Enhetsnormalvektor Def
Enhetsnormalvektor Eks - Sirkel med radius a
Akselerasjon Lineær kombinasjon av T og N [1/2] Akselerasjonen er en lineær kombinasjon av enhetstangentvektoren T og enhetsnormalvektoren N og ligger derfor i planet utspent av T og N.
Akselerasjon Lineær kombinasjon av T og N [2/2] Akselerasjonens tangentiellkomponent er fartsendringen tangentielt: T a N Akselerasjonens normalkomponentkomponent er krumningen multiplisert med farten kvadrert: Spesialtilfelle: Sirkelbevegelse med konstant banefart Akselerasjonen er en lineær kombinasjon av enhetstangentvektoren T og enhetsnormalvektoren N og ligger derfor i planet utspent av T og N.
Binormalvektor Def B B står normalt på både T og N. N B er en enhetsvektor (lengde 1) siden både T og N er enhetsvektorer. Endringen av B (dvs retningsendring av B) blir et mål for hvordan a vris ut av TN-planet. Det er derfor av interesse å studere endring av B. N T
Binormalvektor Torsjon
Binormalvektor Krumning - Torsjon
Krumning - Torsjon Helix
Enhetsvektorer Oppsummering Enhetstangentvektor Enhetsnormalvektor r Enhetsbinormalvektor Krumning Posisjon Hastighet Akselerasjon Torsjon
END